1、19.2 一次函数 19.2.3 一次函数与方程、不等式,人教版 数学 八年级 下册,今天数学王国搞了个家庭聚会，各个成员按照自己所在的集合就坐，这时来了“x+y=5”.,二元一次方程,一次函数,x+y=5,1. 认识一次函数与一元（二元）一次方程（组）、一元一次不等式之间的联系,2. 会用函数观点解释方程和不等式及其解（解集）的意义.,素养目标,3. 经历用函数图象表示方程、不等式解的过程，进一步体会“以形表示数，以数解释形”的数形结合思想.,我们先来看下面两个问题： （1）解方程2x+20=0. （2）当自变量x为何值时函数y=2x+20的值为0？,问题： 1. 对于2x+20=0 和y=
2、2x+20，从形式上看，有什么相同和不同？,2. 从问题本质上看，（1）和（2）有什么关系？,一次函数与一元一次方程,作出函数y=2x+20的图象.,【思考】函数图象哪一个点的坐标表示函数值为0?,与x轴的交点(-10,0),即当x=-10时，函数y=2x+20的值为0，这说明方程2x+20=0的解是x=-10.方程的解是函数与x轴的交点的横坐标.,20,-10,问题(1)解方程2x+20=0，,得x=-10.,所对应的（ ）为何值？,实质上这可以通过解方程2x+20=0,得出x=-10.因此，这两个问题实际上是同一个问题.,问题(2)就是要考虑当函数y=2x+20的值为（ ）时，,自变量x,
3、0,从图象上看：,【思考】由上面两个问题的关系，能进一步得到解方程ax+b=0（a， b为常数）与求自变量x为何值时，一次函数y=ax+b的值为0有什么关系？,由上面问题可以得到,一元一次方程的求解与解相应的一次函数问题相一致.,由于任何一个一元一次方程都可转化ax+b=0(a,b为常数, a0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数值y为0时，求相应的自变量x的值.从图象上看,这相当于已知直线y=ax+b,确定它与x轴交点的横坐标的值.,求ax+b=0(a, b是 常数，a0)的解,x为何值y= ax+b 的值为0,求ax+b=0(a, b是 常数，a0)的解,确定直线y= a
4、x+b 与x轴交点的横坐标,从数的角度看,从形的角度看,一次函数与一元一次方程的关系,1.以下的一元一次方程与一次函数问题是同一问题,当x为何值时,y=8x+3的值为0,解方程-7x+2=0,当x为何值时, y=-5x-5的值为0,例1 一个物体现在的速度是5米/秒，其速度每秒增加2米/秒，再过几秒它的速度为17米/秒？(从方程、函数解析式及图象三个不同方面进行解答),解法1：设再过x秒它的速度为17米/秒，,由题意得2x+5=17,解得 x=6,答：再过6秒它的速度为17米/秒.,利用一次函数、方程及图象解答问题,解法2：速度y（单位：米/秒）是时间x（单位：秒）的函数y=2x+5,由2x+
5、5=17 得 2x12=0,由右图看出直线y=2x12与x轴的交点为（6，0），得x=6.,解法3：速度y（单位：米/秒）是时间x（单位：秒）的函数y=2x+5,由右图可以看出当y =17时，x=6.,2.当自变量x的取值满足什么条件时，函数y=2x+8的值满足下列条件？(1)y=0；(2)y=-8.,3.已知方程ax+b=0的解是-2，下列图象一定不是直线y=ax+b的是( ),-2,-2,-2,-2,-2,A,B,C,D,B,x=-4；,x=-8.,解:,3个不等式相同的特点是：不等号左边都是 ； 不同点是：不等号及不等号右边分别是 ， ， .,2,0,-1,一次函数与一元一次不等式,【讨
6、论】你能从函数的角度对以上3个不等式进行解释吗？,小于-1,大于2,小于0,大于2,小于0,小于-1,归纳总结,因为任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以变形为ax +b0或ax +b0（a0）的形式，所以解一元一次不等式相当于在某个一次函数y=ax +b的值 或 时,求自变量x的 .,取值范围,大于0,小于0,求kx+b0(或0） (k0)的解集,y=kx+b的值 大于(或小于)0时， x的取值范围,从“函数值”看,求kx+b0(或0） (k0)的解集,确定直线y=kx+b 在x轴上方(或下方) 的图象所对应的x 取值范围,从“函数图象”看,一次函数与一元一次不等式的关系,4.已知函数y
7、=x-3,当x 时， y0; 当x 时， y0., 3, 3,5.已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，则不等式kx+b0的解集是（ ）,Ax-2 Bx-2 Cx-1 Dx-1,B,y=kx+b,例2 画出函数y=-3x+6的图象，结合图象求： （1）不等式-3x+60 和-3x+60的解集; （2）当x取何值时，y3?,解：作出函数y=-3x+6的图象，如图所示，图象与x轴交于点B(2，0).,x,O,B(2,0),A(0,6),y,利用一次函数的图象解一元一次不等式,解：（1）由图象可知， 不等式-3x+60 的解集是图象位于 x轴上方的x的取值范围,即x2；,x,O,B(2,0),A(
8、0,6),(1,3),y,（2）由图象可知，当x1时，y3.,（1）不等式-3x+60 和-3x+60的解集; （2）当x取何值时，y3?,6.如图，已知直线y=kx+b与x轴交于点(- 4,0)，则当y0时， x的取值范围是（ ） A.x-4 B. x0 C. x-4 D. x0,C,1号探测气球从海拔5 m 处出发，以1 m/min 的速度上升与此同时，2 号探测气球从海拔15 m 处出发，以0.5 m/min 的速度上升两个气球都上升了1 h (1)请用解析式分别表示两个气 球所在位置的海拔 y(m)与气球 上升时间 x(min)的函数关系,气球1 海拔高度：y =x+5； 气球2 海拔
9、高度：y =0.5x+15,解:,一次函数与二元一次方程组,【讨论】一次函数与二元一次方程有什么关系？,一次函数,二元一次方程,从式子（数）角度看：,由函数图象的定义可知： 直线y =0.5x+15上的每个点的坐标(x，y)都能使等式y=0.5x+15成立，即直线y =0.5x+15上的每个点的坐标都是二元一次方程y=0.5x+15的解.,【讨论】从形的角度看，一次函数与二元一次方程有什么关系？,从数的角度看：,就是求自变量为何值时，两个一次函数 y =x+5，y =0.5x+15 的函数值相等，并求出函数值,(2)什么时刻，1 号气球的高度赶上2 号气球的高度？这时的高度是多少？请从数和形两
10、方面分别加以研究.,气球1 海拔高度：y =x+5 气球2 海拔高度：y =0.5x+15,二元一次方程 组的解就是相应的 两个一次函数图象 的交点坐标,A（20，25）,30,25,20,15,10,5,10,20,y =x+5,y =0.5x+15,15,5,O,x,y,从形的角度看，二元一次方程组与一次函数有什么关系？,归纳总结,一般地，任何一个二元一次方程都可以转化为一次函数y=kx+b(k、b为常数，且k0)的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线,方程组的解 对应两条直线交点的坐标.,观察函数图象，直接回答下列问题： （1）在什么时候，1 号气球比2 号气球高
11、？ （2）在什么时候，2 号气球比1 号气球高？,气球1 海拔高度：y =x+5 气球2 海拔高度：y =0.5x+15,（1）20min后，1 号气球比2 号气球高.,（2）020min时，2 号气球比1 号气球高.,例3 如图，求直线l1与l2 的交点坐标.,分析：由函数图象可以求直线l1与l2的解析式，进而通过方程组求出交点坐标.,利用一次函数的图象解二元一次方程组,解：因为直线l1过点(-1，0)， (0，2) ，用待定系数法可求得 直线l1的解析式为y =2x+2.同理 可求得直线l2的解析式为y =-x+3.,即直线l1与l2 的交点坐标为,7.如图，一次函数y=ax+b与y=cx
12、+d的图象交于点P，则方程组 的解是多少？,解：此方程组的解是,1,2,3,-1,-2,-3,-1,-3,-4,-5,2,O,-2,1,4,-6,x,y,P,y=ax+b,y=cx+d,1.（2018呼和浩特）若以二元一次方程x+2yb=0的解为坐标的点（x，y）都在直线 上，则常数b=（ ） A B2 C1 D1,巩固练习,B,2.（2019遵义）如图所示，直线l1： 与直线l2： 交于点P（2，3），不等式 的解集是（ ） Ax2 Bx2 Cx2 Dx2,A,1.直线 与x轴的交点是（ ） A（0，-3） B（-3，0） C（0，3） D（0，-3） 2.方程 的解是 ，则函数 在自变量x
13、等于 时的函数值是8.,B,x=2,2,3. 直线 在坐标系中的位置如图，则方程 的解是x=_.,-2,0,4.根据图象，你能直接说出一元一次方程 的解吗？,解：由图象可知x+3=0的 解为x= 3,从“形”上看,直线y=x+3的图象与x轴交点坐标为（-3,0），这说明方程x30的解是x=-3.,0,5.当自变量取何值时，函数 与 的值相等？这个函数值是多少？,解： 由已知可得： 2.5x+ 1 = 5x+ 17, 解得：x=-6.4 y=5 (- 6.4 )+ 17 y=-15,6.用函数图象来解决5x+63x+10.,解：化简，得2x-40.画出直线y=2x-4的图象.,可以看出，当x2时
14、，这条直线上的点在x轴的上方，即这时y=2x-40. 所以不等式的解集是x2.,一次函数y1=4x+5与y2=3x+10的图象如图所示,则4x+53x+10的解集是（ ） A.x5 C.x-5 D.x25,1,B,直线 与x轴的交点的横坐标的值是方程 的解，求a的值.,解：由题意可得： 当直线y=3x+ 6与x轴相交时，y=0 则3x+ 6=0, 解得：x= -2, 当x= -2 时， 2 (-2) + a =0 解得：a = 4,一次函数与方程、不等式,解一元一次方程 对应一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，即一次函数与x轴交点的横坐标.,解一元一次不等式 对应一次函数的函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围，即在x轴上方(或下方)的图象所对应的x取值范围 .,解二元一次方程组 求对应两条直线交点的坐标 .,课后作业,作业 内容,教材作业,从课后习题中选取,自主安排,配套练习册练习,
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