1、12.2同角三角函数关系学习目标1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.2.理解同角三角函数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明知识点同角三角函数的基本关系式1同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2cos21.(2)商数关系：tan .2同角三角函数基本关系式的变形(1)sin2cos21的变形公式sin21cos2；cos21sin2.(2)tan 的变形公式sin cos_tan_；cos .1sin2cos21.()提示在同角三角函数的基本关系式中要注意是“同角”才成立，即sin2cos21.2sin2cos21.()
2、提示在sin2cos21中，令可得sin2cos21.3对任意的角，都有tan 成立()提示当k，kZ时就不成立4若cos 0，则sin 1.()题型一利用同角三角函数的关系式求值命题角度1已知角的某一三角函数值及所在象限，求角的其余三角函数值例1(1)若sin ，且为第四象限角，则tan 的值为()A. B C. D考点运用基本关系式求三角函数值题点运用基本关系式求三角函数值答案D解析sin ，且为第四象限角，cos ，tan ，故选D.(2)已知sin cos ，(0，)，则tan _.考点运用基本关系式求三角函数值题点运用基本关系式求三角函数值答案解析sin cos ，(sin cos
3、)2，即2sin cos 0，cos 0，故sin cos ，可得sin ，cos ，tan .反思感悟(1)同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系，其常用的用途是“知一求二”，即在sin ，cos ，tan 三个值之间，知道其中一个可以求其余两个解题时要注意角的象限，从而判断三角函数值的正负(2)已知三角函数值之间的关系式求其它三角函数值的问题，我们可利用平方关系或商数关系求解，其关键在于运用方程的思想及(sin cos )212sin cos 的等价转化，找到解决问题的突破口跟踪训练1已知tan ，且是第三象限角，求sin ，cos 的值解由tan ，得sin cos .又si
4、n2cos21，由得cos2cos21，即cos2.又是第三象限角，cos ，sin cos .命题角度2已知角的某一三角函数值，未给出所在象限，求角的其余三角函数值例2已知cos ，求sin ，tan 的值解cos 0，且cos 1，是第二或第三象限角(1)当是第二象限角时，则sin ，tan .(2)当是第三象限角时，则sin ，tan .反思感悟利用同角三角函数关系式求值时，若没有给出角是第几象限角，则应分类讨论，先由已知三角函数的值推出的终边可能在的象限，再分类求解跟踪训练2已知cos ，求sin 和tan .考点运用基本关系式求三角函数值题点运用基本关系式求三角函数值解sin21co
5、s212，因为cos 0，所以是第二或第三象限角，当是第二象限角时，sin ，tan ；当是第三象限角时，sin ，tan .题型二同角三角函数式的化简与证明例3(1)化简：sin2tan 2sin cos .考点运用基本关系式化简和证明题点运用基本关系式化简解原式sin2cos22sin cos .(2)求证：.考点运用基本关系式化简和证明题点运用基本关系式证明证明右边左边，原等式成立反思感悟(1)三角函数式的化简技巧化切为弦，即把非正弦、余弦的函数都化为正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的对于化简含高次的三角函数
6、式，往往借助于因式分解，或构造sin2cos21，以降低函数次数，达到化简的目的(2)证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法：证明一边等于另一边，一般是由繁到简证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一)比较法：即证左边右边0或1(右边0)证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立跟踪训练3求证：sin (1tan )cos .证明左边sin cos sin cos 右边，所以原等式成立题型三齐次式求值问题例4已知tan 2，求下列代数式的值(1)；(2)sin2sin cos cos2.解(1)原式.(2)原式.反思感悟(1)关于sin ，cos 的齐次
7、式，可以通过分子、分母同除以cos 或cos2转化为关于tan 的式子后再求值(2)假若代数式中不含分母，可以视分母为1，灵活地进行“1”的代换，由1sin2cos2代换后，再同除以cos2，构造出关于tan 的代数式跟踪训练4已知2，计算下列各式的值(1)；(2)sin22sin cos 1.解由2，化简，得sin 3cos ，所以tan 3.(1)原式.(2)原式111.1若sin ，且是第二象限角，则tan 的值为()A B. C D考点运用基本关系式求三角函数值题点运用基本关系式求三角函数值答案A解析为第二象限角，sin ，cos ，tan .2若为第二象限角，化简tan 等于()A1
8、 B2 C1 D.答案C解析tan tan .因为为第二象限角，所以cos 0，原式1.3已知sin cos ，则sin cos _.答案解析由题意得(sin cos )2，即sin2cos22sin cos ，又sin2cos21，12sin cos ，sin cos .4._.答案cos解析，cos0，是第一或第二象限角当为第一象限角时，cos ，tan ；当为第二象限角时，cos ，tan .1利用同角三角函数的基本关系式，可以由一个角的一个三角函数值，求出这个角的其他三角函数值2利用同角三角函数的关系式可以进行三角函数式的化简，结果要求：(1)项数尽量少；(2)次数尽量低；(3)分母、
9、根式中尽量不含三角函数；(4)能求值的尽可能求值3在三角函数的变换求值中，已知sin cos ，sin cos ，sin cos 中的一个，可以利用方程思想，求出另外两个的值4在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点利用同角三角函数的基本关系主要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法5在化简或恒等式证明时，注意方法的灵活运用，常用技巧：(1)“1”的代换；(2)减少三角函数的个数(化切为弦、化弦为切等)；(3)多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想等)；(4)对条件或结论的重新整理、变形，以便于应用同角三角函数关系来求解.
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