2018-2019学年山西省运城市高一（下）期末数学试卷（含详细解答）

1、2018-2019学年山西省运城市高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）对于任意实数a，b，c，d，下列命题中正确的是（）A若ab，则acbcB若ab，cd，则acbdC若ac2bc2，则abD若ab，则2（5分）已知等差数列an中，若a4+a1220，d3，则a5（）A1B2C3D43（5分）已知ABC满足A60，a，b2，则c（）A1B3C5D74（5分）已知sin，并且是第二象限的角，那么tan的值等于（）ABCD5（5分）已知等差数列an中，若a39，a4+a102，则Sn取最小值时的n（）

2、A9B8C7D66（5分）两个正实数a，b满足3a+b1，则满足，恒成立的m取值范围（）A4，3B3，4C2，6D6，27（5分）设等比数列an的前n项和为Sn，且S53，S1015，则S20（）A255B375C250D2008（5分）已知x，y满足：，则目标函数z3x+y的最大值为（）A6B8C16D49（5分）已知为锐角，sin（+45），则sin2（）ABCD10（5分）（2，1），10，|+|5，则|（）ABC5D2511（5分）已知三角形ABC为等边三角形，AB1，设点P，Q满足，（1），R，若，则（）ABCD12（5分）已知a00，a10，a81，4an15an+an+10，则a

3、4（）ABCD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）已知等比数列an中，a13，a481，若数列bn满足bnlog3an，则数列的前n项和Sn 14（5分）已知tan2，则sin2+sincos2cos2 15（5分）如图，在ABC中，已知点D在BC边上，ADAC，sinBAC，AB3，AD，则BD的长为 16（5分）函数f（x）x+（x6）的最小值为 三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤）17（10分）数列an满足a12，an+13an+2（1）证明an+1是等比数列；（2）写出数列an的通项公式18（12分）在ABC中，角A

4、，B，C的对边分别为a，b，c若（1）求B；（2）求ABC的面积的最大值19（12分）向量（sinx，cosx），（sin（x），cosx）函数f（x）（1）求f（x）的最小正周期及单调増区间；（2）求f（x）在区间0，上的最大值和最小值及取最值时x的值20（12分）已知关于x的不等式ax2（a+1）x+10，aR（1）若不等式的解集为x|x1，求a；（2）当aR时，解此不等式21（12分）某种汽车的购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元，年维修费用第一年是0.2万元，第二年是0.4万元，第三年是0.6万元，以后逐年递增0.2万元汽车的购车费用、每年使用的保险费、养

5、路费、汽油费、维修费用的和平均摊到每一年的费用叫做年平均费用设这种汽车使用x（xN*）年的维修费用为g（x），年平均费用为f（x）（1）求出函数g（x），f（x）的解析式；（2）这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最小？最小值是多少？22（12分）已知数列an为递增的等差数列，a11，且a2，a3+1，a8成等比数列数列bn的前n项和为Sn，且满足Sn2bn1（1）求an，bn的通项公式（2）令cn2anbn，求cn的前n项和Tn2018-2019学年山西省运城市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

6、目要求的）1（5分）对于任意实数a，b，c，d，下列命题中正确的是（）A若ab，则acbcB若ab，cd，则acbdC若ac2bc2，则abD若ab，则【分析】由ab，c0可判断A；由0ab，0cd可判断B；由ac2bc2，可得c0，可判断C；由a0b，可判断D【解答】解：若ab，c0，则acbc，故A错误；若0ab，0cd，则acbd，故B错误；若ac2bc2，可得c0，则ab，故C正确；若a0b，则，故D错误故选：C【点评】本题考查不等式的性质，以及反例法的运用，考查运算能力和推理能力，属于基础题2（5分）已知等差数列an中，若a4+a1220，d3，则a5（）A1B2C3D4【分析】利用

7、等差数列通项公式求出a111，由此能求出a5【解答】解：等差数列an中，a4+a1220，d3，a1+33+a1+31120，解得a111，a511+341故选：A【点评】本题考查等差数列的第5项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题3（5分）已知ABC满足A60，a，b2，则c（）A1B3C5D7【分析】直接利用余弦定理化简求值【解答】解：在ABC中，由A60，a，b2，得，即74+c22c，c22c30解得：c1（舍）或c3故选：B【点评】本题考查三角形的解法，考查余弦定理的应用，是基础题4（5分）已知sin，并且是第二象限的角，那么tan的值等于（）ABCD【分

8、析】由角的正弦值和角所在的象限，求出角的余弦值，然后，正弦值除以余弦值得正切值【解答】解：sin且是第二象限的角，故选：A【点评】掌握同角三角函数的基本关系式，并会运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明本题是给值求值5（5分）已知等差数列an中，若a39，a4+a102，则Sn取最小值时的n（）A9B8C7D6【分析】利用等差数列通项公式列出方程组求出a113，d2，从而求出Sn13n+（n7）249由此能求出Sn取最小值时的n的值【解答】解：等差数列an中，a39，a4+a102，解得a113，d2，Sn13n+（n7）249Sn取最小值时的n7故选：C【点评】本题考查实数值的

9、求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题6（5分）两个正实数a，b满足3a+b1，则满足，恒成立的m取值范围（）A4，3B3，4C2，6D6，2【分析】由基本不等式和“1”的代换，可得+的最小值，再由不等式恒成立思想可得m2m小于等于最小值，解不等式可得所求范围【解答】解：由3a+b1，a0，b0，可得+（3a+b）（+）6+6+212，当且仅当a，b上式取得等号，由题意可得m2m+的最小值，即有m2m12，解得3m4故选：B【点评】本题考查基本不等式的运用，以及不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想，考查运算能力，属于中档题7（5分）设等比数列an的前n项和为Sn，且S

10、53，S1015，则S20（）A255B375C250D200【分析】可设等比数列an的公比为q，从而据题意可得出，从而即可求出q54，这样即可得出q1016，从而得出【解答】解：设等比数列an的公比为q（q1），则根据S53，S1015得：；得：1+q55；q54；q1016；1715255故选：A【点评】考查等比数列的前n项和公式，以及平方差公式的运用8（5分）已知x，y满足：，则目标函数z3x+y的最大值为（）A6B8C16D4【分析】先根据约束条件画出平面区域，然后平移直线y3x，当过点A（2，2）时，直线在y轴上的截距最大，从而求出所求【解答】解：满足约束条件x，y满足：的平面区域如

11、下图所示：平移直线y3x，由图易得，当x1，y1时，目标函数3x+y的最大值为4故选：D【点评】本题考查的知识点是简单的线性规划，画出满足约束条件的可行域是关键，属于基础题9（5分）已知为锐角，sin（+45），则sin2（）ABCD【分析】直接利用三角函数的诱导公式及二倍角的余弦求解【解答】解：由sin（+45），得sin2cos（2+90）cos2（+45）12sin2（+45）故选：D【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及诱导公式的应用，是基础题10（5分）（2，1），10，|+|5，则|（）ABC5D25【分析】（2，1），10，|+|5，|2+2+|250，代入求解即可【

12、解答】解：（2，1），10，|+|5，|+|2（5）2，即|，|225，即|5，故选：C【点评】本题考查了向量的运算，运用求解向量的长度问题11（5分）已知三角形ABC为等边三角形，AB1，设点P，Q满足，（1），R，若，则（）ABCD【分析】由平面向量的线性运算及平面向量基本定理得：因为，可得424+10，解得，得解【解答】解：由三角形ABC为等边三角形，AB1，所以，（）（）（1）（1）22+，即424+10，解得，故选：D【点评】本题考查了平面向量的线性运算及平面向量基本定理，属中档题12（5分）已知a00，a10，a81，4an15an+an+10，则a4（）ABCD【分析】构造新数列

13、求解通项，即可求解a4，【解答】解：已知a00，a10，a81，4an15an+an+10，可得：an+1an4an4an1令anan1bn；b1a1可得4，那么：anan1a2a14a1，累加可得：a1a81，即故选：A【点评】数列的通项an或前n项和Sn中的n通常是对任意nN成立，因此可将其中的n换成n+1或n1等，这种办法通常称迭代或递推了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；能利用累加求解通项；二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）已知等比数列an中，a13，a481，若数列bn满足bnlog3an，则数列的前n项和Sn【分析】根据q3求得q，进而根据

14、等比数列的通项公式求得an，则bn可得，最后利用裂项法求得数列的前n项的和【解答】解：q327，求得q3an33n13n，bnlog3ann，Sn1+1故答案为：【点评】本题主要考查了等比数列的性质考查了学生对基础知识的综合运用14（5分）已知tan2，则sin2+sincos2cos2【分析】利用“1sin2+cos2”，再将弦化切，利用条件，即可求得结论【解答】解：sin2+sincos2cos2tan2sin2+sincos2cos2故答案为：【点评】本题重点考查同角三角函数间基本关系，解题的关键是利用“1sin2+cos2”，再将弦化切，属于基础题15（5分）如图，在ABC中，已知点D

15、在BC边上，ADAC，sinBAC，AB3，AD，则BD的长为【分析】由BACBAD+DAC，DAC90，得到sinBACcosBAD，在ABD中，由AB，AD及cosBAD的值，利用余弦定理求出BD的长【解答】解：ADAC，DAC90，BACBAD+DACBAD+90，sinBACsin（BAD+90）cosBAD，在ABD中，AB3，AD，根据余弦定理得：BD2AB2+AD22ABADcosBAD9+3236，则BD故答案为：【点评】本题考查了余弦定理，诱导公式，以及垂直的定义和应用问题，熟练掌握余弦定理是解题的关键16（5分）函数f（x）x+（x6）的最小值为【分析】由x6，可得x24，

16、令tx2，t4，则g（t）t+在4，+）递增，即可得到所求最小值【解答】解：由x6，可得x24，f（x）x+（x2）+2，令tx2，t4，则g（t）t+在4，+）递增，可得g（t）的最小值为g（4），则f（x）的最小值为故答案为：【点评】本题考查对勾函数的单调性和运用：求最值，考查运算能力，属于基础题三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤）17（10分）数列an满足a12，an+13an+2（1）证明an+1是等比数列；（2）写出数列an的通项公式【分析】（1）由an+13an+2，得an+1+13（an+1），从而可判断an是以2为首项、3为公比的等比

17、数列；（2）求得an+123n1，即可写出数列an的通项公式【解答】（1）证明：由an+13an+2，得an+1+13（an+1），又a11，所以an+1是以2为首项、3为公比的等比数列；（2）解：an+123n1，an23n11【点评】本题考查等比关系的确定，由题意构造数列为等比数列并利用其通项公式是解决问题的关键，属中档题18（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c若（1）求B；（2）求ABC的面积的最大值【分析】（1）由已知结合正弦定理化边为角，求得cosB，则角B可求；（2）由已知结合余弦定理求得ac的最大值，再由面积公式求ABC的面积的最大值【解答】解：（1）由，结合

18、正弦定理可得（2sinAsinC）cosBsinBcosC，2sinAcosBsinCcosBsinBcosC，2sinAcosBsinCcosB+sinBcosCsin（B+C）sinA，得cosB，B（0，），B；（2）若b2，由余弦定理得：，即a2+c2ac4，又a2+c2ac2acacac，即ac4ABC的面积的最大值为S【点评】本题考查三角形的解法，考查正弦定理及余弦定理的应用，是中档题19（12分）向量（sinx，cosx），（sin（x），cosx）函数f（x）（1）求f（x）的最小正周期及单调増区间；（2）求f（x）在区间0，上的最大值和最小值及取最值时x的值【分析】（1）由平

19、面向量数量积的运算得：f（x）sinxsin（x）+cos2xsin2x+（1+cos2x）sin（2x+）+，故函数的最小正周期为，单调増区间为k，k（kZ）；（2）由三角函数的最值的求法得：当2x+即x时，f（x）取最大值，当2x+即x时，f（x）取最小值0，得解【解答】解：（1）因为（sinx，cosx），（sin（x），cosx）则f（x）sinxsin（x）+cos2xsin2x+（1+cos2x）sin（2x+）+，所以f（x）的最小正周期为T，由2k2k得：k，故函数的最小正周期为，单调増区间为k，k（kZ）；（2）因为x0，所以2x+，即当2x+即x时，f（x）取最大值，当2x

20、+即x时，f（x）取最小值0，故当x时，f（x）取最大值，当x时，f（x）取最小值0【点评】本题考查了平面向量数量积的运算及三角函数的最值，属中档题20（12分）已知关于x的不等式ax2（a+1）x+10，aR（1）若不等式的解集为x|x1，求a；（2）当aR时，解此不等式【分析】（1）根据一元二次不等式的解法与应用，利用根与系数的关系即可求得a的值；（2）不等式化为（ax1）（x1）0，讨论a的取值，从而求得不等式的解集【解答】解：（1）关于x的不等式ax2（a+1）x+10的解集为x|x1，所以，解得a2；（2）不等式ax2（a+1）x+10等价于（ax1）（x1）0，aR；当a0时，不等

21、式化为x10，解得x1；当a0时，不等式等价于（x）（x1）0，若0a1，则1，解得1x；若a1，则1，解得x；若a1，则1，解得x1；当a0时，不等式等价于（x）（x1）0，且01，解得x或x1；综上，a0时，不等式的解集为（1，+），0a1时，不等式的解集为（1，）；a1时，不等式的解集为空集；a1时，不等式的解集为（，1）；a0时，不等式的解集为（，）（1，+）【点评】本题考查了一元二次不等式与对应方程关系应用问题，也考查了分类讨论思想应用问题，是中档题21（12分）某种汽车的购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元，年维修费用第一年是0.2万元，第二年是0.4

22、万元，第三年是0.6万元，以后逐年递增0.2万元汽车的购车费用、每年使用的保险费、养路费、汽油费、维修费用的和平均摊到每一年的费用叫做年平均费用设这种汽车使用x（xN*）年的维修费用为g（x），年平均费用为f（x）（1）求出函数g（x），f（x）的解析式；（2）这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最小？最小值是多少？【分析】（1）根据年维修费用第一年是0.2万元，第二年是0.4万元，第三年是0.6万元，以后逐年递增0.2万元，组成一等差数列，故可得使用x年的维修总费用函数g（x）的解析式；根据年平均费用的定义可得函数f（x）的解析式；（2）利用基本不等式，即可求年平均费用最小【解答】解：（1）

23、由题意知，年维修费用第一年是0.2万元，第二年是0.4万元，第三年是0.6万元，以后逐年递增0.2万元，组成一等差数列，所以使用x年的维修总费用为g（x）万元（3分）依题得（6分）（2）f（x）（8分）当且仅当即x10时取等号（10分）x10时y取得最小值3 万元答：这种汽车使用10年时，它的年平均费用最小，最小值是3万元（12分）【点评】本题考查函数模型的运用，考查基本不等式的运用，解题的关键是正确构建函数，属于中档题22（12分）已知数列an为递增的等差数列，a11，且a2，a3+1，a8成等比数列数列bn的前n项和为Sn，且满足Sn2bn1（1）求an，bn的通项公式（2）令cn2anb

24、n，求cn的前n项和Tn【分析】（1）数列an为递增的等差数列，公差设为d（d0），运用等差数列的通项公式，解方程可得公差，进而得到an；再由数列的递推式和等比数列的定义、通项公式可得所求bn；（2）求得cn2anbnn2n，再由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，化简可得所求和【解答】解：（1）数列an为递增的等差数列，公差设为d（d0），a11，且a2，a3+1，a8成等比数列，可得a2a8（a3+1）2，即为（1+d）（1+7d）（2+2d）2，解得d1，则an1+n1n；数列bn的前n项和为Sn，且满足Sn2bn1n1时，b1S12b11，可得b11，n2时，bnSnSn12bn12bn1+1，化为bn2bn1，则bn2n1；（2）cn2anbnn2n，前n项和Tn12+24+38+n2n，2Tn14+28+316+n2n+1，两式相减可得Tn2+4+8+2nn2n+1n2n+1，化简可得Tn2+（n1）2n+1【点评】本题考查等差数列和等比数列的定义、通项公式和求和公式的运用，数列的递推式的运用，以及数列的错位相减法求和，考查化简运算能力，属于中档题