1、（数学试题 第 1 页，共 4 页） 山东师大附中 2017 级第 3 次月考考试 数学试题 2019.11 本试卷共 4 页，共 150 分，考试时间 120 分钟. 一、单项选择题:本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 2 230Ax xx，22Bxx ，若AB I （ ） A ( 2,2) B( 2,1) C( 1,3) D ( 1,2) 2. 已知命题:R,10 x pxex ，则命题 p （ ） AR, 10 x xex BR,10 x xex CR, 10 x xex DR,10 x xex 3.
2、 要得到函数sin(2) 3 yx 的图象，只需要把函数sin2yx的图象（ ） A. 向左平移 3 个单位 B. 向右平移 3 个单位 C. 向左平移 6 个单位 D. 向右平移 6 个单位 4. 已知数列 n a满足 1 2 nn aa 且 246 9aaa，则 3579 log ()aaa ( ) A. 3 B. 3 C. 1 3 D. 1 3 5. 函数( )log(0,1) a f xx aa是增函数的一个充分不必要条件是（ ） A 1 0 2 a B01a C1a D 24a 6. 函数 3 1 ( )( ) 2 x f xx的零点所在区间为（ ） A( 1,0) B 1 (0,
3、) 2 C 1 ( ,1) 2 D(1,2) 7. 若0,0,lglglg2ababab，则2ab的最小值为（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 （数学试题 第 2 页，共 4 页） 8. 已知 2 1 ln 2 f xxax在区间0,2上有极值点，实数a的取值范围是（ ） A. 0,2 B. 2,00,2 C. 0,4 D. 4,00,4 9. 泉城广场上矗立着的“泉标” ，成为泉城济南的标志和象征. 为了测量“泉标”高度，某 同学在“泉标”的正西方向的点A处测得“泉标”顶端的仰角为45o，沿点A向北偏东30o 前进100m到达点B， 在点B处测得 “泉标” 顶端的仰角为30o，
4、则 “泉标” 的高度为 （ ） A. 50m B. 100m C. 120m D. 150m 10. 已知偶函数( )f x的定义域为(,) 2 2 ，其导函数为( )fx，当0 2 x 时，有 ( )cos( )sin0fxxf xx成立， 则关于x的不等式( )2 () cos 4 f xfx 的解集为 （ ） A. , 4 2 B. , 244 2 C. ,00, 44 D. ,0, 44 2 二、多项选择题:本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分.在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求的.全部选对的得 4 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分. 11. 下列函
5、数中，既是偶函数，又在(0,)上单调递增的是（ ） A. 3 yx B. 2 yx C. x ye D. 2 lgyx 12. 在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，终边经过点(1,)(0)Pm m，则下列各 式一定为正的是（ ） A. sincos B. cossin C. sincos D. sin tan 13. 已知函数 2 ( )lnf xxxx，0x是函数( )f x的极值点， 以下几个结论中正确的是 （ ） A. 0 1 0x e B. 0 1 x e C. 00 ()20f xx D. 00 ()20f xx （数学试题 第 3 页，共 4 页） 三、填空题：本大题共 4
6、小题，每小题 4 分，共 16 分.把答案填在对应题号的横线上. 14. 已知 1 tan 3 ，则 2 sin2sin 1 cos2 的值为 . 15. 已知函数( )f x是定义在R上的奇函数，当 12 xx时，有 1212 ( )()()0f xf xxx 恒成立，若(31)(2)0fxf，则x的取值范围是 . 16. 设等差数列 n a前n项和为 n S.若 2 10a ， 5 40S ，则 5 a ， n S的最大 值为 . 17. 已知函数 2(01) ( ) 2 (1) xx f x x x ，若方程( )f xxa 有三个不同的实根，则实 数a的取值范围是 . 四、解答题：本大
7、题共 6 小题，共 82 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. （本小题满分 10 分） 设等差数列 n a前n项和为 n S，满足 42 4SS， 9 17a . （1）求数列 n a的通项公式； （2）设数列 n b满足 12 12 1 1 2 n n n bbb aaa ，求数列 n b的通项公式 . 19. （本小题满分 14 分）ABC的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，且满足 coscos2cAaCa . （1）求 a b 的值； （2）若1a ，7c ，求ABC的面积 20. （本小题满分 14 分）设函数 5 ( )2cos()cos2sin()
8、cos1 22 f xxxxx . （1）设方程01)(xf在), 0(内有两个零点 21 xx，求 21 xx 的值； （2） 若把函数)(xfy 的图象向左平移 6 个单位， 再向下平移 2 个单位， 得函数)(xg 图象，求函数)(xg在, 3 3 上的最值. （数学试题 第 4 页，共 4 页） 21. （本小题满分 14 分）设函数( )sin x f xeaxb. （1）当1a ，0,)x时，( )0f x 恒成立，求实数b的取值范围； （2） 若( )f x在0x 处的切线为10xy ， 且方程 2 ( ) mx f x x 恰有两解， 求实数m 的取值范围. 22. （本小题满
9、分 15 分） 已知某工厂每天的固定成本是4万元，每生产一件产品成本增加 100元 ， 工 厂 每 件 产 品 的 出 厂 价 定 为a元 时 ， 生 产x件 产 品 的 销 售 收 入 为 2 1 ( )500 4 R xxx （元） ，( )P x为每天生产x件产品的平均利润（平均利润=总利润/总 产量）. 销售商从工厂每件a元进货后又以每件b元销售，()baca，其中c为最 高限价（abc） ，为该产品畅销系数.据市场调查，由当ba是,cb ca的比例 中项时来确定. （1）每天生产量x为多少时，平均利润( )P x取得最大值？并求出( )P x的最大值； （2）求畅销系数的值； （3）
10、若600c ，当厂家平均利润最大时，求a与b的值. 23. （本小题满分 15 分）已知函数( )lnf xxax. （1）当1a 时，判断函数的单调性； （2）若( )0f x 恒成立，求a的取值范围； （3）已知0abe，证明 ba ab . ( )f x （数学试题 第 5 页，共 4 页） 参考答案参考答案（2019.11） 一. 单项选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A C B D C A C A B 二. 多项选择题 11. CD 12. BD 13. AD 三. 填空题 14. 5 18 15. (, 1) 16. 4；42 17. (2 2,3)
11、 四. 解答题 18. 解： （1）设等差数列 n a首项为 1 a，公差为d 由已知得 11 91 4684 817 adad aad ，解得 1 1 2 a d 于是1 2(1)21 n ann （2）当1n 时， 1 1 11 1 22 b a 当2n 时， 1 111 (1)(1) 222 n nnn n b a ， 当1n 时上式也成立 于是 1 2 n n n b a 故 121 22 nn nn n ba 19. 解： （1）由正弦定理，coscos2cAaCa可化为 sincoscossin2sinCACAA，也就是sin()2sinACA 由ABC中ABC可得 sin()si
12、n()sinACBB 即sin2sinBA. 由正弦定理可得2ba，故 1 2 a b （数学试题 第 6 页，共 4 页） （2）由1a 可知2b 而7c ，由余弦定理可知 222 1 cos 22 abc C ab 又0C于是 2 3 C 1123 sin1 2 sin 2232 ABC SabC 20. 解： （1）由题设知 2) 4 2cos(212cos12sin)( xxxxf ， 12) 4 2cos(2, 01)( xxf， 2 2 ) 4 2cos( x， 或 4 3 2 4 2 kxZkkx, 4 5 2 4 2 得 4 kx或 2 kx， 4 3 , 2 , 4 ), 0
13、( 2121 xxxxx （2）)(xfy 图像向左平移 6 个单位，得 2 co s 2 ()22 co s ( 2)22 s i n ( 2)2 64341 2 yxxx 再向下平移 2 个单位得) 12 2sin(2)( xxg 当, 3 3 x 时， 73 (2), 12124 x ，sin(2) 1,1 12 x )(xf在, 3 3 的最大值为2，最小值为2 21. 解： （1）函数( )sin x f xeaxb求导可得( )cos x fxeax 当1a 时( )cos x fxex. 当0,)x时，1,cos 1,1 x ex 且当cos1x 时， 2()xkkZ ，此时1
14、x e 成立，故( )cos0 x fxex在0,)x恒成立 于是( )f x在0,)上单调递增，所以( )(0)1f xfb . 若( )0f x 恒成立，只需要10b，解得1b （2）由题意得(0)11fa 可知0a 由点(0,1)b在直线10xy 上可知0(1) 10b ，解得2b （数学试题 第 7 页，共 4 页） 于是( )2 x f xe 若方程 2 ( ) mx f x x 恰有两解，则方程(2)2 x exmx有两解，也就是 x xem 有两解 令( ) x g xxe，求导得( )(1) x g xex. 当(, 1)x 时，( )0g x ，( )g x在(, 1) 上单
15、调递减； 当( 1,)x 时，( )0g x ，( )g x在( 1,) 上单调递增； 所以 1 ( )( 1)g xg e . 当0x 时，( )0g x ，且当x时，( )0g x ，而(1)0ge， 故实数m的取值范围是 1 0m e 22. 解： （1）由题意得，总利润为 22 11 5001004000040040000 44 xxxxx . 于是 2 1 40040000 140000 4 ( )400 4 xx P xx xx 140000 2400200400200 4 x x 当且仅当 140000 4 x x 即400x 时等号成立 故每天生产量为400件时平均利润最大，最
16、大值为200元 （2）由()baca可得 ba ca ， 由ba是,cb ca的比例中项可知 2 ()()()bacb ca， 即 2 ()() 1(1) () cb cacaab cacaca bababababa 化简得 11 1(1) ，解得 51 2 （3）厂家平均利润最大，生产量为400x 件 ( )11 500400500400 44 R x ax x （数学试题 第 8 页，共 4 页） （或者 4000040000 100( )100200400 400 aP x x ） 代入()baca可得100( 53)b 于是400a ，100( 53)b 23. 由题意可知，函数的定义
17、域为：且 （1）当时， 若，则 ； 若，则 所以函数在区间单调递增，单调递减 （2）若恒成立，则恒成立 又因为所以分离变量得恒成立 设，则，所以 当时，；当时，即函数在上 单调递增，在上单调递减 当时，函数取最大值，所以 （3）欲证 ba ab， 两边取对数， 可得 lnln lnlnlnln ba ab abbaab ab ， 由 （2） 可知在(0, ) e上单调递增，且0abe所以( )( )g ag b，命题得证 ( )lnf xxax0 +， 1 ( )fxa x =1a 11 ( )1= x fx xx ( )0fx01x( )0fx1x ( )f x0 1 ，1 +， ( )0f x ln0xax 0 +x， lnx a x ln ( ) x g x x max ( )ag x 2 1 ln ( ) x g x x ( )0g x+xe，( )0g x(0, )xe ln ( ) x g x x (0, ) e +e ， =x e ln ( ) x g x x max 1 ( )= ( )g xg e e 1 a e ln ( ) x g x x
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