2.5 向量的应用 学案（含答案）

1、2.5向量的应用学习目标1.学习用向量方法解决某些简单的平面几何问题及某些物理学中的问题.2.体会向量是一种处理几何及物理问题的有力工具.3.培养运算能力、分析和解决实际问题的能力知识点一几何性质与向量的关系设a(x1，y1)，b(x2，y2)，a，b的夹角为.用向量解决常见平面几何问题的技巧问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理ababx1y2x2y10，其中a(x1，y1)，b(x2，y2)，b0垂直问题数量积的运算性质abab0x1x2y1y20，其中a(x1，y1)，b(x2，y2)，且a，b为非零向量夹角问题数量积的定义cos (为向量a，b的夹角)，其中a，b为非

2、零向量长度问题数量积的定义|a|，其中a(x，y)，a为非零向量知识点二向量方法解决平面几何问题的步骤1建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题2通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题3把运算结果“翻译”成几何关系知识点三物理中的量和向量的关系1物理学中的许多量，如力、速度、加速度、位移都是向量2物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加法运算与减法运算1功是力F与位移s的数量积()2力的合成与分解体现了向量的加减法运算()3某轮船需横渡长江，船速为v1，水速为v2，要使轮船最快到达江的另一岸，则需保持船头方向与江岸

3、垂直()4求力F1和F2的合力可按照向量加法的平行四边形法则()题型一用平面向量求解平面几何问题例1如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AFDE.考点平面几何中的向量方法题点向量在平面几何中的应用证明方法一设a，b，则|a|b|，ab0.又a，b，所以ab|a|2|b|20.故，即AFDE.方法二如图所示，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，则(2,1)，(1，2)因为(2,1)(1，2)220.所以，即AFDE.反思感悟用向量证明平面几何问题的两种基本思路：(1)向量的线性运算法的四个步骤：选取基底用

4、基底表示相关向量利用向量的线性运算或数量积找出相应关系把几何问题向量化(2)向量的坐标运算法的四个步骤：建立适当的平面直角坐标系把相关向量坐标化用向量的坐标运算找出相应关系把几何问题向量化跟踪训练1如图，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PEAB，PFBC，垂足分别为E，F，连结DP，EF，求证：DPEF.证明方法一设正方形ABCD的边长为1，AEa(0a1)，则EPAEa，PFEB1a，APa，()()1acos 1801(1a)cos 90aacos 45a(1a)cos 45aa2a(1a)0.，即DPEF.方法二如图，以A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角

5、坐标系设正方形ABCD的边长为1，AP(0)，则D(0,1)，P，E，F.(，1)，(1，)220，即DPEF.题型二向量在物理学中的应用命题角度1向量的线性运算在物理中的应用例2在重300 N的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30，60(如图)，求重物平衡时，两根绳子拉力的大小解如图，两根绳子的拉力之和，且|300 N，AOC30，BOC60.在OAC中，ACOBOC60，AOC30，则OAC90，从而|cos 30150(N)，|sin 30150(N)，所以|150(N)答与铅垂线成30角的绳子的拉力是150 N，与铅垂线成60角的绳子的拉力是150 N.

6、反思感悟利用向量法解决物理问题有两种思路，第一种是几何法，选取适当的基底，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量运算法则，运算律或性质计算第二种是坐标法，通过建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，转化为代数运算跟踪训练2河水自西向东流动的速度为10 km/h，小船自南岸沿正北方向航行，小船在静水中的速度为10 km/h，求小船的实际航行速度解设a，b分别表示水流的速度和小船在静水中的速度，过平面内一点O作a，b，以，为邻边作矩形OACB，连结，如图，则ab，并且即为小船的实际航行速度|20(km/h)，tanAOC，AOC60，小船的实际航行速度为20 km/h，按北偏东30的方向航行命题角度2

7、向量的数量积在物理中的应用例3已知力F的大小|F|10，在F的作用下产生的位移s的大小|s|14，F与s的夹角为60，则F做的功为()A7 B10 C14 D70考点向量在力学中的应用题点求做功答案D解析F做的功为Fs|F|s|cos 60101470.反思感悟物理上的功实质上就是力与位移两矢量的数量积跟踪训练3质量m2.0 kg的木块，在平行于斜面向上的拉力F10 N的作用下，沿倾斜角30的光滑斜面向上滑行|s|2.0 m的距离(g9.8 N/kg)(1)分别求物体所受各力对物体所做的功；(2)在这个过程中，物体所受各力对物体做功的代数和是多少？考点向量在力学中的应用题点求做功解(1)木块受

8、三个力的作用，重力G，拉力F和支持力FN，如图所示，拉力F与位移s方向相同，所以拉力对木块所做的功为WFFs|F|s|cos 020(J)；支持力FN与位移方向垂直，不做功，所以WNFNs0；重力G对物体所做的功为WGGs|G|s|cos(90)19.6(J)(2)物体所受各力对物体做功的代数和为WWFWNWG0.4(J)1已知一个物体在大小为6 N的力F的作用下产生的位移s的大小为100 m，且F与s的夹角为60，则力F所做的功W_ J.答案300解析WFs|F|s|cosF，s6100cos 60300(J)2一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：N)的作用而处于平衡状态已知F1

9、，F2成60角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为_答案2解析由已知，得F1F2F30，则F3(F1F2)，即FF2F1F2FFF2|F1|F2|cos 6028，故|F3|2.3用两条成120角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重10 N，则每根绳子的拉力大小为_ N.答案10解析设重力为G，每根绳的拉力分别为F1，F2，则由题意得F1，F2与G都成60角，且|F1|F2|.|F1|F2|G|10 N，每根绳子的拉力都为10 N.4.如图，在平行四边形ABCD中，已知AB8，AD5，3，2，则的值是_答案22解析由3，得，.因为2，所以()()2，即222.又因为225

10、，264，所以22.5如图所示，在ABC中，点O是BC的中点过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若m，n，则mn的值为_答案2解析连结AO，O是BC的中点，()又m，n，.又M，O，N三点共线，1，则mn2.1利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量；另一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及的向量的坐标2用向量理论讨论物理中相关问题的步骤一般来说分为四步：(1)问题的转化，把物理问题转化成数学问题(2)模型的建立，建立以向量为主体的数学模型(3)参数的获取，求出数学模型的相关解(4)问题的答案，回到物理现象中，用已经获取的数值去解释一些物理现象