1、2019-2020学年辽宁省大连市嘉汇教育集团名校联盟九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项正确）1（3分）下列图形是中心对称图形的是ABCD2（3分）一元二次方程配方后化为ABCD3（3分）在平面直角坐标系中，以原点为旋转中心，把点逆时针旋转，得到点，则点的坐标为ABCD4（3分）已知二次函数的图象如图所示，则顶点在A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限5（3分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是ABCD6（3分）如图利用标杆测量建筑物的高度已知标杆高，测得则建筑物的高是ABCD7（3分）设点，是抛物线上的三
2、点，则、的大小关系为ABCD8（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是ABC或D或9（3分）某机械厂七月份生产零件50万个，九月份生产零件72万个设该厂八九月份平均每月的增长率为，那么满足的方程是ABCD10（3分）当时，二次函数有最大值4，则实数的值为AB或C2或D2或或二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）11（3分）若与相似，且相似比为，则与的周长比为12（3分）若一元二次方程有一个根为1，则的值为13（3分）如图，将绕点顺时针旋转得到若点，在同一条直线上，则的度数是14（3分）如图，与是以点为位似中心的位似图形，相似比
3、为，若点的坐标是，则点的坐标是15（3分）如图，某水渠的横截面呈抛物线形，当水面宽时，水深，当水面下降时，水面宽为16（3分）如图，正方形中，分别在边，上，相交于点，若，则的值是三、解答题（本题共39分，17、18、19题各9分，20题12分）17（9分）解方程：18（9分）已知二次函数的图象与轴交于、两点， 且函数经过点（1） 求二次函数的解析式；（2） 设这个二次函数的顶点为，求的面积；（3） 当为何值时， （请 直接写出结果）19（9分）如图，在矩形中，点在边上，且， 交于点（1）求证：（2）求的长20（12分）某单位要在临街的围墙外靠墙摆设一长方形花圃景观，花重一边靠墙，墙长18米，外
4、围用40米的栅栏围成如图所示，设花圃的边长为米，花圃的面积为平方米，请你写出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围，当为何值时，花圃的面积最大？四、解答题（本题共28分，21、22题各9分，23题10分）21（9分）如图，且求证：（1）；（2）22（9分）【思考】如果，是一元二次方程的两根，那么有，这是一元二次方程根与系数的关系，我们可以利用它来解决问题【应用】（1）若，是方程的两根，则，求的值（2）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根为，且满足，请考虑的取值范围前提下，求出的值23（10分）如图，二次函数的图象交轴于、两点并经过点，已知点坐标是，点的坐标是（1）求二次函数的解析式；（2）该
5、二次函数的对称轴交轴于点，连接，并延长交抛物线于点，连接，求的面积；（3）抛物线上有一个动点，与，两点构成，是否存在？若存在请求出点的坐标；若不存在，请说明理由五、解答题（本题共35分，24题11分，25、26题各12分）24（11分）如图1，已知中，点在上，且，连接将沿射线方向平移，得到，到达点时，停止平移，设平移距离为，与重合面积为，且与的函数关系式如图2所示，与所对应的解析式不同）（1），（2）写出与的函数关系式，直接写出对应的取值范围25（12分）阅读下面材料小胖同学遇到这样一个问题：如图1，中，点在上，点是延长线上的点，连接交于过点作，垂足为若，求的值小胖通过计算角度发现，于是作出点
6、关于的对称点，使得，进而得出，接着截取，得出一组全等三角形（1）请沿着小胖的思路继续完成此题的解答过程：（2）参考小胖的解题方法完成下面问题：如图3，在中，探索、三条线段的数量关系26（12分）抛物线与直线交于点，点横坐标为，其中，将绕点逆时针旋转后形成，点恰好在抛物线上（1）求抛物线的解析式（用含的代数式表示）；（2）若抛物线与直线交于，两点，且，则值为多少？（3）若为整数，当在轴下方的抛物线上恰好有5个整数点（横坐标为整数），求出值参考答案与试题解析一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项正确）1（3分）下列图形是中心对称图形的是ABCD【分析】根据把一个图形绕
7、某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案【解答】解：、不是中心对称图形，故此选项错误；、不是中心对称图形，故此选项错误；、不是中心对称图形，故此选项错误；、是中心对称图形，故此选项正确；故选：【点评】此题主要考查了中心对称图形，关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合2（3分）一元二次方程配方后化为ABCD【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方形式即可【解答】解：，故选：【点评】本题考查了解一元二次方程配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法3（3分）
8、在平面直角坐标系中，以原点为旋转中心，把点逆时针旋转，得到点，则点的坐标为ABCD【分析】建立平面直角坐标系，作出图形，然后根据图形写出点的坐标即可【解答】解：如图所示，建立平面直角坐标系，点的坐标为故选：【点评】本题考查了坐标与图形变化旋转，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观4（3分）已知二次函数的图象如图所示，则顶点在A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】根据函数的图象确定顶点的位置即可【解答】解：观察图象知：对称轴在轴的右侧，开口向上，与坐标轴有2个交点，顶点在第四象限，故选：【点评】考查了二次函数的性质及二次函数的图象的知识，比较直观的能看出结果，比较简单5（3分）已
9、知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是ABCD【分析】利用判别式的意义得到，然后解不等式即可【解答】解：根据题意得，解得故选：【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根6（3分）如图利用标杆测量建筑物的高度已知标杆高，测得则建筑物的高是ABCD【分析】先证明，则利用相似三角形的性质得，然后利用比例性质求出即可【解答】解：，即，（米故选：【点评】本题考查了相似三角形的应用：借助标杆或直尺测量物体的高度利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长作为三角形的边，利用视点和盲
10、区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度7（3分）设点，是抛物线上的三点，则、的大小关系为ABCD【分析】由题意可得对称轴为轴，则关于轴的对称点为，根据二次函数的增减性可得函数值的大小关系【解答】解：抛物线对称轴为轴关于对称轴轴对称点为当时，随的增大而减小故选：【点评】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，二次函数的增减性，利用增减性比较函数值的大小是本题的关键8（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是ABC或D或【分析】根据位似变换的性质计算即可【解答】解：点，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对
11、应点的坐标是，或，即或，故选：【点评】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或9（3分）某机械厂七月份生产零件50万个，九月份生产零件72万个设该厂八九月份平均每月的增长率为，那么满足的方程是ABCD【分析】设该厂八九月份平均每月的增长率为，根据该厂7、9月份生产零件的数量，即可得出关于的一元二次方程，此题得解【解答】解：设该厂八九月份平均每月的增长率为，根据题意得：故选：【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键10（3分）当时，二次函数有最大值4，则实数的
12、值为AB或C2或D2或或【分析】根据对称轴的位置，分三种情况讨论求解即可【解答】解：二次函数的对称轴为直线，时，时二次函数有最大值，此时，解得，与矛盾，故值不存在；当时，时，二次函数有最大值，此时，解得，（舍去）；当时，时二次函数有最大值，此时，解得，综上所述，的值为2或故选：【点评】本题考查了二次函数的最值问题，难点在于分情况讨论二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）11（3分）若与相似，且相似比为，则与的周长比为【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比解决问题即可【解答】解：，且相似比为，与的周长比为，故答案为：【点评】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于
13、中考常考题型12（3分）若一元二次方程有一个根为1，则的值为5【分析】将代入题目中的方程，即可求得的值，本题得以解决【解答】解：一元二次方程有一个根为1，解得故答案为：5【点评】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确一元二次方程的解得含义13（3分）如图，将绕点顺时针旋转得到若点，在同一条直线上，则的度数是【分析】根据旋转的性质求出和度数，利用三角形外角的性质即可【解答】解：根据旋转的性质可知，故答案为【点评】本题主要考查了旋转的性质，解决这类问题关键是找准旋转角，利用旋转的性质等量转化角或线段14（3分）如图，与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，若点的坐标是，则点的坐标是，【分析
14、】根据题意得出点坐标，再解直角三角形进而得出答案【解答】解：分别过、作，与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，点的坐标是，则，故，则，故点的坐标是：，故答案为：，【点评】此题主要考查了位似变换，运用位似图形的性质正确解直角三角形是解题关键15（3分）如图，某水渠的横截面呈抛物线形，当水面宽时，水深，当水面下降时，水面宽为【分析】直接建立平面直角坐标系求出函数解析式，进而得出答案【解答】解：如图所示：建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为：，故，解得：，则，当水面下降时，则，解得：，故当水面下降时，水面宽为故答案为：【点评】此题主要考查了二次函数的应用，正确求出函数函数解析式是解题关键16（3分
15、）如图，正方形中，分别在边，上，相交于点，若，则的值是【分析】如图，作，交于，交于设，则，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可；【解答】解：如图作，交于，交于四边形是正方形，四边形是平行四边形，四边形是矩形，设，则，故答案为：【点评】本题考查正方形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会利用参数解决问题三、解答题（本题共39分，17、18、19题各9分，20题12分）17（9分）解方程：【分析】根据一元二次方程的解法即可求出答案【解答】解：，；【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于
16、基础题型18（9分）已知二次函数的图象与轴交于、两点， 且函数经过点（1） 求二次函数的解析式；（2） 设这个二次函数的顶点为，求的面积；（3） 当为何值时， （请 直接写出结果）【分析】（1） 设交点式，把代入求出即可得到抛物线解析式；（2） 把一般式配成顶点式可得到顶点的坐标， 然后根据三角形面积公式计算的面积；（3） 利用函数图象， 写出抛物线在轴下方的部分所对应的自变量的范围即可 【解答】解： （1） 设抛物线解析式为，把代入得，解得，所以抛物线解析式为，即；（2），顶点的坐标为，的面积；（3）或【点评】本题考查了抛物线与轴的交点： 把求二次函数，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于
17、的一元二次方程 也考查了二次函数的性质 19（9分）如图，在矩形中，点在边上，且， 交于点（1）求证：（2）求的长【分析】（1）由同角的余角相等可得出，结合，即可证出；（2）由、的长度可得出的长度，根据相似三角形的性质可求出的长度，将其代入即可求出的长【解答】（1）证明：，四边形为矩形，（2）解：，【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及矩形的性质，解题的关键是：（1）利用同角的余角相等找出；（2）利用相似三角形的性质求出的长度20（12分）某单位要在临街的围墙外靠墙摆设一长方形花圃景观，花重一边靠墙，墙长18米，外围用40米的栅栏围成如图所示，设花圃的边长为米，花圃的面积为平方米，请你写
18、出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围，当为何值时，花圃的面积最大？【分析】设花圃的宽为米，则花圃的长为，则花圃的长宽，即可得出答案【解答】解：设花圃的墙长米，花圃面积为平方米，据题意，得，墙长，故当时，最大为：198平方米【点评】此题主要考查了二次函数的应用，正确得出花圃的长和宽是解题关键四、解答题（本题共28分，21、22题各9分，23题10分）21（9分）如图，且求证：（1）；（2）【分析】（1）由已知条件得到：，则由“两边及夹角法”证得结论；（2）由可得，根据，则结论得证【解答】证明：（1）如图，又，即，（2），【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法是解题
19、的关键22（9分）【思考】如果，是一元二次方程的两根，那么有，这是一元二次方程根与系数的关系，我们可以利用它来解决问题【应用】（1）若，是方程的两根，则，求的值（2）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根为，且满足，请考虑的取值范围前提下，求出的值【分析】（1）根据题意给出的方法即可求出答案；（2）根据，以及可列出方程求出的值【解答】解：（1）由题意可知：，原式；（2）由题意可可知：，且，或，故答案为：（1），；【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解，以及一元二次方程的解法，本题属于中等题型23（10分）如图，二次函数的图象交轴于、两点并经过点，已知点坐标是，点的坐标是（1）求二次
20、函数的解析式；（2）该二次函数的对称轴交轴于点，连接，并延长交抛物线于点，连接，求的面积；（3）抛物线上有一个动点，与，两点构成，是否存在？若存在请求出点的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）根据待定系数法可求二次函数的解析式；（2）由题意可得点，点坐标，求出解析式，可求点坐标，即可求的面积；（3）点到轴的距离为，根据，可求，再分点在轴上方，轴下方讨论，可求点坐标【解答】解：（1）二次函数的图象过，解得，二次函数解析式为：（2），函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线，点坐标点，点是抛物线与轴的交点点，点关于对称轴直线对称且设所在的直线解析式为，且过嗲，点解得，所在的直线解析式为，点是直线与抛
21、物线的交点，解得，（舍去），当时，（3）存在，设点到轴的距离为，且，解得，当在轴上方时，解得，当当在轴下方时，解得，【点评】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求解析式，利用数形结合思想和分类讨论思想解决问题是本题的关键五、解答题（本题共35分，24题11分，25、26题各12分）24（11分）如图1，已知中，点在上，且，连接将沿射线方向平移，得到，到达点时，停止平移，设平移距离为，与重合面积为，且与的函数关系式如图2所示，与所对应的解析式不同）（1）6，（2）写出与的函数关系式，直接写出对应的取值范围【分析】（1）当点到达点的位置时，即，则，此时重合，解得：，即，解得：，即可求解；（2），
22、如图2，；即可求解【解答】解：（1）当点到达点的位置时，即，则，此时重合，解得：，即，解得：，到达点时，停止平移，故，故答案为：6，8；（2）如图1，当时，作于点，设，则，同理，则，同理，故；如图2，当时，；故【点评】本题考查的是动点图象问题，涉及到图象的面积计算、解直角三角形等知识，此类问题关键是，要弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解25（12分）阅读下面材料小胖同学遇到这样一个问题：如图1，中，点在上，点是延长线上的点，连接交于过点作，垂足为若，求的值小胖通过计算角度发现，于是作出点关于的对称点，使得，进而得出，接着截取，得出一组全等三角形（1）请沿着小胖的思路继续完成此题的
23、解答过程：（2）参考小胖的解题方法完成下面问题：如图3，在中，探索、三条线段的数量关系【分析】（1）根据可证明，得出，证明，则可求出；（2）作交于点，延长到点，使得，证明，得出比例线段，设，可得出，则，可得出【解答】解：（1），且，；（2）如图，作交于点，延长到点，使得，设，【点评】本题考查了全等三角形判定与性质、轴对称的性质、平行线的判定及性质以及相似三角形的判定与性质，作出恰当的辅助线是解答此题的关键26（12分）抛物线与直线交于点，点横坐标为，其中，将绕点逆时针旋转后形成，点恰好在抛物线上（1）求抛物线的解析式（用含的代数式表示）；（2）若抛物线与直线交于，两点，且，则值为多少？（3）若
24、为整数，当在轴下方的抛物线上恰好有5个整数点（横坐标为整数），求出值【分析】（1）点在直线，则点，将绕点逆时针旋转后形成，由旋转的性质得点，即可求解；（2）直线的倾斜角为，则，则，则，即可求解；（3）抛物线在轴下方恰好有5个整数点，则，则，即可求解【解答】解：（1）点在直线，则点，将绕点逆时针旋转后形成，由旋转的性质得点，将点、坐标代入抛物线表达式并解得：，故函数的表达式为：；（2）直线的倾斜角为，则，联立直线与抛物线的表达式并整理得：，解得：，则，解得（负值已舍去）；（3）令，则，则，抛物线在轴下方恰好有5个整数点，则，为整数，故【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形的旋转、解不等式等，其中用韦达定理处理复杂数据，是本题解题的关键
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