1、2018-2019学年山西大学附中高一（下）5月月考数学试卷一、选择题（本题共12题，每题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1（3分）log2sin15+log2cos15的值是（）A1B1C2D22（3分）在等差数列an中，已知a28，公差d2，则a12（）A10B12C14D163（3分）在ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（）Ab10，A45，C70Ba60，A45，B60Ca7，b5，A80Db14，b16，C454（3分）在ABC中，若A60，b16，此三角形面积S220，则a的值是（）AB75C51D495（3分）数列an满足an+2an
2、+1+2an，且a11，a22，则a6（）A24B25C26D276（3分）已知ABC中，且，则ABC是（）A正三角形B直角三角形C正三角形或直角三角形D直角三角形或等腰三角形7（3分）若，则cos+sin的值为（）ABCD8（3分）在平行四边形ABCD中，AB4，AD3，DAB，点E，F分别在BC，DC边上，且，则（）AB1C2D9（3分）在ABC中，B，BC边上的高等于BC，则cosA等于（）ABCD10（3分）已知两线段a1，若以a、b为边作三角形，则a边所对的角A的取值范围是（）ABCD11（3分）（2cos20tan70）cos10（）ABC1D12（3分）在ABC中，已知9，sin
3、BcosAsinC，SABC6，P为线段AB上的点，且x+y，则xy的最大值为（）A1B2C3D4二、填空题（本题共4小题，每题3分，满分12分）13（3分）cos42sin78+cos48sin12 14（3分）在等差数列an中，己知a13，a2+a414，an2019，则n 15（3分）已知tan（）2，则sin（2）的值等于 16（3分）在ABC中，A120，AB4，若点D在边BC上，且BD2DC，AD，则AC的长为 三、解答题（满分52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）设an是一个公差为d（d0）的等差数列
4、，它的前10项和S10110，且满足a22a1a4求数列an的通项公式18（10分）已知a，b，c分别是ABC中角A，B，C的对边，且a2+c2b2ac（1）求角B的大小；（2）若c2a，求tanA的值19（10分）已知函数f（x）sin（2x）+2cos2x1（1）求函数f（x）的最大值及其相应x的取值集合；（2）若且f（），求cos2的值20（10分）在锐角ABC中，（1）若ABC的面积等于，求a，b；（2）求ABC的面积的取值范围21（12分）如图，在四边形ABCD中，ADBD，AC平分BAD，BCD的面积为，ABC为锐角（）求CD；（）求ABC2018-2019学年山西大学附中高一（下
5、）5月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共12题，每题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1（3分）log2sin15+log2cos15的值是（）A1B1C2D2【分析】根据对数的运算性质和二倍角公式计算即可【解答】解：log2sin15+log2cos15log2（sin15cos15）log2（sin30）log22，故选：D【点评】本题考查了对数的运算性质和二倍角公式，属于基础题2（3分）在等差数列an中，已知a28，公差d2，则a12（）A10B12C14D16【分析】利用等差数列通项公式求解【解答】解：等差数列an，a28，公差d2，a12a
6、2+10d8+10212故选：B【点评】本题考查等差数列的第12项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用3（3分）在ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（）Ab10，A45，C70Ba60，A45，B60Ca7，b5，A80Db14，b16，C45【分析】A、由A和C的度数，利用三角形内角和定理求出B的度数，再由b的值，利用正弦定理求出a与c，得到此时三角形只有一解，不合题意；B、由a，A及B的值，利用正弦定理求出b，c，只有一解，不合题意；C、由a，b及sinA的值，利用正弦定理求出sinB的值，由a大于b得到A大于B，可得出此时B只有一解，不合题意；D
7、、由a，b及sinA的值，利用正弦定理求出sinB的值，由a小于b得到A小于B，可得出此时B有两解，符合题意【解答】解：A、A45，C70，B65，又b10，由正弦定理得：a，c，此时三角形只有一解，不合题意；B、a60，A45，B60，则C75，由正弦定理得，b30，c，此时三角形有一解，不合题意；C、a7，b5，A80，由正弦定理得：sinB，又ba，BA80，B只有一解，不合题意；D、a14，b16，A45，由正弦定理得，sinB1，ab，AB，B有两解，符合题意，故选：D【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的边角关系，以及三角形的内角和定理，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键4（
8、3分）在ABC中，若A60，b16，此三角形面积S220，则a的值是（）AB75C51D49【分析】根据题意和三角形的面积公式求出边c，由余弦定理求出边a的值【解答】解：在ABC中，A，b16，此三角形面积S220，解得c55，由余弦定理得，a2b2+c22bccosA2401，则a49，故选：D【点评】本题考查了余弦定理，三角形的面积公式的应用，属于基础题5（3分）数列an满足an+2an+1+2an，且a11，a22，则a6（）A24B25C26D27【分析】直接利用数列的递推关系式和赋值法求出结果【解答】解：数列an满足an+2an+1+2an，且a11，a22，则：a32a1+a22+
9、24，a42a2+a34+48，a52a3+a48+816，故选：B【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用和赋值法的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型6（3分）已知ABC中，且，则ABC是（）A正三角形B直角三角形C正三角形或直角三角形D直角三角形或等腰三角形【分析】利用两角和的正切求得A+B，再由倍角公式求得B，则答案可求【解答】解：由，得：，即tan（A+B），A+B120，C60，又sinBcosB，sin2B，则2B60或2B120，即B30或B60，若B30，则A90，tanA不存在，不合题意；若B60，则AC60，ABC为正三角形故选：A【点评】本题考
10、查三角形形状的判定，考查了两角和的正切及倍角公式的应用，是基础题7（3分）若，则cos+sin的值为（）ABCD【分析】题目的条件和结论都是三角函数式，第一感觉是先整理条件，用二倍角公式和两角差的正弦公式，约分后恰好是要求的结论【解答】解：，故选：C【点评】本题解法巧妙，能解的原因是要密切注意各公式间的内在联系，熟练地掌握这些公式的正用、逆用以及某些公式变形后的应用8（3分）在平行四边形ABCD中，AB4，AD3，DAB，点E，F分别在BC，DC边上，且，则（）AB1C2D【分析】由条件便可得到，根据向量加法的几何意义便可得到，这样根据AB4，AD3，DAB进行数量积的运算便可求出的值【解答】
11、解：，；，；，；2故选：C【点评】考查向量数乘和加法的几何意义，相等向量的概念，以及向量数量积的运算及其计算公式9（3分）在ABC中，B，BC边上的高等于BC，则cosA等于（）ABCD【分析】作出图形，令DAC，依题意，可求得cos，sin，利用两角和的余弦即可求得答案【解答】解：设ABC中角A、B、C、对应的边分别为a、b、c，ADBC于D，令DAC，在ABC中，B，BC边上的高ADhBCa，BDADa，CDa，在RtADC中，cos，故sin，cosAcos（+）coscossinsin故选：C【点评】本题考查解三角形中，作出图形，令DAC，利用两角和的余弦求cosA是关键，也是亮点，属
12、于中档题10（3分）已知两线段a1，若以a、b为边作三角形，则a边所对的角A的取值范围是（）ABCD【分析】直接利用余弦定理和基本不等式的应用求出结果【解答】解：两线段a1，若以a、b为边作三角形，则，当且仅当，即c1时等号成立，所以A的取值范围是（0，故选：D【点评】本题考查的知识要点：余弦定理的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题11（3分）（2cos20tan70）cos10（）ABC1D【分析】利用二倍角公式转化求解即可【解答】解：（2cos20tan70）cos10故选：A【点评】本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式的应用，考查计算能力1
13、2（3分）在ABC中，已知9，sinBcosAsinC，SABC6，P为线段AB上的点，且x+y，则xy的最大值为（）A1B2C3D4【分析】ABC中设ABc，BCa，ACb，由sinBcosAsinC结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求 cosC的值，再由9，SABC6可得bccosA9，bcsinA6可求得c，b，a，建立以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系，由P为线段AB上的一点，则存在实数使得（3，44）（01），设 ，则|1，（1，0），（0，1），由 x+y推出x与y的关系式，利用基本不等式求解最大值【解答】解：ABC中设ABc，BCa，ACbsinB
14、cosAsinC，sin（A+C）sinCcosA，即sinAcosC+sinCcosAsinCcosAsinAcosC0sinA0cosC0 C909，SABC6bccosA9，bcsinA6tanA，根据直角三角形可得sinA，cosA，bc15c5，b3，a4以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系可得C（0，0）A（3，0）B（0，4）P为线段AB上的一点，则存在实数使得（3，44）（01）设 ，则|1，（1，0），（0，1），x+y（x，0）+（0，y）（x，y）可得x3，y44则4x+3y12，124x+3y，xy3故所求的xy最大值为：3故选：C【点评】本题是
15、一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题，解题的关键是理解已知所给的是一个单位向量，从而可用x，y表示，建立x，y与的关系，解决本题的第二个关键点在于由x3，y44发现4x+3y12为定值，从而考虑利用基本不等式求解最大值二、填空题（本题共4小题，每题3分，满分12分）13（3分）cos42sin78+cos48sin12【分析】利用诱导公式与两角和的正弦公式即可求得cos42sin78+cos48sin12的值【解答】解：42+4890，78+1290，cos42sin78+cos48sin12cos42sin78+sin42cos78s
16、in（78+42）sin120故答案为：【点评】本题考查诱导公式与两角和的正弦公式，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题14（3分）在等差数列an中，己知a13，a2+a414，an2019，则n1009【分析】利用等差数列通项公式求出d3，再由an2019，能求出n的值【解答】解：在等差数列an中，a13，a2+a414，3+d+3+3d14，解得d2，an2019，ana1+（n1）d3+2n22n+12019，解得n1009故答案为：1009【点评】本题考查等差数列的前n项和公式的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题15（3分）已知tan（）2，则sin（2）
17、的值等于【分析】由再由展开两角差的正切求得tan，再把sin（2）展开两角差的正弦，化弦为切求解【解答】解：由tan（）2，得，即，解得tan3sin（2）sin2coscos2sin故答案为：【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及两角差的三角函数的应用，是基础题16（3分）在ABC中，A120，AB4，若点D在边BC上，且BD2DC，AD，则AC的长为3【分析】画出图形，结合图形，利用BD2DC，得出2（），再利用平面向量的数量积求出|即可【解答】解：如图所示：ABC中，BAC120，AB4，点D在边BC上，BD2DC，2（），32+，两边平方得9242+4+2，又
18、AD，9（）242+4|4cos120+42，化简得|22|30，解得|3或|1（不合题意舍去），故答案为：3【点评】本题考查了利用平面向量的线性运算与数量积运算求三角形边长的应用问题三、解答题（满分52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）设an是一个公差为d（d0）的等差数列，它的前10项和S10110，且满足a22a1a4求数列an的通项公式【分析】设出等差数列的首项、及公差，利用等差数列的通项公式及其前n项和公式将已知条件中的等式用首项、公差表示，解方程组求出首项及公式，再利用等差数列的通项公式求出通项【解答】解：设数列an的公差为d，则a2a1+d，a4a1+3d
19、，a22a1a4，即（a1+d）2a1（a1+3d），整理，得a12+2a1d+d2a12+3a1dd（a1d）0又d0，a1d又，a1d2数列an的通项公式为：ana1+（n1）d2n【点评】解决等差数列、等比数列两个特殊数列的问题，一般利用等差数列、等比数列两个数列的通项公式、前n项和公式列出方程，求出基本量，然后再解18（10分）已知a，b，c分别是ABC中角A，B，C的对边，且a2+c2b2ac（1）求角B的大小；（2）若c2a，求tanA的值【分析】（1）由已知结合余弦定理即可求角B；（2）把c2a代入a2+c2b2ac，得b再由余弦定理求得cosA，进一步求得sinA，则tanA可
20、求【解答】解：（1）a2+c2b2ac，由余弦定理得，0B，；（2）将c2a代入a2+c2b2ac，得由余弦定理，得cosA0A，sinAtanA【点评】本题考查三角形的解法，考查余弦定理及同角三角函数基本关系式的应用，是中档题19（10分）已知函数f（x）sin（2x）+2cos2x1（1）求函数f（x）的最大值及其相应x的取值集合；（2）若且f（），求cos2的值【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换求出正弦型函数，进一步求出函数的最值（2）利用（1）的函数关系式，进一步利用角的恒等变换求出结果【解答】解：（1）函数f（x）sin（2x）+2cos2x1，sin（2x+）当2x+2
21、k（kZ），解得：当x|x（kZ），函数取得最大值1（2）由于：，则：，由于f（），则：，所以：，故：，【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，角的变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型20（10分）在锐角ABC中，（1）若ABC的面积等于，求a，b；（2）求ABC的面积的取值范围【分析】（1）利用已知条件通过正弦定理集合三角形的面积，余弦定理转化求解即可（2）利用正弦定理表示三角形的面积，利用三角函数的有界性求解即可【解答】解：（1），由正弦定理得，sinA0，sinC，SABCabsinC，得ab4由c2a2+b22abcosCa2+b2ab得a2+b2
22、ab4，所以由解得（2）由正弦定理得，又，因为ABC为锐角三角形，【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，两角和与差三角函数的应用，考查转化思想以及计算能力21（12分）如图，在四边形ABCD中，ADBD，AC平分BAD，BCD的面积为，ABC为锐角（）求CD；（）求ABC【分析】（）根据三角形的面积公式和余弦定理即可求出，（）根据正弦定理即可求出【解答】解：（I）在ABC中，因为，所以因为ABC为锐角，所以CBD30在BCD中，由余弦定理得CD2BC2+BD22BCBDcosCBD9所以CD的长为3（ II）在BCD中，由正弦定理得即，解得，因为BCBD，所以BDC也为锐角所以在ACD中，由正弦定理得即 在ABC中，由正弦定理得即因为AC平分BAD，所以CADBAC由得，解得因为ABC为锐角，所以ABC45【点评】本题考查了正弦定理和预先定理的应用，考查了运算能力和转化能力，属于中档题
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