1、16.3二次根式的加减,第一课时,第二课时,人教版 数学 八年级 下册,二次根式的加减运算,第一课时,返回,有八只小白兔，每只身上都标有一个最简二次根式，你能根据被开方数的特征将这些小白兔分到四个不同的栅栏里吗？,1. 理解二次根式可以合并的条件.,3. 能熟练地进行二次根式的加减法运算.,素养目标,2. 类比整式的合并同类项，掌握二次根式的加减运算法则.,a,a,a,a,a,a,a,a,a,a,=,+,在七年级我们就已经学过单项式加单项式的法则.观察下图并思考.,由上图，易得2a+3a=5a.,当a= 时，分别代入左右得 ; 当a= 时，分别代入左右得 ;,二次根式可以合并的条件,因为 ，由
2、前面知两者可以合并.,当a= ,b= 时，得2a+3b= .,a,2a+3b,b,=,+,b,b,a,前面依次往下推导，由特殊到一般易知二次根式的被开方数相同可以合并.继续观察下面的过程：,你又有什么发现吗?,归纳总结,将二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同，则这样的二次根式可以合并.,注意：1.判断几个二次根式是否可以合并，一定都要化为最简二次根式再判断.,2.合并的方法与合并同类项类似，把根号外的因数(式)相加，根指数和被开方数(式)不变.如：,1.下列各式中，与 是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D.,D,2.下列二次根式，不能与 合并的是_(填 序号）.,例1 若最简二
3、次根式 与 可以合并，求 的值.,解：由题意得 即,利用二次根式可以合并的条件求字母的值,提示：可以合并的二次根式中字母取值的方法：利用被开方数相同，根指数都为2列关于字母的方程（组）求解即可.,解得,1,（1） 与最简二次根式 能合并，则m =_.,1,（2）若两个最简二次根式 与 可 以合并,则a=_，b=_.,3.完成下列各题：,1,现有一块长7.5dm、宽5dm的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8dm2和18dm2的正方形木板？,7.5dm,5dm,【讨论】 1. 怎样列式求两个正方形边长的和?,S=8dm2,S=18dm2,二次根式的加减,【讨论】2.所列算式
4、能直接进行加减运算吗?如果不能,把式中各个二次根式化成最简二次根式后，再试一试(说出每步运算的依据）.,（化成最简二次根式）,（逆用分配律）,在这块木板上可以截出两个分别是8dm2和18dm2的正方形木板,解：列式如下：,化为最简 二次根式,用分配 律合并,整式 加减,二次根 式性质,分配律,整式加 减法则,依据：二次根式的性质、分配律和整式加减法则.,基本思想：把二次根式加减问题转化为整式加减问题,归纳总结,二次根式的加减法法则:,一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.,(1)化将非最简二次根式的二次根式化简；,加减法的运算步骤：,(2
5、)找找出被开方数相同的二次根式；,(3)并把被开方数相同的二次根式合并.,“一化简二判断三合并”,解：,例2 计算:,二次根式的加减计算,（3）,（4）,（1）,（1）,（2）,（2）,（3）,（4）,4.下列计算正确的是 （ ） A. B. C. D.,C,5.已知一个矩形的长为 ,宽为 ，则其周长为_.,例3 计算:,解：,二次根式的加减混合运算,（1）,（2）,（1）,（2）,6.计算 (1) ；,解：原式,解：原式,（2） .,例4 有一个等腰三角形的两边长分别为 ，求其周长.,解：当腰长为 时， 此时能构成三角形，周长为 当腰长为 时， 此时能构成三角形，周长为,二次根式的综合性题目
6、,7. 如图，两个圆的圆心相同，它们的面积分别是8cm2和18cm2，求圆环的宽度d(两圆半径之差).,解：,答：圆环的宽度d为 cm.,1.（2018曲靖）下列二次根式中能与 合并的是（ ） A B C D,巩固练习,B,2.（2019兰州）计算： （ ） A B C3 D,A,D,1. 与 能合并的二次根式是( ) A. B. C. D.,2.下列计算正确的是 （ ） A. B. C. D.,C,3.三角形的三边长分别为 则这个三角形的周长为_.,4.计算:,（1） =_,（2） =_,（3） =_,（4） =_,解：,5.计算:,(1),(2),(1),(2),6.如果最简二次根式 与
7、可以合并，那么要使式子 有意义，求x的取值范围.,解：由题意得3a-8=17-2a, a=5， 20-2x0，x-50， 5x10.,已知a,b,c满足 . (1)求a,b,c的值； (2)以a,b,c为三边长能否构成三角形？若能构成三角形，求出 其周长；若不能，请说明理由.,解：(1)由题意得 ；,(2)能.理由如下：, 即acb，,又 a+cb，,能够成三角形，周长为,已知a，b都是有理数，现定义新运算：a*b= ，求（2*3）（27*32）的值,解：a*b= ， （2*3）（27*32） = = =,二次根式加减,法则,注意,运算顺序,运算原理,一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化
8、成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.,运算律仍然适用,与实数的运算顺序一样,二次根式的混合运算,第二课时,返回,如何进行单项式与多项式相乘的运算？,你能用字母表示这一结论吗？,思路：,单多,单单,【讨论】若把字母a,b,c,m都用二次根式代替(每个同学任选一组)，然后对比归纳，你们发现了什么？,2. 掌握二次根式的运算方法，明确数的运算顺序、运算律及乘法公式在二次根式运算中仍然适用.,1. 正确运用二次根式的性质及运算法则进行二次根式的混合运算.,素养目标,二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，体现在：运算律、运算顺序、乘法法则仍然适用.,例1 计算：,解：,二次根式
9、的混合运算,考查二次根式的多项式与单项式乘除运算能力,（1）,（2）,（1）,（2）,1.计算：（1） （2）,(2)原式,例2 计算：,【思考】（1）中，每一步的依据是什么？ 第一步的依据是：多项式乘多项式法则； 第二步的依据是：二次根式化简，合并被开方数 相同的二次根式； 第三步的依据是：合并同类项,（1）,考查二次根式的多项式乘法运算能力,2.计算：,（1）,（2）,（2）,回顾提问1 整式乘法运算中的乘法公式有哪些?,平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2;,完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2;,(a-b)2=a2-2ab+b2.,回顾提问2 整式的乘法公式对于二次根
10、式的运算也适用吗?,利用乘法公式计算二次根式,前面我们已经知道二次根式运算类比整式运算，所以适用.,例3 计算：,解：,考查利用乘法公式计算二次根式的能力,（1）,（2）,（1）,（2）,拓展计算：,解：(1)原式,(2)原式,（1）,（2）,3. 计算：,（1）,（2）,（2）,例3 已知 试求x2+2xy+y2的值.,解： x2+2xy+y2=（x+y)2,把 代入上式得,原式=,有关代数式的二次根式运算,解: ，,4. 已知 ，求x3y+xy3.,在前面我们学习二次根式的除法法则时，学会了怎样去掉分母的二次根式的方法，比如:,【思考】 如果分母不是单个的二次根式，而是含二次根式的式子，如
11、： 等，该怎样去掉分母中的二次根式呢？,分母有理化,例4 计算:,解:,分母有理化的应用,提示：分母形如 的式子，分子、分母同乘以 的式子，构成平方差公式，可以使分母不含根号.,（1）,（2）,（1）,（2）,5. 已知 ,求 .,解:,巩固练习,3,1.（2018天津）计算 的结果 等于_,2.（2019常州）下列各数中与 的积是有理数 的是（ ） A B2 C D,D,1.下列计算中正确的是（ ）,B,2.计算：,5,3.设 则a b(填“”“ ”或 “= ”）.,=,4.计算：,解：,（1）,（2）,（1）,（2）,（4）,（3）,解：原式=,=9-3,=6,解：原式=,（5）,解：原式
12、,解：(1)原式,(2)原式,5.计算：,（1）,（2）,甲、乙两个城市间计划修建一条城际铁路， 其中有一段路基的横断面设计为上底宽 m ，下底宽 m，高 m 的梯形，这段路基长 500 m，那么这段路基的土石方 (即路基的体积,其中路基的体积=路基横断面面积路基的长度)为多少立方米呢？,解：路基的土石方等于路基横断面面积乘以路基的长度，所以这段路基的土石方为：,答：这段路基的土石方为,1.已知 的整数部分是a,小数部分是b,求a2-b2的值.,解：,2.阅读下列材料，然后回答问题： 在进行类似于二次根式 的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简：,方法一：,方法二：,解：(1),(1)请用两种不同的方法化简： (2)化简：,(2),二次根式混合运算,乘法公式,化简求值,分母有理化,化简已知条件和所求代数式,(a+b)(a-b)=a2-b2,(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2,(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab,课后作业,作业 内容,教材作业,从课后习题中选取,自主安排,配套练习册练习,
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