1、2019-2020学年山东省枣庄市台儿庄区九年级（上）期中数学试卷一、选择题：下面每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项选出来.每小题3分，共36分.1（3分）一元二次方程配方后可化为ABCD2（3分）下列命题正确的是A对角线相等的四边形是平行四边形B对角线相等的四边形是矩形C对角线互相垂直的平行四边形是菱形D对角线互相垂直且相等的四边形是正方形3（3分）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，下列判断正确的是A1一定不是关于的方程的根B0一定不是关于的方程的根C1和都是关于的方程的根D1和不都是关于的方程的根4（3分）某几何体由若干个大小相同的小正方体搭成，其主视图与左视图
2、如图所示，则搭成这个几何体的小正方体最少有个A4B5C6D75（3分）如图，点是边长为1的菱形对角线上的一个动点，点，分别是，边上的中点，则的最小值是AB1CD26（3分）如图，在中，点在边上，连接，点在线段上，且交于点，且交于点，则下列结论一定正确的是ABCD7（3分）如图，有一张矩形纸片，长，宽，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是，求剪去的小正方形的边长设剪去的小正方形边长是，根据题意可列方程为ABCD8（3分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，若，则的值是A2BC2或D不存在9（3分）如图，在中，为边上的高，为边
3、上的中线，则A2B3C4D10（3分）小明拿一个等边三角形木框在太阳下玩耍，发现等边三角形木框在地面上的投影不可能是ABCD11（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，分别在轴和轴上，并且，若把矩形绕着点逆时针旋转，使点恰好落在边上的处，则点的对应点的坐标为A，B，C，D，12（3分）正方形的边长，为的中点，为的中点，分别与、相交于点，则的长为ABCD二、填空题：本题共6小题，每小题填对得4分，共24分只要求填最后结果13（4分）三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程的解，则此三角形的周长是14（4分）已知一个菱形的边长为2，较长的对角线长为，则这个菱形的面积是15（4分）如图，这
4、个图案是3世纪我国汉代数学家赵爽在注解周髀算经时给出的，人们称它为“赵爽弦图”已知，若向正方形内随意投掷飞镖（每次均落在正方形内，且落在正方形内任何一点的机会均等），则恰好落在正方形内的概率为16（4分）如图是由若干个棱长为1的小正方体组合而成的一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是 17（4分）如图所示，在正方形中，为边中点，连接并延长交边的延长线于点，对角线交于点已知，则线段的长度为18（4分）如图，在平面直角坐标系中，菱形的一个顶点在原点处，且，点的坐标是，则直线的表达式是三、解答题：解答要写出必要的文字说明或演算步骤19（10分）解方程（1）（2）（配方法）20（8分）随着信息技术
5、的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：（1）这次活动共调查了人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为；（2）将条形统计图补充完整观察此图，支付方式的“众数”是“”；（3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率21（8分）某服装店出售某品牌的棉衣，进价为100元件，当售价为150元件时，平
6、均每天可卖30件；为了尽快减少库存迎接“元旦”的到来，商店决定降价销售，增加利润，经调查每件降价5元，则每天可多卖10件，现要想平均每天获利2000元，且让顾客得到实惠，那么每件棉衣应降价多少元？22（10分）在正方形中，是边上一点（点不与点、重合），连结【感知】如图，过点作交于点易证（不需要证明）【探究】如图，取的中点，过点作交于点，交于点（1）求证：（2）连结，若，则的长为【应用】如图，取的中点，连结过点作交于点，连结、若，则四边形的面积为23（12分）如图，是矩形的对角线，将沿射线方向平移到的位置，使为中点，连接，如图（1）求证：四边形是菱形；（2）四边形的周长为 ；（3）将四边形沿它的
7、两条对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形，直接写出所有可能拼成的矩形周长24（12分）如图，在矩形中，为边上一点，平分，为的中点，连接，过点作分别交，于，两点（1）求证：；（2）求证：；（3）当时，请直接写出的长参考答案与试题解析一、选择题：下面每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项选出来.每小题3分，共36分.1（3分）一元二次方程配方后可化为ABCD【分析】根据配方法即可求出答案【解答】解：故选：【点评】本题考查一元二次方程的配方法，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型2（3分）下列命题正确的是A对角线相等的四边形是平行四边形B对角线相等的四边形是矩
8、形C对角线互相垂直的平行四边形是菱形D对角线互相垂直且相等的四边形是正方形【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可【解答】解：对角线互相平分的四边形是平行四边形，错误；对角线相等的平行四边形是矩形，错误；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确；对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，错误；故选：【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理3（3分）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，下列判断正确的是A1一定不是关于的方程的根B0一定不是关于的方程的根C1和都是关于的方程的根D1和不都是关于的方
9、程的根【分析】根据方程有两个相等的实数根可得出或，当时，是方程的根；当时，1是方程的根再结合，可得出1和不都是关于的方程的根【解答】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，或当时，有，此时是方程的根；当时，有，此时1是方程的根，和不都是关于的方程的根故选：【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键4（3分）某几何体由若干个大小相同的小正方体搭成，其主视图与左视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体最少有个A4B5C6D7【分析】易得这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层立方体的个数，由主视图可得第二层立方体的可能的个数，相加即可【解答
10、】解：如图，根据主视图与左视图，画出该几何体的俯视图：结合主视图和俯视图可知，第一列至少1个，第二列至少2个，第三列至少1个，所以图中的小正方体最少4个故选：【点评】本题考查了三视图，三视图是中考经常考查的知识内容，难度不大，但要求对三视图画法规则要熟练掌握，对常见几何体的三视图要熟悉5（3分）如图，点是边长为1的菱形对角线上的一个动点，点，分别是，边上的中点，则的最小值是AB1CD2【分析】先作点关于的对称点，连接交于，此时有最小值然后证明四边形为平行四边形，即可求出【解答】解：如图，作点关于的对称点，连接交于，此时有最小值，最小值为的长菱形关于对称，是边上的中点，是的中点，又是边上的中点，
11、四边形是平行四边形，即的最小值为1，故选：【点评】本题考查的是轴对称最短路线问题及菱形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键6（3分）如图，在中，点在边上，连接，点在线段上，且交于点，且交于点，则下列结论一定正确的是ABCD【分析】由、可得出、，根据相似三角形的性质即可找出，此题得解【解答】解：，故选：【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质找出是解题的关键7（3分）如图，有一张矩形纸片，长，宽，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是，求剪去的小正方形的边长设剪去的小正方形边长是，根据题意可列方程为
12、ABCD【分析】设剪去的小正方形边长是，则纸盒底面的长为，宽为，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面（图中阴影部分）面积是，即可得出关于的一元二次方程，此题得解【解答】解：设剪去的小正方形边长是，则纸盒底面的长为，宽为，根据题意得：故选：【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键8（3分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，若，则的值是A2BC2或D不存在【分析】先由二次项系数非零及根的判别式，得出关于的不等式组，解之得出的取值范围，再根据根与系数的关系可得出，结合，即可求出的值【解答】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根、，解得：
13、且、是方程的两个实数根，或，故选：【点评】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据二次项系数非零及根的判别式，找出关于的不等式组；（2）牢记两根之和等于、两根之积等于9（3分）如图，在中，为边上的高，为边上的中线，则A2B3C4D【分析】根据直角三角形的性质得出，进而得出，利用勾股定理解答即可【解答】解：在中，为边上的中线，为边上的高，在中，故选：【点评】此题考查直角三角形的性质，关键是根据直角三角形的性质得出10（3分）小明拿一个等边三角形木框在太阳下玩耍，发现等边三角形木框在地面上的投影不可能是ABCD【分析】在不同时刻，同一物体的影子的方向和大
14、小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，依此进行分析【解答】解：当等边三角形木框与阳光平行时，投影是；当等边三角形木框与阳光有一定角度时，投影是或；投影不可能是故选：【点评】本题主要考查对平行投影的理解和掌握，能熟练地观察图形得出正确结论是解此题的关键11（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，分别在轴和轴上，并且，若把矩形绕着点逆时针旋转，使点恰好落在边上的处，则点的对应点的坐标为A，B，C，D，【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出三边关系，再利用勾股定理得出答案【解答】解：过点作轴于点，过点作轴于点，由题意可得：，则，设，则，则，解得：（负数舍去），则
15、，故点的对应点的坐标为：，故选：【点评】此题主要考查了矩形的性质以及勾股定理等知识，正确得出是解题关键12（3分）正方形的边长，为的中点，为的中点，分别与、相交于点，则的长为ABCD【分析】根据，可求出的长；再根据，求出的长，利用即可解决【解答】解：，而，又，即：，故选：【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，比例的性质，解题有关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质二、填空题：本题共6小题，每小题填对得4分，共24分只要求填最后结果13（4分）三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程的解，则此三角形的周长是13【分析】求出方程的解，有两种情况：
16、时，看看是否符合三角形三边关系定理；时，看看是否符合三角形三边关系定理；求出即可【解答】解：，当时，不符合三角形的三边关系定理，所以舍去，当时，符合三角形的三边关系定理，三角形的周长是，故答案为：13【点评】本题考查了三角形的三边关系定理和解一元二次方程等知识点，关键是确定第三边的大小，三角形的两边之和大于第三边，分类讨论思想的运用，题型较好，难度适中14（4分）已知一个菱形的边长为2，较长的对角线长为，则这个菱形的面积是【分析】根据菱形的性质结合勾股定理可求出较短的对角线的长，再根据菱形的面积公式即可求出该菱形的面积【解答】解：依照题意画出图形，如图所示在中，故答案为：【点评】本题考查了菱形
17、的性质以及勾股定理，根据菱形的性质结合勾股定理求出较短的对角线的长是解题的关键15（4分）如图，这个图案是3世纪我国汉代数学家赵爽在注解周髀算经时给出的，人们称它为“赵爽弦图”已知，若向正方形内随意投掷飞镖（每次均落在正方形内，且落在正方形内任何一点的机会均等），则恰好落在正方形内的概率为【分析】根据几何概型概率的求法，飞镖扎在小正方形内的概率为小正方形内与大正方形的面积比，根据题意，可得小正方形的面积与大正方形的面积，进而可得答案【解答】解：根据题意，故飞镖扎在小正方形内的概率为故答案为【点评】本题考查概率、正方形的性质，用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比；难点是得到正方形的边长16
18、（4分）如图是由若干个棱长为1的小正方体组合而成的一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是22【分析】利用主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，进而判断图形形状，即可得出小正方体的个数【解答】解：综合三视图，我们可以得出，这个几何模型的底层有个小正方体，第二层有1个小正方体，因此搭成这个几何体模型所用的小正方体的个数是个这个几何体的表面积是，故答案为22【点评】本题考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”是解题的关键17（4分）如图所示，在正方形中，为边中点，连接并延长交边
19、的延长线于点，对角线交于点已知，则线段的长度为12【分析】根据正方形的性质可得出，进而可得出，根据相似三角形的性质可得出，结合可求出、的长度，由、可得出为的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出的长度，此题得解【解答】解：四边形为正方形，为的中位线，故答案是：12【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形的中位线，利用相似三角形的性质求出的长度是解题的关键18（4分）如图，在平面直角坐标系中，菱形的一个顶点在原点处，且，点的坐标是，则直线的表达式是【分析】根据菱形的性质，可得的长，根据三角函数，可得与，根据待定系数法，可得答案【解答】解：如图，由菱形的一个顶点在原点处，点
20、的坐标是，得又，设的解析式为，将，点坐标代入函数解析式，得，解得，直线的表达式是，故答案为：【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，利用锐角三角函数得出点坐标是解题关键，又利用了菱形的性质及待定系数法求函数解析式三、解答题：解答要写出必要的文字说明或演算步骤19（10分）解方程（1）（2）（配方法）【分析】（1）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）移项，系数化成1，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可【解答】解：（1），；（2），【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键20（8分）随着信息技术的迅猛发展，人们去
21、商场购物的支付方式更加多样、便捷某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：（1）这次活动共调查了200人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为；（2）将条形统计图补充完整观察此图，支付方式的“众数”是“”；（3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率【分析】（1）用支付宝、现金及其他的人数和除以这三者的百分比之和可得总人数，再用乘以“支付宝
22、”人数所占比例即可得；（2）用总人数乘以对应百分比可得微信、银行卡的人数，从而补全图形，再根据众数的定义求解可得；（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两人恰好选择同一种支付方式的情况，再利用概率公式即可求得答案【解答】解：（1）本次活动调查的总人数为人，则表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为，故答案为：200、；（2）微信人数为人，银行卡人数为人，补全图形如下：由条形图知，支付方式的“众数”是“微信”，故答案为：微信；（3）将微信记为、支付宝记为、银行卡记为，画树状图如下：画树状图得：共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种，两人恰好选择同一种
23、支付方式的概率为【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比21（8分）某服装店出售某品牌的棉衣，进价为100元件，当售价为150元件时，平均每天可卖30件；为了尽快减少库存迎接“元旦”的到来，商店决定降价销售，增加利润，经调查每件降价5元，则每天可多卖10件，现要想平均每天获利2000元，且让顾客得到实惠，那么每件棉衣应降价多少元？【分析】设每件棉衣应降价元，根据平均每天获利2000元，即可得出关于的一元二次方程，解方程即可得出的值，取其中较大的值，此题得解【解答】解：设每件棉衣应降价元，由题意得：，整理得：，解得：，的值选25答：每件棉衣应降价25元
24、【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出关系的一元二次方程是解题的关键22（10分）在正方形中，是边上一点（点不与点、重合），连结【感知】如图，过点作交于点易证（不需要证明）【探究】如图，取的中点，过点作交于点，交于点（1）求证：（2）连结，若，则的长为2【应用】如图，取的中点，连结过点作交于点，连结、若，则四边形的面积为【分析】感知：利用同角的余角相等判断出，即可得出结论；探究：（1）判断出，同感知的方法判断出，即可得出结论；（2）利用直角三角形的斜边的中线是斜边的一半，应用：借助感知得出结论和直角三角形斜边的中线是斜边的一半即可得出结论【解答】解：感知：四边形是正方形，在和中
25、，；探究：（1）如图，过点作于，四边形是正方形，四边形是矩形，同感知的方法得，在和中，（2）由（1）知，连接，点是的中点，故答案为：2应用：同探究（2）得，同探究（1）得，故答案为9【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，判断出是解本题的关键23（12分）如图，是矩形的对角线，将沿射线方向平移到的位置，使为中点，连接，如图（1）求证：四边形是菱形；（2）四边形的周长为；（3）将四边形沿它的两条对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形，直接写出所有可能拼成的矩形周长【分析】（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形，据
26、此进行证明即可；（2）先判定四边形是菱形，再根据边长，即可得到四边形的周长为；（3）根据两种不同的拼法，分别求得可能拼成的矩形周长【解答】解：（1）是矩形的对角线，由平移可得，四边形是平行四边形，为中点，中，又，是等边三角形，四边形是菱形；（2）由平移可得，四边形是平行四边形，由（1）可得，四边形是菱形，四边形的周长为，故答案为：；（3）将四边形沿它的两条对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形如下：矩形周长为或【点评】本题主要考查了菱形的判定与性质，矩形的性质以及勾股定理的运用，解题时注意：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形24（12分）如图，在矩
27、形中，为边上一点，平分，为的中点，连接，过点作分别交，于，两点（1）求证：；（2）求证：；（3）当时，请直接写出的长【分析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到，进而得出；（2）连接，根据等腰三角形的性质得出，再根据直角三角形斜边上中线的性质得出，再根据判定，即可得出，据此可得；（3）根据等角的余角相等可得，再根据公共角，即可判定，进而得出，求得，即可得到【解答】解：（1）四边形是矩形，平分，；（2）如图，连接，为的中点，在矩形中，在和中，；（3）理由如下：，即，【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用
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