1、2018-2019学年山东省潍坊市高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）设集合AxN|2x2的真子集的个数是（）A8B7C4D32（5分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（）AyByx1Cyx2Dy2x3（5分）已知f（x），则ff（2）（）A5B1C7D24（5分）a40.9、b80.48、c（）1.5的大小关系是（）AcabBbacCabcDacb5（5分）已知函数f（x+1）2x3，若f（m）4，则m的值为（）ABCD6（5分）函数f（x）ax（a0，a1）的图象可能是（）ABCD7（5
2、分）设f（x）是（，+）上的减函数，则（）Af（a）f（2a）Bf（a2）f（a）Cf（a2+a）f（a）Df（a2+1）f（a）8（5分）下列变化过程中，变量之间不是函数关系的为（）A地球绕太阳公转的过程中，二者间的距离与时间的关系B在银行，给定本金和利率后，活期存款的利息与存款天数的关系C某地区玉米的亩产量与灌溉次数的关系D近年来，中国高速铁路迅猛发展，中国高铁年运营里程与年份的关系9（5分）已知实数a，b满足等式2017a2018b，下列关系式不可能成立的是（）A0abBab0C0baDab10（5分）一次社会实践活动中，数学应用调研小组在某厂办公室看到该厂5年来某种产品的总产量y与时间
3、x（年）的函数图象（如图），以下给出了关于该产品生产状况的几点判断：前三年的年产量逐步增加；前三年的年产量逐步减少；后两年的年产量与第三年的年产量相同；后两年均没有生产其中正确判断的序号是（）ABCD11（5分）已知函数f（x），若函数g（x）f（x）m恰有一个零点，则实数m的取值范围是（）A0，1B（，0）（1，+）C（，0（1，+）D（，0）1，+）12（5分）已知f（x）是定义域为R的奇函数，满足f（1x）f（1+x），若f（1）2，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）（）A10B2C0D4二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）13（5分）计算（2）（3）
4、; 14（5分）如图所示，图中的阴影部分可用集合U，A，B，C表示为 15（5分）已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）g（x）x3+x2+1，则f（1）+g（1） 16（5分）已知函数f（x）（t0）的最大值为M，最小值为N，且M+N4，则实数t的值为 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知函数f（x）+的定义域为集合M（1）求集合M；（2）若集合Nx|2a1xa+1，且MN2，求N18（12分）已知函数f（x）（aR）（1）若f（x）为奇函数，求实数a的值；（2）当
5、a0时，判断函数f（x）的单调性，并用定义证明19（12分）已知四个函数f（x）2x，g（x）（）x，h（x）3x，p（x）（）x，若yf（x），yg（x）的图象如图所示（1）请在如图坐标系中画出yh（x），yp（x）的图象，并根据这四个函数的图象抽象出指数函数具有哪些性质？（2）举出在实际情境能够抽象出指数函数的一个实例并说明理由20（12分）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的一年收益与投资额成正比，其关系如图；投资股票等风险型产品的一年收益与投资额的算术平方根成正比，其关系如图（注：收益与投资额单位：万元）（）分别写出两种产品的一年收益与投资额的函数关系；（
6、）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使一年的投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？21（12分）已知函数f（x）是定义在R上的增函数，且满足f（x+y）f（x）f（y），且f（2）（1）求f（4）的值；（2）当x时，f（kx2）2f（2x5）恒成立，求实数k的取值范围22（12分）对于区间a，b（ab），若函数yf（x）同时满足：f（x）在a，b上是单调函数；函数yf（x），xa，b的值域是a，b，则称区间a，b为函数f（x）的“保值”区间（1）求函数yx2的所有“保值”区间；（2）函数yx2+m（m0）是否存在“保值”区间？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明
7、理由2018-2019学年山东省潍坊市高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）设集合AxN|2x2的真子集的个数是（）A8B7C4D3【分析】先求出集合A0，1，由此能求出集合A的真子集的个数【解答】解：集合AxN|2x20，1，集合A的真子集的个数是：2213故选：D【点评】本题考查集合的真子集的个数的求法，考查子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2（5分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（）AyByx1Cyx2Dy2x【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性以
8、及单调性，综合即可得答案【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y是奇函数但不是增函数，不符合题意；对于B，yx1，不是奇函数，不符合题意；对于C，yx2，为偶函数不是奇函数，不符合题意；对于D，y2x是正比例函数，既是奇函数又是增函数，符合题意；故选：D【点评】本题考查函数奇偶性、单调性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性、单调性，属于基础题3（5分）已知f（x），则ff（2）（）A5B1C7D2【分析】根据所给解析式先求f（2），再求ff（2）【解答】解：f（2）22+31，所以ff（2）f（1）（1）2+12故选：D【点评】本题考查分段函数求值问题，属基础题，关键看清所给自变量的值所在
9、范围4（5分）a40.9、b80.48、c（）1.5的大小关系是（）AcabBbacCabcDacb【分析】利用有理指数幂的运算性质将a，b，c均化为2x的形式，利用y2x的单调性即可得答案【解答】解：a40.921.8，b80.4821.44，c21.5，y2x为单调增函数，而1.81.51.44，acb故选：D【点评】本题考查不等关系与不等式，考查有理数指数幂的化简求值，属于中档题5（5分）已知函数f（x+1）2x3，若f（m）4，则m的值为（）ABCD【分析】由2x34，得x，再由mx+1，能求出结果【解答】解：函数f（x+1）2x3，f（m）4由2x34，得x，mx+1故选：B【点评】
10、本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题6（5分）函数f（x）ax（a0，a1）的图象可能是（）ABCD【分析】先判断函数的单调性，再判断函数恒经过点（1，0），问题得以解决【解答】解：当0a1时，函数f（x）ax，为减函数，当a1时，函数f（x）ax，为增函数，且当x1时f（1）0，即函数恒经过点（1，0），故选：D【点评】本题主要考查了函数的图象和性质，求出函数恒经过点是关键，属于基础题7（5分）设f（x）是（，+）上的减函数，则（）Af（a）f（2a）Bf（a2）f（a）Cf（a2+a）f（a）Df（a2+1）f（a）【分析】采用排除法，根据a的取值范围，
11、根据导数与函数单调性的关系，即可求得答案【解答】解：f（x）是（，+）上的减函数，当a0时，a2a，f（a）f（2a），当a0时，a2a，f（a）f（2a），故A错误；当a0，则a2a，则f（a2）f（a），故B错误；当a0，a2+aa，则f（a2+a）f（a），故C错误；由a2+1a，则f（a2+1）f（a）故选：D【点评】本题考查导数与函数的单调性的关系，属于基础题8（5分）下列变化过程中，变量之间不是函数关系的为（）A地球绕太阳公转的过程中，二者间的距离与时间的关系B在银行，给定本金和利率后，活期存款的利息与存款天数的关系C某地区玉米的亩产量与灌溉次数的关系D近年来，中国高速铁路迅猛发展
12、，中国高铁年运营里程与年份的关系【分析】根据函数的定义对各个选项分别判断即可【解答】解：根据函数的定义得：某地区玉米的亩产量与灌溉次数的关系不是函数关系，故选：C【点评】本题考查了函数的定义，考查对应关系，是一道基础题9（5分）已知实数a，b满足等式2017a2018b，下列关系式不可能成立的是（）A0abBab0C0baDab【分析】分别画出y2017x，y2018x，根据实数a，b满足等式2017a2018b，即可得出【解答】解：分别画出y2017x，y2018x，实数a，b满足等式2017a2018b，可得：ab0，ab0，ab0而0ab不成立故选：A【点评】本题考查了函数的单调性、不等
13、式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题10（5分）一次社会实践活动中，数学应用调研小组在某厂办公室看到该厂5年来某种产品的总产量y与时间x（年）的函数图象（如图），以下给出了关于该产品生产状况的几点判断：前三年的年产量逐步增加；前三年的年产量逐步减少；后两年的年产量与第三年的年产量相同；后两年均没有生产其中正确判断的序号是（）ABCD【分析】利用该厂5年来某种产品的总产量y与时间x（年）的函数图象直接求解【解答】解：由该厂5年来某种产品的总产量y与时间x（年）的函数图象，得：前三年的年产量逐步减少，故错误，正确；后两年均没有生产，故错误，正确故选：B【点评】本题考查命题真假的判断，考查
14、该厂5年来某种产品的总产量y与时间x（年）的函数图象的性质等基础知识，考查数形结合思想，是基础题11（5分）已知函数f（x），若函数g（x）f（x）m恰有一个零点，则实数m的取值范围是（）A0，1B（，0）（1，+）C（，0（1，+）D（，0）1，+）【分析】作出f（x）的函数图象，根据图象判断m的值【解答】解：令g（x）0得f（x）m，作出yf（x）的函数图象如图所示：由图象可知当m0或m1时，f（x）m只有一解故选：D【点评】本题考查了函数的零点与函数图象的关系，属于中档题12（5分）已知f（x）是定义域为R的奇函数，满足f（1x）f（1+x），若f（1）2，则f（1）+f（2）+f（3）
15、+f（4）（）A10B2C0D4【分析】推导出f（2+x）f（1（x+1）f（x）f（x），f（x+4）f（x+2）f（x），从而f（1）+f（2）+f（3）+f（4）f（1）+f（0）+f（1）+f（0），由此能求出结果【解答】解：f（x）是定义域为R的奇函数，满足f（1x）f（1+x），f（2+x）f（1（x+1）f（x）f（x），f（x+4）f（x+2）f（x），f（1）2，f（1）+f（2）+f（3）+f（4）f（1）+f（0）+f（1）+f（0）0故选：C【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分
16、.）13（5分）计算（2）（3）1【分析】化带分数为假分数，再由有理指数幂的运算性质化简求值【解答】解：（2）（3）故答案为：1【点评】本题考查有理指数幂的运算性质，是基础的计算题14（5分）如图所示，图中的阴影部分可用集合U，A，B，C表示为（AB）（UC）【分析】利用维恩图直接求解【解答】解：如图所示图中的阴影部分可用集合U，A，B，C表示为：（AB）（UC）故答案为：（AB）（UC）【点评】本题考查集合的交集的求法，考查维恩图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题15（5分）已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）g（x）x3+x2+1，
17、则f（1）+g（1）1【分析】将原代数式中的x替换成x，再结合着f（x）和g（x）的奇偶性可得f（x）+g（x），再令x1即可【解答】解：由f（x）g（x）x3+x2+1，将所有x替换成x，得f（x）g（x）x3+x2+1，f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，f（x）f（x），g（x）g（x），即f（x）+g（x）x3+x2+1，再令x1，得f（1）+g（1）1故答案为：1【点评】本题考查利用函数奇偶性求值，本题中也可以将原代数式中的x直接令其等于1也可以得到计算结果，属于基础题16（5分）已知函数f（x）（t0）的最大值为M，最小值为N，且M+N4，则实数t的值为2【分析】由
18、题意f（x）t+g（x），其中g（x）是奇函数，从而2t4，即可求出实数t的值【解答】解：由题意，f（x）+t，显然函数g（x）是奇函数，函数f（x）最大值为M，最小值为N，且M+N4，Mt（Nt），即2tM+N4，t2，故答案为：2【点评】本题考查函数的最大值、最小值，考查函数是奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知函数f（x）+的定义域为集合M（1）求集合M；（2）若集合Nx|2a1xa+1，且MN2，求N【分析】（1）要使得函数f（x）有意义，则需满足，从而求出M（3，2；（2）根据MN
19、2，便可得出2N，从而得出2a12，求出a即可得出集合N【解答】解：（1）要使函数f（x）有意义，则需；解得3x2；函数f（x）的定义域M（3，2；（2）MN2，且M（3，2；2N；解得；【点评】考查函数定义域的概念及求法，指数函数的单调性，交集的概念，元素与集合的关系18（12分）已知函数f（x）（aR）（1）若f（x）为奇函数，求实数a的值；（2）当a0时，判断函数f（x）的单调性，并用定义证明【分析】（1）根据函数的奇偶性的定义求出a的值即可；（2）根据函数的单调性的定义证明即可【解答】解：（1）函数f（x）的定义域是R，且f（x），由yf（x）是奇函数，得对任意的x都有f（x）f（x）
20、，故，得2x（a1）1a，解得：a1；（2）由a0得：f（x）1，任取x1，x2R，设x1x2，则f（x2）f（x1），y2x在R递增且x1x2，0，又（+1）（+1）0，故f（x2）f（x1）0即f（x2）f（x1），故f（x）在R递增【点评】本题考查了函数的奇偶性和函数的单调性问题，考查单调性的证明，是一道中档题19（12分）已知四个函数f（x）2x，g（x）（）x，h（x）3x，p（x）（）x，若yf（x），yg（x）的图象如图所示（1）请在如图坐标系中画出yh（x），yp（x）的图象，并根据这四个函数的图象抽象出指数函数具有哪些性质？（2）举出在实际情境能够抽象出指数函数的一个实例并说
21、明理由【分析】（1）根据指数函数的图象性质，得出结论（2）举细胞分裂的例子，抽象出指数函数的一个实例【解答】解：（1）画出yh（x），yp（x）的图象如图所示：4个函数都是yax（a0，a1）的形式，它们的性质有：定义域为R；值域为（0，+）；都过定点（0，1）；当a1时，函数在定义域内单调递增，0a1时，函数在定义域内单调递减；a1时，若x0，则0y1，若x0，则y1 0a1时，若x0，则0y1，若x0，则y1；对于函数yax（a0，a1），ybx（b0，b1），当ab1时，若x0，则0axbx1；若x0，则axbx1；若x0，则axbx1当0ab1时，若x0，则axbx1；若x
22、0，则axbx1；若x0，则0axbx1（2）举例：原来有一个细胞，细胞分裂的规则是细胞由一个分裂成2个，则经过x次分裂，细胞个数y，则y2x，是一个指数函数【点评】本题主要考查指数函数的性质，指数函数的应用，属于中档题20（12分）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的一年收益与投资额成正比，其关系如图；投资股票等风险型产品的一年收益与投资额的算术平方根成正比，其关系如图（注：收益与投资额单位：万元）（）分别写出两种产品的一年收益与投资额的函数关系；（）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使一年的投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？【分
23、析】（）由投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比，结合函数图象，我们可以利用待定系数法来求两种产品的收益与投资的函数关系；（）由（）的结论，我们设设投资债券类产品x万元，则股票类投资为20x万元这时可以构造出一个关于收益y的函数，然后利用求函数最大值的方法进行求解【解答】解：（）f（x）k1x，g（x）k2，f（1）k1，g（1）k2，f（x）x（x0），g（x）（x0）（）设：投资债券类产品x万元，则股票类投资为20x万元yf（x）+g（20x）+（0x20）令t，则y（t2）2+3所以当t2，即x16万元时，收益最大，ymax3万元【
24、点评】函数的实际应用题，我们要经过析题建模解模还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一21（12分）已知函数f（x）是定义在R上的增函数，且满足f（x+y）f（x）f（y），且f（2）（1）求f（4）的值；（2）当x时，f（kx2）2f（2x5）恒成立，求实数k的取值范围【分析】（1）利用赋值法，xy2求解即可（2）利用已知条件化简不等式为f（kx2）f（2x1），利用函数的单调性，分离变量，通过二次函数的性质求解闭区间上的最值即可【解答】解：（1）令
25、xy2，得：f（2+2）f（2）f（2），即f（4）2（2）2f（2x5）f（4），f（2x5）f（2x1）所以f（kx2）2f（2x5）化为：f（kx2）f（2x1），因为函数 f（x）是定义在R上的增函数，所以kx22x1在x时恒成立，即k在x时恒成立，令y（）2+1，x，y有最小值为0所以，k0【点评】本题考查函数与方程的应用，函数的单调性以及二次函数的性质的应用，考查转化思想以及计算能力22（12分）对于区间a，b（ab），若函数yf（x）同时满足：f（x）在a，b上是单调函数；函数yf（x），xa，b的值域是a，b，则称区间a，b为函数f（x）的“保值”区间（1）求函数yx2的所有“
26、保值”区间；（2）函数yx2+m（m0）是否存在“保值”区间？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由【分析】（1）由已知中保值”区间的定义，结合函数yx2的值域是0，+），我们可得a，b0，+），从而函数yx2在区间a，b上单调递增，则，结合ab即可得到函数yx2的“保值”区间（2）根据已知中保值”区间的定义，我们分函数yx2+m在区间a，b上单调递减，和函数yx2+m在区间a，b上单调递增，两种情况分类讨论，最后综合讨论结果，即可得到答案【解答】解：（1）因为函数yx2的值域是0，+），且yx2在a，b的值域是a，b，所以a，b0，+），所以a0，从而函数yx2在区间a，b上单调递增，
27、故有解得又ab，所以所以函数yx2的“保值”区间为0，1（3分）（2）若函数yx2+m（m0）存在“保值”区间，则有：若ab0，此时函数yx2+m在区间a，b上单调递减，所以 消去m得a2b2ba，整理得（ab）（a+b+1）0因为ab，所以a+b+10，即 ab1又所以 因为 ，所以 （6分）若ba0，此时函数yx2+m在区间a，b上单调递增，所以 消去m得a2b2ab，整理得（ab）（a+b1）0因为ab，所以 a+b10，即 b1a又所以 因为 ，所以 因为 m0，所以 （9分）综合 、得，函数yx2+m（m0）存在“保值”区间，此时m的取值范围是（10分）【点评】本题考查的知识点是函数单调性，函数的值，其中正确理解新定义的含义，并根据新定义构造出满足条件的方程（组）或不等式（组）将新定义转化为数学熟悉的数学模型是解答本题的关键
浙公网安备33030202001339号