1.3.1 空间几何体的表面积 学案（含答案）

1、1.3空间几何体的表面积和体积1.3.1空间几何体的表面积学习目标1.通过对柱体、锥体、台体的研究，掌握柱体、锥体、台体的表面积的求法.2.了解柱体、锥体、台体的表面积计算公式；能运用柱体、锥体、台体的表面积公式进行计算和解决有关实际问题.3.培养空间想象能力和思维能力.知识点一几种特殊的多面体1.直棱柱：侧棱和底面垂直的棱柱.2.正棱柱：底面为正多边形的直棱柱.3.正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面中心的棱锥.正棱锥的侧棱长都相等.4.正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做正棱台.知识点二几种特殊的多面体的表面积多面体图形表面积公式直棱柱S直棱柱侧c

2、h(c为底面周长，h为侧棱长). S表S侧2 S底正棱锥S正棱锥侧ch(c为底面周长，h为斜高(即侧面等腰三角形底边上的高). S表S侧S底正棱台S正棱台侧(cc)h (c，c分别为上、下底面的周长， h为斜高). S表S侧S上底S下底知识点三圆柱、圆锥、圆台的表面积旋转体图形表面积公式圆柱底面积：S底2r2，侧面积：S侧2rl，表面积：S2r(rl)圆锥底面积：S底r2，侧面积：S侧rl，表面积：Sr(rl)圆台上底面面积：S上底r2，下底面面积：S下底r2，侧面积：S侧(rlrl)，表面积：S(r2r2rlrl)一、求多面体的侧面积和表面积例1正四棱台两底面边长分别为a和b(ab).(1)

3、若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45，求棱台的侧面积；(2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高.解(1)如图所示，设O1，O分别为上、下底面的中心，过C1作C1EAC于E，过E作EFBC，连结C1F，则C1F为正四棱台的斜高.由题意知C1CO45，CECOEOCOC1O1(ba).在RtC1CE中，C1ECE(ba)，又EFCEsin 45(ba)，C1F(ba).S侧(4a4b)(ba)(b2a2).(2)S侧S底，S底a2b2，4(ab)h斜a2b2，h斜.又EF，h .延伸探究若正四棱台的高是12 cm，两底面边长之差为10 cm，表面积为512 cm2，求底

4、面的边长.解如图，设上底面边长为x cm，则下底面边长为(x10)cm，在RtE1FE中，EF5(cm).E1F12 cm，斜高E1E13 cm.S侧4(xx10)1352(x5)，S表52(x5)x2(x10)22x272x360.S表512 cm2，2x272x360512，解得x138(舍去)，x22.x21012.正四棱台的上、下底面边长分别为2 cm,12 cm.反思感悟(1)求棱锥、棱台及棱柱的侧面积和表面积的关键是求底面边长，高，斜高，侧棱.求解时要注意直角三角形和梯形的应用.(2)正棱柱、正棱锥、正棱台的所有侧面都全等，因此求侧面积时，可先求一个侧面的面积，然后乘以侧面的个数.

5、(3)棱台是由棱锥所截得到的，因此棱台的侧面积也可由大小棱锥侧面积作差得到.跟踪训练1已知正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，高为3，求它的表面积.解如图，设PO3，PE是斜高，S侧2S底，4BCPE2BC2，BCPE.在RtPOE中，PO3，OEBCPE，92PE2，PE2.S底BC2PE2(2)212，S侧2S底21224，S表S底S侧122436.二、求旋转体的表面积例2圆台的上、下底面半径分别为10 cm和20 cm.它的侧面展开图扇环的圆心角为180，那么圆台的表面积是_ cm2.(结果中保留)答案1 100解析如图所示，设圆台的上底面周长为c(cm)，上，下底面半径分别为r1，r2，因

6、为扇环的圆心角是180，故cSA210(cm)，所以SA20(cm).同理可得SB40(cm).所以ABSBSA20(cm)，所以S表S侧S上S下(r1r2)ABrr(1020)201022021 100(cm2).故圆台的表面积为1 100 cm2.延伸探究若本例条件改为：圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84，求圆台较小底面的半径.解设圆台较小底面的半径为r，则另一底面半径为3r，由题意知母线长l3，S侧(r3r)384，r7.反思感悟(1)求圆柱、圆锥和圆台的侧面积和表面积，只需求出上、下底面半径和母线长即可，求半径和母线长时常借助轴截面.(2)解答旋转

7、体的侧面积与表面积问题可先把空间问题转化为平面问题，即在展开图内求母线的长，再进一步代入侧面积公式求出侧面积，进而求出表面积.(3)旋转体的轴截面是化空间问题为平面问题的重要工具，因为在轴截面中集中体现了旋转体的“关键量”之间的关系.在推导这些量之间的关系时要注意比例性质的应用.跟踪训练2如图所示，已知直角梯形ABCD，BCAD，ABC90，AB5 cm，BC16 cm，AD4 cm，求以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积.解以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台，其上底面半径是4 cm，下底面半径是16 cm，母线DC13(cm)，所以该几何体的表面积为(416)13421625

8、32(cm2).三、简单组合体的表面积例3牧民居住的蒙古包的形状是一个圆柱与圆锥的组合体，尺寸如图所示(单位：m)，请你帮助算出要搭建这样的一个蒙古包至少需要多少篷布？(精确到0.01 m2，取3.14)解上部分圆锥体的母线长为 m，其侧面积为S1(m2).下部分圆柱体的侧面积为S251.8(m2).搭建这样的一个蒙古包至少需要的篷布为SS1S251.850.03(m2).反思感悟(1)组合体的侧面积和表面积问题，首先要弄清楚它由哪些简单几何体组成，然后再根据条件求各个简单组合体的基本量，注意方程思想的应用.(2)在实际问题中，常通过计算物体的表面积来研究如何合理地用料，如何节省原材料等，在求

9、解时应结合实际，明确实际物体究竟是哪种几何体，哪些面计算在内，哪些面在实际中没有.跟踪训练3如图所示的几何体是一棱长为4 cm的正方体，若在其中一个面的中心位置上，挖一个直径为2 cm、深为1 cm的圆柱形的洞，求挖洞后几何体的表面积是多少？(取3.14)解因为正方体的棱长为4 cm，而洞深只有1 cm，所以正方体没有被打透，这样一来打洞后所得几何体的表面积等于原来正方体的表面积，再加上圆柱的侧面积，这个圆柱的高为1 cm，底面圆的半径为1 cm.正方体的表面积为44696(cm2)，圆柱的侧面积为2116.28(cm2)，则挖洞后几何体的表面积约为966.28102.28(cm2).1.多面

10、体的表面积为围成多面体的各个面的面积之和.棱柱的表面积等于它的侧面积加底面积；棱锥的表面底等于它的侧面积加底面积；棱台的表面积等于它的侧面积加两个底的面积.2.有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解.而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解.3.S圆柱表2r(rl)；S圆锥表r(rl)；S圆台表(r2rlRlR2).1.已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A.12 B.12 C.8 D.10答案B解析因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面

11、积为8的正方形，所以圆柱的高为2，底面圆的直径为2，所以该圆柱的表面积为2()22212.2.已知正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为()A.6 B.12 C.24 D.48答案D解析正四棱锥的斜高h4，S侧46448.3.已知一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32，则母线长为_.答案4解析l，S侧(Rr)l2l232，l4.4.已知一个正四棱柱的对角线的长是9 cm，表面积等于144 cm2，则这个棱柱的侧面积为_ cm2.答案112或72解析设底面边长、侧棱长分别为a cm，l cm，则或S侧447112(cm2)或S侧46372 (cm2).5.已知圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和圆柱的底面半径也相等，求圆柱的表面积和圆锥的表面积之比.解如图所示，设圆柱和圆锥的底面半径分别是r，R，则有，即，所以R2r，圆锥的母线长lR.所以1.