第4课时 线面垂直的综合应用 学案（含答案）

1、第4课时线面垂直的综合应用学习目标1.理解斜线在平面内的射影及与平面所成角的概念，会求简单的线面角.2.理解点到平面的距离的概念，会求简单的点面距离.3.线面平行与垂直的有关定理的综合运用.知识点一直线与平面所成的角有关概念对应图形斜线一条直线与一个平面相交，但不和这个平面垂直，图中直线PA斜足斜线与平面的交点，图中点A射影过平面外一点P向平面引斜线和垂线，那么过斜足A和垂足O的直线就是斜线在平面内的正投影(简称射影)，线段OA就是斜线段PA在平面内的射影直线与平面所成的角定义：平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，图中为PAO规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；一条直线与

2、平面平行或在平面内，它们所成的角是0的角取值范围设直线与平面所成的角为，则090知识点二两种距离1.点到平面的距离从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫做这个点到这个平面的距离.2.直线和平面的距离一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离.一、直线与平面所成的角例1已知AB为圆O的直径，且AB4，PA圆O所在平面，点C为圆O上一点，且BCAC，PAAB.(1)求直线PC与平面PAB所成角的正弦值. (2)求直线PB与平面PAC所成角的正切值.(3)求直线PA与平面PBC所成角的正弦值.解(1)过C作CHAB于点H，连结PH.PA圆O所

3、在的平面，CH圆O所在的平面， PACH(线面垂直的定义).又CHAB，PAABA，CH平面PAB，CPH为直线PC与平面PAB所成的角，AB为圆O直径，ACBC.在RtACB中，AB4，BCAC.AC2，BC2，CH，又PAAB4，在RtPAC中，PC2.在RtPHC中，sinCPH.(2)由(1)知，BCAC；又PA圆O所在的平面，PABC.又APACA，BC平面PAC.BPC为直线PB与平面PAC所成的角.在RtPCB中，BC2，PC2，tanBPC.(3)过A作ADPC于点D，BC平面PAC，BCAD.又PCBCC，AD平面PBC.APD为直线PA与平面PBC所成的角.在RtPAC中，

4、PA4，AC2，PC2，AD，在RtPDA中，sinAPD.反思感悟(1)求直线和平面所成角的步骤寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；连结垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角.(2)在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，图形中的特殊点是突破口.跟踪训练1如图所示，在直三棱柱(侧棱与底面垂直的三棱柱)ABCA1B1C1中，ACBC，ACBCCC1，M，N分别是A1B，B1C1的中点.(1)求证：MN平面A1BC；(2)求直线BC1和平面A1BC所成角的

5、大小.(1)证明连结AC1，AB1，由已知BCAC，BCCC1，ACCC1C，得BC平面ACC1A1.又AC1平面ACC1A1，则BCAC1，由已知，可知侧面ACC1A1是正方形，所以A1CAC1.又BCA1CC，所以AC1平面A1BC，即AC1垂直于平面A1BC内的任一条直线.因为侧面ABB1A1是正方形，M是A1B的中点，则M是AB1的中点.又点N是B1C1的中点，则MN是AB1C1的中位线，所以MNAC1，所以MN垂直于平面A1BC内的任一条直线，故MN平面A1BC.(2)解因为AC1平面A1BC，设AC1与A1C相交于点D，连结BD，所以AC1BD，则C1BD为直线BC1和平面A1BC

6、所成的角，设ACBCCC1a，则C1Da，BC1a，在RtBDC1中，sinC1BD，又0C1BD90，所以C1BD30，故直线BC1和平面A1BC所成的角为30.二、直线与平面垂直的综合应用命题角度1线面垂直中的探索性问题例2如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱C1D1的中点，F为棱BC的中点.(1)求证：AEDA1；(2)在线段AA1上求一点G，使得直线AE平面DFG.(1)证明连结AD1，BC1，由正方体的性质可知，DA1AD1，DA1AB，又ABAD1A，DA1平面ABC1D1.又AE平面ABC1D1，DA1AE.(2)解所求G点即为A1点，证明如下：由(1)可知AEDA1

7、，取CD的中点H，连结AH，EH，由DFAH，DFEH，AHEHH，可证DF平面AHE，AE平面AHE，DFAE.又DFA1DD，AE平面DFA1，即AE平面DFG.反思感悟探索性问题主要有两种类型：一是结论型：从承认结论入手，探索出命题成立的条件.二是存在型：先假定“存在”，若经推理无矛盾，则“存在”成立；若推出矛盾，则结论为“不存在”.跟踪训练2在三棱锥PABC中，PABC3，PCAB5，AC4，PB.(1)求证：PA平面ABC；(2)过C作CFPB交于F，在线段AB上找一点E，使得PB平面CEF.(1)证明由已知得PC2PA2AC2，PB2PA2AB2.PAAC，PAAB，又ABACA，

8、PA平面ABC.(2)解当BE时，PB平面CEF，CFPB，要使PB平面CEF，只需PBEF，由已知PB2PC2BC2，PCBC.CFPB，BF.又BEBF，BE.E点在AB上，距B点处.命题角度2线线、线面垂直的相互转化例3如图，ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AEAB2a，CDa，F是BE的中点，求证：(1)DF平面ABC；(2)AFBD.证明(1)取AB的中点G，连结FG，CG，可得FGAE，FGAE.CD平面ABC，AE平面ABC，CDAE.又CDAE，FGCD，FGCD.四边形CDFG是矩形，DFCG.又CG平面ABC，DF平面ABC，DF平面ABC.(2)在RtA

9、BE中，AEAB，F为BE的中点，AFBE.ABC是正三角形，CGAB，DFAB.AE平面ABC，CG平面ABC，AECG，AEDF.且AEABA，AE，AB平面ABE，DF平面ABE，AF平面ABE，AFDF.BEDFF，BE平面BDE，DF平面BDE，AF平面BDE，AFBD.反思感悟(1)证明线线垂直常常转化为线面垂直问题，即证明其中一条直线垂直于另一条直线所在平面即可.(2)证明的转化途径是线线垂直线面垂直线线垂直.跟踪训练3如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点.求证：(1)CDAE；(2)PD平面ABE.证明(1)

10、在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，CD平面ABCD，PACD.ACCD，PAACA，CD平面PAC.而AE平面PAC，CDAE.(2)由PAABBC，ABC60，可得ACPA.E是PC的中点，AEPC.由(1)知，AECD，又PCCDC，AE平面PCD.而PD平面PCD，AEPD.PA底面ABCD，PD在底面ABCD内的射影是AD，又ABAD，ABPD.又ABAEA，PD平面ABE.立体几何中经常遇到由一个点向一个平面引垂线的问题，垂线的位置是由这个点在平面内的射影来确定的，因此这个点的射影就是一个关键量，一般来说，可以直接由这个点作平面的垂线，然后通过证明或计算说明垂足的位置，也可以借

11、助一些常见结论进行确定，如：(1)如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线上.(2)经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线与这个角的两边的夹角相等，那么斜线在平面内的射影是这个角的平分线所在的直线.1.如图所示，在三棱锥PABC中，PAAB，PABC，则直线PB和平面ABC所成的角是()A.BPAB.PBAC.PBCD.以上都不对答案B解析由PAAB，PABC，ABBCB，得PA平面ABC，所以PBA为BP与平面ABC所成的角.2.下列说法：平面的斜线与平面所成的角的取值范围是090；直线与平面所成的角的取值范围是090；若两条直线与一个平

12、面所成的角相等，则这两条直线互相平行；若两条直线互相平行，则这两条直线与一个平面所成的角相等.其中正确的是_.(填序号)答案解析应为090；中这两条直线可能平行，也可能相交或异面.3.在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1C与平面BC1D所成角的正弦值为_.答案1解析易证明A1C平面BC1D，故A1C与平面BC1D所成角为直角，其正弦值为1.4.若长方体ABCDA1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60角，则A1C1到底面ABCD的距离为_.答案解析依题意可知B1AB60，A1C1平面ABCD，A1A平面ABCD，A1A即为A1C1到底面ABCD的距离.由题意得A1AB1B.5.如图，在三棱锥OABC中，OABOAC60，ABACAOa，BCa，D为BC的中点.(1)求证：OD平面ABC；(2)求OA与平面ABC所成的角.(1)证明连结AD，ABACAOa，OABOAC60，OAB，OAC为正三角形，OBOCa，BCa，OB2OC2BC2，AB2AC2BC2，OBC，ABC为等腰直角三角形，则ODBC，ADBC，且ADa，ODa，又OAa，AD2OD2OA2，ODAD.又ADBCD，OD平面ABC.(2)解由(1)知，OAD为OA与平面ABC所成的角.在RtOAD中，ODa，OAa，sinOAD.又0OAD90，OAD45，即OA与平面ABC所成的角为45.