1、专题19 第三个计算题电磁学部分【2019海淀二模】24. （20分）利用电场可以控制电子的运动，这一技术在现代设备中有广泛的应用。已知电子的质量为m，电荷量为-e，不计重力及电子之间的相互作用力，不考虑相对论效应。（1）在宽度一定的空间中存在竖直向上的匀强电场，一束电子以相同的初速度v0沿水平方向射入电场，如图1所示，图中虚线为某一电子的轨迹，射入点A处电势为A，射出点B处电势为B。 求该电子在由A运动到B的过程中，电场力做的功WAB；请判断该电子束穿过图1所示电场后，运动方向是否仍然彼此平行？若平行，请求出速度方向偏转角的余弦值cos（速度方向偏转角是指末速度方向与初速度方向之间的夹角）；
2、若不平行，请说明是会聚还是发散。（2）某电子枪除了加速电子外，同时还有使电子束会聚或发散作用，其原理可简化为图2所示。一球形界面外部空间中各处电势均为1，内部各处电势均为2（21），球心位于z轴上O点。一束靠近z轴且关于z轴对称的电子以相同的速度v1平行于z轴射入该界面，由于电子在界面处只受到法线方向的作用力，其运动方向将发生改变，改变前后能量守恒。请定性画出这束电子射入球形界面后运动方向的示意图（画出电子束边缘处两条即可）；某电子入射方向与法线的夹角为1，求它射入球形界面后的运动方向与法线的夹角2的正弦值sin2。 【答案】：（1）WAB= e(B-A)；平行，；（2）这束电子射入球形界面后
3、运动方向的示意图如下： 【考点】：电偏转中功能关系的综合应用。【解析】：（1）A、B两点的电势差UAB=A-B 在电子由A运动到B的过程中电场力做的功WAB=-eUAB=e(B-A) （4分）平行。设电子在B点处的速度大小为v，根据动能定理 由于（2分）可得 （6分）（2）见以上答案中的答图1。 （2分） 设电子穿过界面后的速度为v2，由于电子只受法线方向的作用力，其沿界面方向速度不变。则 电子穿过界面的过程中，能量守恒，则 可解得 则 （8分）【2019海淀二模反馈】24-1（20分）利用电场来控制带电粒子的运动，在现代科学实验和技术设备中有广泛的应用。如图1所示为电子枪的结构示意图，电子从
4、炽热的金属丝中发射出来，在金属丝和金属板之间加一电压U0，发射出的电子在真空中加速后，沿电场方向从金属板的小孔穿出做直线运动。已知电子的质量为m,电荷量为e，不计电子重力及电子间的相互作用力。设电子刚刚离开金属丝时的速度为零。图1（1）求电子从金属板小孔穿出时的速度v0的大小; （2）示波器中的示波管是利用电场来控制带电粒子的运动。如图2所示，Y和Y为间距为d的两个偏转电极，两板长度均为L，极板右侧边缘与屏相距x，OO为两极板间的中线并与屏垂直，O点为电场区域的中心点。接(1)，从金属板小孔穿出的电子束沿OO射入电场中，若两板间不加电场,电子打在屏上的O点。为了使电子打在屏上的P点，P与O相距
5、h，已知电子离开电场时速度方向的反向延长线过O点。则需要在两极板间加多大的电压U；（3）某电子枪除了加速电子外，同时对电子束还有会聚作用，其原理可简化为图3所示。一球形界面外部空间中各处电势均为1，内部各处电势均为2（21），球心位于z轴上O点。一束靠近z轴且关于z轴对称的电子流以相同的速度v1平行于z轴射入该界面，由于电子只受到法线方向的作用力，其运动方向将发生改变，改变前后能量守恒。试推导给出电子进入球形界面后速度大小； 类比光从空气斜射入水中，水相对于空气的折射率计算方法，若把上述球形装置称为电子光学聚焦系统，试求该系统球形界面内部相对于外部的折射率。【答案】：（1）； （2）； （3）
6、； 。【考点】：电偏转中的运动学规律、功能关系的综合应用。【解析】：（1）电子在电场中运动,根据动能定理 解得电子穿出小孔时的速度（2）电子进入偏转电场做类平抛运动,在垂直于极板方向做匀加速直线运动。设电子刚离开电场时垂直于极 板方向偏移的距离为y根据匀变速直线运动规律根据牛顿第二定律电子在水平方向做匀速直线运动L=v0t联立解得由图可知 （3）设电子穿过薄层后的速度为v2，电子穿过薄层的过程中，能量守恒： 可解得 由于电子只受沿法线方向的作用力，其沿薄层方向速度不变，有： 则 球形内部相对于外部的折射率【2019海淀二模反馈】24-2. （20分）电子在电场中会受到电场力，电场力会改变电子的
7、运动状态，电场力做功也对应着能量的转化。已知电子的质量为m，电荷量为-e，不计重力及电子之间的相互作用力，不考虑相对论效应。（1）空间中存在竖直向上的匀强电场，一电子由A点以初速度v0沿水平方向射入电场，轨迹如图1中虚线所示，B点为其轨迹上的一点。已知电场中A点的电势为A，B点的电势为B，求：电子在由A运动到B的过程中，电场力做的功WAB；电子经过B点时，速度方向偏转角的余弦值cos（速度方向偏转角是指末速度方向与初速度方向之间的夹角）。（2）电子枪是示波器、电子显微镜等设备的基本组成部分，除了加速电子外，同时对电子束起到会聚的作用。电子束会聚的原理如图2所示，假设某一厚度极小的薄层左侧空间中
8、各处电势均为1，右侧各处电势均为2（21），某电子射入该薄层时，由于只受到法线方向的作用力，其运动方向将向法线方向偏折，偏折前后能量守恒。已知电子入射速度为v1，方向与法线的夹角为1，求它射出薄层后的运动方向与法线的夹角2的正弦值sin2。电子枪中某部分静电场的分布如图3所示，图中虚线1、2、3、4表示该电场在某平面内的一簇等势线，等势线形状相对于z轴对称。请判断等势面1和等势面4哪个电势高？对一束平行于z轴入射的电子，请结合能量守恒的观点、力与运动的关系简要分析说明该电场如何起到加速的作用？如何起到会聚的作用？ 【答案】：（1）WAB =e(B-A)（2） 等势面4电势高。简要分析见下面解析
9、。【考点】：电偏转中的运动学规律、功能关系的综合应用。【解析】：（1）A、B两点的电势差UAB=A-B在电子由A运动到B的过程中电场力做的功WAB=-eUAB=e(B-A)）设电子在B点处的速度大小为v，根据动能定理由于可得（2）设电子穿过薄层后的速度为v2，由于电子只受法线方向的作用力，其沿薄层方向速度不变，有：电子穿过薄层的过程中，能量守恒： 可解得： 则：（1分）等势面4电势高（2分）电子运动过程中，电势升高，电势能减小，根据能量守恒的观点，电子的动能增加，实现加速。（1分）根据等势面的分布，可以画出电场线的分布如答图1中实线所示，可以看出，电子在电场力的作用下，向z轴偏转，说明电场对电
10、子起到会聚的作用。（1分）【2019西城二模】24（20分）如图1所示，有一个连接在电路中的平行板电容器，平行板间为真空，其电容为C，两极板之间的距离为d，极板的面积为s，电源的电动势为E, 静电力常量为k，忽略边缘效应。（1）开关S闭合，电路达到稳定, 求平行板电容器极板上所带的电荷量。（2）保持开关S闭合, 将一块表面形状以及大小和平行板电容器极板完全相同、厚度略小于d（可近似为d）的绝缘电介质板插入平行板电容器两极板之间，如图2所示。已知：插入电介质后的平行板电容器的电容 ，式中r为大于1的常数。求电介质板插入平行板电容器的过程中，通过开关S的电量。并说明该电流的方向。（3）电路在情境（
11、1）的状态下，断开开关S，保持电容器的电荷量不变。有一块厚度为d/2的导体板，其表面形状大小和该平行板电容器的极板完全相同。在外力F的作用下，该导体板能够沿着下极板的内侧缓慢地进入到如图3所示的位置。不计摩擦阻力。a求两极板间P点的电场强度的大小E1；b在电场中，将单位体积内所蕴藏的电场能量叫做能量密度，用 we表示。已知 ，式中E场为电场强度。求该导体板进入电场的全过程中，外力F所做的功WF。 【答案】：（1）Q = CE ； （2）Q1 = C E（r1），通过开关S的电流方向是自左向右。 （3） a ； b【考点】：含容电路中电荷量、场强、功能关系的综合应用【解析】：（1）极板上的电量Q
12、 : Q = CU = CE （2）该电介质板插入平行板电容器后，极板的电荷量Q1：Q1 =CE =r C E 所以，该电介质板插入平行板电容器的过程中，通过开关S的电量为：Q1 Q=r C EC E= C E（r 1） ，通过开关S的电流方向是自左向右。 （3） a因为极板带电荷量Q保持不变，插入导体板之后，电容两极板间距离变为，所以电容变为2C。根据电容的定义式：，可知：此时极板之间的电压变为原来的，即电压U = 。故得：极板间匀强电场的电场强度，也即P点的电场强度： b根据已知的匀强电场的能量密度概念和公式，分析可知：在电场强度不变的前提下，匀强电场中蕴藏的电场能和匀强电场的空间体积成正比。所以：在插入导体板前匀强电场中所蕴藏的能量：，其中在插入导体板后匀强电场中所蕴藏的能量：，其中 根据功和能的概念和关系，得： 8
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