1.3.1 三角函数的周期性 学案（含答案）

1、1.3三角函数的图象和性质13.1三角函数的周期性学习目标1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.理解函数ysin x，ycos x，ytan x都是周期函数，都存在最小正周期.3.会求函数yAsin(x)及yAcos(x)的周期知识点一周期函数1周期函数的定义一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值 ，都满足f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期2最小正周期对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期知识点二正弦函数、余弦函数、正切函数的周期1

2、正弦函数、余弦函数的周期正弦函数和余弦函数都是周期函数，2k(kZ且k0)都是它们的周期，它们的最小正周期都是2.2正切函数的周期正切函数是周期函数，最小正周期是.3函数yAsin(x)和yAcos(x)的周期一般地，函数yAsin(x)和yAcos(x)(其中A，为常数，且A0，0)的周期T.1周期函数yf(x)的定义域可以为a，b(a，bR)()提示周期函数的定义域一定为无限集，且无上下界2任何周期函数都有最小正周期()提示常函数f(x)c，任意一个正实数都是其周期，因而不存在最小正周期3当x时，coscos x，所以是cos x的一个周期()题型一求三角函数的周期例1求下列函数的周期：(

3、1)y3sin；(2)y2cos.解(1)T4.(2)y2cos2cos，T4.反思感悟求三角函数的周期，通常有三种方法(1)定义法(2)公式法：对yAsin(x)或yAcos(x)(A，是常数，且A0，0)，有T.(3)观察法(图象法)跟踪训练1(1)函数y3cos的最小正周期为_(2)y2cos的最小正周期为，则_.答案(1)4(2)2解析(1)y3cos中，故T4.(2)T，2.题型二利用周期求函数值例2若f(x)是以为周期的奇函数，且f1，求f的值解f(x)是以为周期的奇函数，fffffff，又f1，ff1.反思感悟(1)利用函数的周期性，可以把xnT(nZ)的函数值转化为x的函数值(

4、2)利用函数性质，将所求转化为可求的x的函数值，从而可解决求值问题跟踪训练2定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是，且当x时，f(x)sin x，求f的值解f(x)是周期函数，且最小正周期为，fff.f(x)是偶函数，ff.当x时，f(x)sin x，fsin ，ff.题型三函数周期性的综合应用例3设f(x)是R上的奇函数，f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x，求f(7)的值解f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)，f(x)的周期为4.又f(x)是奇函数，f(7)f(81)f(1)f(1)又当0x1时，f(x)x，f(7)f(1)1.反思感悟(

5、1)解答此类题目的关键是利用化归思想，借助周期函数的定义把待求问题转化到已知区间上，代入求解便可(2)如果一个函数是周期函数，倘若要研究该函数的有关性质，结合周期函数的定义可知，完全可以只研究该函数一个周期上的特征，再加以推广便可以得到函数在定义域内的有关性质跟踪训练3设函数f(x)(xR)是以2为周期的函数，且当x0,2时，f(x)(x1)2.(1)求f(3)；(2)当x2,4时，求f(x)的解析式解(1)函数f(x)(xR)是以2为周期的函数，且当x0,2时，f(x)(x1)2，f(3)f(32)f(1)(11)20.(2)f(x)的周期为2，当x2,4时有f(x)f(x2)，又x20,2

6、，f(x2)(x21)2(x3)2，f(x)(x3)2.即当x2,4时，f(x)(x3)2.1下列说法中，正确的是()A因为sin(x)sin x，所以是函数ysin x的一个周期B因为tan(2x)tan x，所以2是函数ytan x的最小正周期C因为当x时，等式sinsin x成立，所以是函数ysin x的一个周期D因为coscos x，所以不是函数ycos x的一个周期答案D解析根据周期函数的定义容易知道A，C均是错误的，同时D是正确的；对于B，我们只能得出2是函数ytan x的一个周期，但不是最小正周期2函数ycos的最小正周期为_答案解析T.3函数f(x)sin(0)的周期为，则_.

7、答案8解析由，得8.4定义在R上的函数f(x)既是奇函数，又是以2为周期的周期函数，则f(1)f(4)f(7)_.答案0解析据题意f(7)f(18)f(1)f(1)，所以f(1)f(7)0，又f(4)f(0)0，f(1)f(4)f(7)0.1函数周期性的理解(1)对于“f(xT)f(x)”是定义域内的恒等式，即对定义域内任意一个x，xT仍在定义域内且等式成立(2)周期函数的周期不是唯一的，如果T是函数f(x)的周期，那么kT(kZ，k0)也一定是函数的周期(3)并不是所有周期函数都有最小正周期如常数函数f(x)C没有最小正周期2求三角函数的周期，通常有三种方法：(1)定义法(2)公式法：对yAsin(x)或yAcos(x)(A，是常数，且A0，0)，T.(3)观察法(图象法)三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当方法求解，为了避免出现错误，求周期之前要尽可能将函数化为同名同角的三角函数，且函数的次数为1.