1、江西省南康中学2019-2020学年高二数学上学期期中（第二次大考）试题 理一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的 ）1.直线的方程为，则直线的倾斜角为（ ）A B C D 2.在空间直角坐标系中，已知，则的中点到坐标原点的距离为（）ABC2D33.执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）A. 9B. 45C. 126D. 2704. 若样本平均数是4，方差是2，则另一样本的平均数和方差分别为（ ）A12，2 B14，6 C12，8 D14，185.总体由编号为01，02，19，20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取7个
2、个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列和第4列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为（ ） 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481A 02 B 07 C 01 D 066.某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个.命中个数的茎叶图如下图，则下面结论中错误的一个是（ ）A. 甲的极差是29 B. 甲的中位数是24C. 甲罚球命中率比乙高 D. 乙的众数是217.已知一组数据（1，2），（3，5），（6，8），的线性回归方程为，则
3、的值为（ ）AB C D8. 已知空间中不同直线和不同平面、，下面四个结论：若互为异面直线，则；若，则；若，则；若，则.其中正确的是（ ）A. B. C. D. 9.若执行下面的程序框图，输出S的值为3，则判断框中应填入的条件是（ ）A. B. C. D. 10.已知正方体的棱长为1，是棱的中点，点在正方体内部或正方体的表面上，且平面，则动点的轨迹所形成的区域面积是（ ）A. B. C. D. 11.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是一个三棱锥的三视图,则该三棱锥的表面积为( )A. B. C. D. 12.如图，矩形中，为边的中点，将沿直线翻转成 （平面）若、分别为线段、的中点，
4、则在翻转过程中，下列说法错误的是（ ）A与平面垂直的直线必与直线垂直B异面直线与所成角是定值C一定存在某个位置，使D三棱锥外接球半径与棱的长之比为定值二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。将答案填在答题卡上的相应位置）13.将参加数学竞赛的1000名学生编号如下：0001，0002，0003，1000，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的办法分成50个部分，如果第一部分编号为0001，0002，0020，从中随机抽取一个号码为0015，则第40个号码为_14.如图,为水平放置的斜二测画法的直观图，且,则的周长为_15.已知点，点E是圆上的动点，点F是圆上的动点，则的最大值
5、为 16.已知边长为的菱形中，沿对角线折成二面角为的四面体，则四面体的外接球的表面积为 三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ）17. （本小题满分10分）某地统计局就该地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在1000,1500)(1)求居民月收入在3000,3500)的频率；(2)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；(3)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10 000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在2500,3000
6、)的这段应抽多少人？18. （本小题满分12分）如图，在四棱锥中，平面，为中点(1)求证：平面平面；(2)线段上是否存在一点，使平面?若存在，求的值；若不存在，说明理由19. （本小题满分12分）某书店刚刚上市了中国古代数学史，销售前该书店拟定了5种单价进行试销，每种单价（元）试销l天，得到如表单价（元）与销量（册）数据：单价（元）1819202122销量（册）6156504845（l）根据表中数据，请建立关于的回归直线方程：（2）预计今后的销售中，销量（册）与单价（元）服从（l）中的回归方程，已知每册书的成本是12元，书店为了获得最大利润，该册书的单价应定为多少元？附：，.20. （本小题满
7、分12分）如图所示，正三棱锥的高为2，点是的中点，点是的中点. （1）证明：平面；（2）若三棱锥的体积为，求该正三棱柱的底面边长.21. （本小题满分12分）在如图所示的几何体中，平面，.（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.22. （本小题满分12分）如图，在直角坐标系中，圆与轴负半轴交于点，过点的直线，分别与圆交于两点,设直线的斜率分别为。（1）若，求的面积；（2）若，求证：直线过定点。南康中学2019-2020学年度第一学期高二第二次大考数学(理)参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的 ）题号1
8、23456789101112答案AACDCBADCCAC二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。将答案填在答题卡上的相应位置）13. (填不给分) 14. 15. 16. 三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ）17.解: (1)月收入在3 000,3 500)的频率为0000 3(3 5003 000)0.15. -3分(2)0.000 2(1 5001 000)0.1，0000 4(2 0001 500)0.2，0000 5(2 5002 000)0.25，010.20.250.550.5，样本数据的中位数为2 0004002 400(元)-
9、7分(3)居民月收入在2 500,3 000)的频数为0.2510 0002 500(人)，再从10 000人中用分层抽样方法抽出100人，则月收入在2 500,3 000)的这段应抽取-10分 18.解（1）连接，在中，又为中点， -2分平面平面，平面，又平面，平面平面 -6分（2）线段上存在一点，且时，平面 -8分证明如下：连接交于点，在平面中过点作，则交于又平面平面平面，四边形，当时，平面 -12分19.解：（1），-2分， -4分所以对的回归直线方程为： -6分（2）设获得利润为， -9分因为二次函数的开口向下，所以当时，取最大值，所以当单价应定为22.5元时，可获得最大利润 -12分
10、20.（1）如图，连接，因为是的中点，是的中点， 所以在中，, 平面， 平面， 所以平面. -5分（2）解：由等体积法，得，因为是的中点，所以点到平面的距离是点到平面的距离的一半.如图，作交于点，由正三棱柱的性质可知，平面.设底面正三角形的边长，则三棱锥的高， -9分 ,所以，解得，所以该正三棱柱的底面边长为. -12分21.解：(1)在中，.所以，所以为直角三角形，. -3分又因为平面，所以.而，所以平面. -5分(2)(方法一)如图延长，相交于，连接，则平面平面.二面角就是平面与平面所成二面角.因为，所以是的中位线.，这样是等边三角形.取的中点为，连接，因为平面.所以就是二面角的平面角.
11、-10分在，所以. -12分(方法二)建立如图所示的空间直角坐标系，可得.设是平面的法向量，则令得. -9分取平面的法向量为. -10分设平面与平面所成二面角的平面角为，则，从而. -12分22.解:（1）由题知，得直线AM的方程为，直线AN的方程为所以，圆心到直线AM的距离，所以，-3分由题知，所以ANAM，。-5分（2）方法一:由题知直线AM的方程，直线AN的方程为联立方程，所以，得或 所以，-7分同理，-8分所以直线为 即，得，所以直线恒过定点-12分 方法二:由知直线的斜率不为0,设直线的方程为,联立 得且 -7分, 又 即 -9分化简整理得,解得或(舍去) -11分直线的方程为,故直线恒过定点 -12分- 11 -
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