1、2017-2018学年山东省济南市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）在平行四边形ABCD中，对角线的交点为O，则（）A（+）B（）C（+）D（）2（5分）函数f（x）sin（4x+）的最小正周期为（）A4B2CD3（5分）已知的值是（）ABCD4（5分）已知向量（1，1），（1，1），（2，4），则等于（）A3+B3C+3D35（5分）ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知a，b，B，则角A的大小为（）AB或CD6（5分）若cos（），则sin（+）的值为（）ABCD7（5分）角B为A
2、BC的内角，向量（sinB，），（cosB，3）若，则角B的大小为（）ABCD8（5分）2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的“弦图”为基础设计的如图所示，“弦图”是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形如果一个直角三角形的面积为4小正方形的周长为8，直角三角形中较小的锐角为，则tan2的值等于（）ABCD9（5分）ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，C设向量（a+c，ab），（ca，b），若，则角C的大小为（）ABCD10（5分）已知锐角，的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边与圆心在原点的单位圆交点的纵坐标分别为，则+的大小为（
3、）ABCD11（5分）如果A1B1C1和A2B2C2满足1，则称A1B1C1和A2B2C2是一对“友好三角形”则下列结论正确的是（）AA1B1C1和A2B2C2都是锐角三角形BA1B1C1和A2B2C2都是钝角三角形CA1B1C1是钝角三角形，A2B2C2是锐角三角形DA1B1C1是锐角三角形，A2B2C2是钝角三角形12（5分）已知函数f（x）2sin（x+）（0，|）的图象过点B（0，1），且在（，）上单调，同时f（x）的图象向左平移个单位之后与原来的图象重合，当x1，x2（，），且x1x2时，f（x1）f（x2），则f（x1+x2）（）AB1C1D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共
4、20分13（5分）已知|7，|5，与的夹角为60，则（2+4）（）的值为 14（5分）正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则的值为 15（5分）某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东45距离为10海里的C处，该渔船正在沿南偏东75方向，以每小时9海里的速度向距离较远的某小岛靠近，舰艇时速21海里，则舰艇追上渔船的最短时间是 小时（结果用分数表示）16（5分）已知ABC的三个内角A，B，C满足sin2A+sin2C2018sin2B，则的值为 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知A（2，0），B（1，8），C（7，5），点E满足
5、2（1）求向量2+的模；（2）求向量与向量的夹角的大小18（12分）已知向量（sinx，3cosx），（3cosx，cosx），函数f（x）+（1）求函数yf（x）图象的对称轴方程；（2）若x0，求函数yf（x）的值域19（12分）阅读下面的两个材料材料一：我国南宋的数学家秦九韶在数书九章中提出了“三斜求积菜当术”：若把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，记小斜为a，中匡斜为b，大斜为c，则三角形的面积为S这个公式称之为秦九韶公式材料二：希腊数学家海伦在其所著的度量论或称测地术）中给出了用三角形的三条边长表示三角形的面积的公式，即已知三角形的三条边长分别为a，b，c，则它的面积为S，其中p
6、（a+b+c），这个公式称之为海伦公式请你解答下面的两个问题：（1）已知ABC的三条边为a17，b18，c19，求这个三角形的面积S；（2）请从秦九韶公式和海伦公式中任选一个公式进行证明如果多做，则按所做的第一个证明记分20（12分）一个同学用五点法画函数f（x）Asin（x+）+B（A0，0，0）的图象时，列出下列表格：xx+02sin（x+）01010f（x）31（1）根据表格中的部分数据求出f（x）的解析式，并在下面给出的坐标纸中作出f（x）在闭区间，上的图象；（2）先将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，再把图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，求函
7、数g（x）的单调递增区间21（12分）（1）在九章算术方田中，“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？译成现代汉语为：“现有扇形田地，弧长30步，其所在圆的直径为16步，问这块田地面积是多少平方步？”请根据上述材料计算这块田地的面积（2）在圆心角为60、半径为R的扇形中，作顶点都在扇形的边界上的内接矩形为了使得内接矩形的面积最大，甲、乙两个同学各自给出了一种设计方案，如图所示请你判定哪个同学的方案可以得到面积更大的内接矩形，并说明你的理由22（12分）如图，边长为1的正三角形ABC的中心为O，过点O的直线与边AB，AC分别交于点M，N（1）求证：+的值为常数；（2）求+的取值范围2017
8、-2018学年山东省济南市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）在平行四边形ABCD中，对角线的交点为O，则（）A（+）B（）C（+）D（）【分析】运用平行四边形法则和向量共线的知识即可解决【解答】解：根据题意可得：，）故选：A【点评】本题考查平面向量基本定理的应用2（5分）函数f（x）sin（4x+）的最小正周期为（）A4B2CD【分析】利用函数yAsin（x+）+b的周期为，得出结论【解答】解：函数f（x）sin（4x+）的最小正周期为，故选：D【点评】本题主要考查正弦函数的周期
9、性，利用了函数yAsin（x+）+b的周期为，属于基础题3（5分）已知的值是（）ABCD【分析】直接把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化简得到关于sin的式子，把sin的值代入即可求出值【解答】解：因为sin，则cos212sin212故选：B【点评】此题比较简单，要求学生会利用二倍角的余弦函数公式化简求值4（5分）已知向量（1，1），（1，1），（2，4），则等于（）A3+B3C+3D3【分析】首先判断，进一步利用平面向量基本定理建立等量关系式，进一步利用对应关系求出结果【解答】解：向量（1，1），（1，1），（2，4），则：，令，则：（2，4）（1，1）+（1，1），整理得：，解得：1，
10、3，故：故选：D【点评】本题考查的知识要点：平面向量基本定理的应用，向量的线性运算的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力属于基础题型5（5分）ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知a，b，B，则角A的大小为（）AB或CD【分析】由已知利用正弦定理可求sinA的值，利用大边对大角可求A的范围，根据特殊角的三角函数值即可得解【解答】解：a，b，B，由正弦定理可得：sinA，ab，可得：0A，A故选：A【点评】本题主要考查了正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，属于基础题6（5分）若cos（），则sin（+）的值为（）ABCD【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给
11、的式子，可得结果【解答】解：若cos（），则sin（+）cos（+）cos（），故选：D【点评】本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点，属于基础题7（5分）角B为ABC的内角，向量（sinB，），（cosB，3）若，则角B的大小为（）ABCD【分析】由平面向量共线的坐标运算列式求得tanB，进一步求得角B的大小【解答】解：由（sinB，），（cosB，3），且，可得3sinB，即tanB角B为ABC的内角，0B，则B故选：C【点评】本题考查平面向量共线的坐标运算，考查已知三角函数值求角，是基础题8（5分）2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国
12、古代数学家赵爽的“弦图”为基础设计的如图所示，“弦图”是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形如果一个直角三角形的面积为4小正方形的周长为8，直角三角形中较小的锐角为，则tan2的值等于（）ABCD【分析】直角三角形的短直角边为2，长直角边为4，即可求出tan，再根据二倍角公式即可求出【解答】解：一个直角三角形的面积为4小正方形的周长为8直角三角形的短直角边为2，长直角边为4，tan，tan2，故选：D【点评】本题考查了二倍角公式，考查了运算能力，属于基础题9（5分）ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，C设向量（a+c，ab），（ca，b），若，则角C的大小为（）ABCD
13、【分析】根据向量，可以得到三角形三边a，b，c之间的关系，再运用余弦定理，即可求得角C的大小【解答】解；向量（a+c，ab），（ca，b），且，0，即（a+c）（ca）+（ab）b0，整理化简可得，a2+b2c2ab，在ABC中，由余弦定理可得，cosC，又0A，A故选：A【点评】本题考查了平面向量的数量积，考查了数量积的应用，若两个向量垂直，等价于两向量的数量积为0，应用向量的坐标运算将问题转化为解三角形问题利用余弦定理即可求得角A的大小属于基础题10（5分）已知锐角，的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边与圆心在原点的单位圆交点的纵坐标分别为，则+的大小为（）ABCD【分析】直
14、接利用三角函数关系式的恒等变换和同角三角函数关系式求出角和的余弦值，进一步利用+的范围求出结果【解答】解：锐角，的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边与圆心在原点的单位圆交点的纵坐标分别为，即：，所以：，由于：，则0+，故：cos（+）coscossinsin，所以：故选：B【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，同角三角函数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型11（5分）如果A1B1C1和A2B2C2满足1，则称A1B1C1和A2B2C2是一对“友好三角形”则下列结论正确的是（）AA1B1C1和A2B2C2都是锐角三角形BA1B1C1和A2
15、B2C2都是钝角三角形CA1B1C1是钝角三角形，A2B2C2是锐角三角形DA1B1C1是锐角三角形，A2B2C2是钝角三角形【分析】A1B1C1和A2B2C2满足1，可得cosA1sinA20，可得A1为锐角，同理可得：B1，C1都为锐角另一方面：cosA1sinA2sin（A1）0，可得：A1+A2，或A1+A2，即A2A1，可得A2为锐角或钝角，同理可得B2，C2为锐角或钝角，但是A2，B2，C2中必然有一个为钝角，即可得出结论【解答】解：A1B1C1和A2B2C2满足1，则cosA1sinA20，可得A1为锐角，同理可得：B1，C1都为锐角，因此A1B1C1为锐角三角形另一方面：cos
16、A1sinA2sin（A1）0，可得：A1+A2，或A1+A2，即A2A1，可得A2为锐角或钝角，同理可得B2，C2为锐角或钝角，但是A2，B2，C2中必然有一个为钝角，否则不成立因此A2B2C2为钝角三角形故选：D【点评】本题考查了诱导公式、三角函数的单调性、三角形形状判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12（5分）已知函数f（x）2sin（x+）（0，|）的图象过点B（0，1），且在（，）上单调，同时f（x）的图象向左平移个单位之后与原来的图象重合，当x1，x2（，），且x1x2时，f（x1）f（x2），则f（x1+x2）（）AB1C1D【分析】由题意求得、的值，写出函数f（x）
17、的解析式，求图象的对称轴，得x1+x2的值，再求f（x1+x2）的值【解答】解：由函数f（x）2sin（x+）的图象过点B（0，1），2sin1，解得sin，又|，f（x）2sin（x）；又f（x）的图象向左平移个单位之后为g（x）2sin（x+）2sin（x+），由两函数图象完全重合知2k，2k，kZ；又，2；f（x）2sin（2x），其图象的对称轴为x+，kZ；当x1，x2（，），其对称轴为x3+，x1+x22（），f（x1+x2）f（）2sin2（）2sin（）2sin2sin1应选：B【点评】本题主要考查了三角函数的图象变换和性质的应用问题，也考查了运算求解能力，是综合题二、填空题：本
18、题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）已知|7，|5，与的夹角为60，则（2+4）（）的值为33【分析】利用向量的数量积以及向量的夹角求解即可【解答】解：|7，|5，与的夹角为60，则（2+4）（）2+2498+27510033故答案为：33【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查计算能力14（5分）正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则的值为2【分析】将向量转化为正方形边上的向量，利用正方形性质解题即可【解答】解：，+，+0+2故答案为：2【点评】本题考查了数量积、加法三角形法则属基础题15（5分）某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东45距离为10海里的C处，该渔船正在沿南偏东75方
19、向，以每小时9海里的速度向距离较远的某小岛靠近，舰艇时速21海里，则舰艇追上渔船的最短时间是小时（结果用分数表示）【分析】根据题意画出图形，结合图形设舰艇t小时后在B处追上渔船，利用余弦定理列出方程求出t的值【解答】解：如图所示，设舰艇t小时后在B处追上渔船，则由题意可知AC10，BC9t，AB21t，ACB120，由余弦定理得：AB2AC2+BC22ACBCcosACB，即441t2100+81t22109tcos120，36t29t100，解得t或t（不合题意，舍去），舰艇追上渔船的最短时间为小时故答案为：【点评】本题考查了方向坐标和余弦定理的应用问题，是基础题16（5分）已知ABC的三个
20、内角A，B，C满足sin2A+sin2C2018sin2B，则的值为【分析】由正弦定理化简已知可得：a2+c22018b2利用余弦定理可得cosB，利用三角函数恒等变换的应用化简所求可得，代入即可计算得解【解答】解：由题意，sin2A+sin2C2018sin2B，由正弦定理可得：a2+c22018b2那么cosB可得：故答案为：【点评】本题主要考察了三角函数恒等变换的应用，考查了正、余弦定理的综合运用，考查了转化思想，有一定的难度，属于中档题三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知A（2，0），B（1，8），C（7，5），点E满
21、足2（1）求向量2+的模；（2）求向量与向量的夹角的大小【分析】（1）先求出向量2+ 的坐标，可得向量2+的模（2）先用待定系数法求得点E的坐标，再求出向量与向量的坐标，利用两个向量的夹角公式求出向量与向量的夹角【解答】解：（1）平面直角坐标系xOy中，已知A（2，0），B（1，8），C（7，5），向量2+（10，10）+（1，8）（9，18），|2+|9（2）点E满足2，设E（x，y），则（x1，y8）2（7x，5y），解得，E（5，6），（6，3），（3，6）设向量与向量的夹角为，则cos0，90，即向量与向量的夹角为90【点评】本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量的数量积的定义、
22、公式，属于中档题18（12分）已知向量（sinx，3cosx），（3cosx，cosx），函数f（x）+（1）求函数yf（x）图象的对称轴方程；（2）若x0，求函数yf（x）的值域【分析】先用数量积公式得到f（x），然后化成辅助角形式，最后利用正弦函数的对称轴性质和图象解题即得【解答】解：（1）f（x）+3sinxcosx3cos2x+由2xk+，得：x，函数f（x）的图象的对称轴方程为：x（2）由（1）知：f（x），sin（2x，故若，时，函数f（x）的值域为【点评】本题考查了平面向量数量积、二倍角公式、辅助角公式、以及正弦函数的图象和性质属中档题19（12分）阅读下面的两个材料材料一：我国
23、南宋的数学家秦九韶在数书九章中提出了“三斜求积菜当术”：若把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，记小斜为a，中匡斜为b，大斜为c，则三角形的面积为S这个公式称之为秦九韶公式材料二：希腊数学家海伦在其所著的度量论或称测地术）中给出了用三角形的三条边长表示三角形的面积的公式，即已知三角形的三条边长分别为a，b，c，则它的面积为S，其中p（a+b+c），这个公式称之为海伦公式请你解答下面的两个问题：（1）已知ABC的三条边为a17，b18，c19，求这个三角形的面积S；（2）请从秦九韶公式和海伦公式中任选一个公式进行证明如果多做，则按所做的第一个证明记分【分析】（1）由题意利用海伦公式计算三角形
24、的面积；（2）证明秦九韶公式即可，利用勾股定理和三角形面积公式，根据三边长求出面积S的值【解答】解：（1）由题意知a17，b18，c19，p（17+18+19）27；由海伦公式计算S36；（2）证明秦九韶公式如下：ABC中，ABc，ACb，BCa，过点A作ADBC，设ADh，BDx，CDy，如图所示；由勾股定理得，解得x，y，h，ABC的面积为Saha【点评】本题考查了利用三边长求三角形面积的应用问题，是基础题20（12分）一个同学用五点法画函数f（x）Asin（x+）+B（A0，0，0）的图象时，列出下列表格：xx+02sin（x+）01010f（x）31（1）根据表格中的部分数据求出f（x
25、）的解析式，并在下面给出的坐标纸中作出f（x）在闭区间，上的图象；（2）先将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，再把图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，求函数g（x）的单调递增区间【分析】（1）根据最值求出B、A，由周期求得，根据五点法作图求出，可得函数的解析式，再用五点法作出它在闭区间，上的图象（2）根据函数yAsin（x+）+B的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再根据正弦函数的单调性求出函数g（x）的单调递增区间【解答】解：（1）由于函数的最大值为3，最小值为1，故B1，A312，由于，2再根据五点法作图可得2+，f（x）2sin（2x+）+1列表
26、： x 2x+ 0 2 sin（2x+） 0 1 01 0 f（x） 1 3 11 1作图：（2）先将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，可得y2sin2x+1的图象；再把图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数g（x）2sin4x+1的图象，令2k4x2k+，求得x+，可得函数g（x）的增区间为，+，kZ【点评】本题主要考查由函数函数f（x）Asin（x+）+B（A0，0，0）的部分图象求解析式，根据最值求出B、A，由周期求得，根据五点法作图求出，可得函数的解析式函数yAsin（x+）+B的图象变换规律，用五点法作数yAsin（x+）+B的图象，正弦函数的单调性，属于中档题
27、21（12分）（1）在九章算术方田中，“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？译成现代汉语为：“现有扇形田地，弧长30步，其所在圆的直径为16步，问这块田地面积是多少平方步？”请根据上述材料计算这块田地的面积（2）在圆心角为60、半径为R的扇形中，作顶点都在扇形的边界上的内接矩形为了使得内接矩形的面积最大，甲、乙两个同学各自给出了一种设计方案，如图所示请你判定哪个同学的方案可以得到面积更大的内接矩形，并说明你的理由【分析】（1）利用弧长与扇形的面积计算公式即可得出（2）对于甲乙图形，分别构造直角三角形，得出矩形的边长与面积，利用和差化积、倍角公式及其三角函数的单调性即可得出【解答】解：（
28、1）设AOB，则r8，r30，S扇形120（2）对于甲图：连接OC，设COD，则CDRsin，ODRcos，OE，EDODOERcos，矩形CDEF的面积CDEDRsin（Rcos）sin2sin2sin（2+），当且仅当时取等号此时面积最大值为对于乙图：取CF的中点M，连接OM交DE于点N，则N为DE的中点连接OF设MOF，则MFRsin，OMRcos，ON2Rsin，MNOMONRcosRsin，矩形CDEF的面积CDED2Rsin（RcosRsin）R2sin22R2sin2R2sin2R2（1cos2）2R2sin（2+）R2R2，当且仅当时取等号此时面积最大值为R2R2甲同学的方案可
29、以得到面积更大的内接矩形【点评】本题考查了弧长与扇形的面积计算公式、直角三角形的边角关系、矩形的边长与面积、和差化积、倍角公式及其三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题22（12分）如图，边长为1的正三角形ABC的中心为O，过点O的直线与边AB，AC分别交于点M，N（1）求证：+的值为常数；（2）求+的取值范围【分析】（1）由题意设|，|，利用、表示出，再根据M、O、N三点共线得出+的值，即可证明+的值为常数；（2）设AOM，根据正弦定理用表示出OM，ON，根据的范围和三角恒等变换求出+的取值范围【解答】解：（1）由题意，设|，|，则，（+）+，由M、O、N三点共线，+1，+3，即+的值为常数；（2）设AOM，则，在AOM中，AOAD，AMO，OAM，由正弦定理得：，即，OM，3sin+cos，在OAN中，ANO（），由正弦定理得：，即，ON，3sincos，+（3sin+cos）2+（3sincos）218sin2+6cos26+12sin2，sin1，156+12sin218；+的取值范围是15，18【点评】本题考查了正弦定理，三角恒等变换，正弦函数的性质，也考查了平面向量的应用问题，是难题
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