3.1.1 两角和与差的余弦 学案（含答案）

1、3.1两角和与差的三角函数31.1两角和与差的余弦学习目标1.了解两角差的余弦公式的推导过程.2.理解用向量法导出公式的主要步骤.3.理解两角和与差的余弦公式间的关系，熟记两角和与差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用公式进行化简求值知识点一两角差的余弦cos()cos cos sin sin .(C()知识点二两角和的余弦cos()cos cos sin sin .(C()特别提醒：(1)公式中的角，是任意角，特点是用单角的三角函数表示复角的三角函数，cos()，cos()是一个整体(2)公式特点：公式右端的两部分为同名三角函数的积，连结符号与左边角的连结符号相反，可用口诀“余余、正正号相反

2、”记忆公式1.存在角，使得cos()cos cos .()提示如，cos()coscos，cos cos cos cos ，满足cos()cos cos .2任意角，均有cos()cos cos sin sin .()提示由两角差的余弦公式可知不正确3任意角，均有cos()cos cos sin sin .()4不存在角，使得cos()cos cos sin sin .()提示如0，cos()cos 01，cos cos sin sin 1.题型一给角求值问题例1计算：(1)cos(15)；(2)cos 75；(3)cos 15cos 105sin 15sin 105.考点两角差的余弦公式题点

3、利用两角差的余弦公式化简求值解(1)方法一原式cos(3045)cos 30cos 45sin 30sin 45.方法二原式cos 15cos(4530)cos 45cos 30sin 45sin 30.(2)cos 75cos(4530)cos 45cos 30sin 45sin 30.(3)原式cos(15105)cos(90)cos 900.反思感悟对非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则如果整体符合三角函数公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分求值，要善于逆用

4、或变用公式跟踪训练1cos 80cos 35sin 80cos 55的值是()A. B C. D考点两角差的余弦公式题点利用两角差的余弦公式化简、求值答案A解析cos 80cos 35sin 80cos 55cos 80cos 35sin 80sin 35cos(8035)cos 45.题型二已知三角函数值求值例2已知sin ，sin ，且，求cos()解sin ，cos .又sin ，cos ，cos()cos cos sin sin .引申探究若将本例改为已知sin ，cos()，求sin .解sin ，且，cos .又，0.又cos()，sin()，cos cos()cos cos()s

5、in sin()，又，sin .反思感悟(1)在用两角和与差的余弦公式求值时，常将所求角进行拆分或组合，把所要求的函数值中的角表示成已知函数值的角(2)在将所求角分解成某两角的差时，应注意如下变换：()，()，(2)()，()()，()()等跟踪训练2已知，且cos()，sin()，求cos 2的值解因为，所以，0，又因为cos()，sin()，所以sin()，cos()，所以cos 2cos()()cos()cos()sin()sin().题型三已知三角函数值求角例3已知cos ，cos()，且0，求的值解由cos ，0，得sin .由0，得0.又cos()，sin().由()，得cos c

6、os()cos cos()sin sin()，又0，.反思感悟求解给值求角问题的一般步骤：(1)求角的某一个三角函数值(2)确定角的范围(3)根据角的范围写出所求的角跟踪训练3已知锐角，满足sin ，cos ，求的值解因为，为锐角且sin ，cos ，所以cos ，sin ，所以cos()cos cos sin sin ，由0，0，得0，又cos()0，所以为锐角，所以.1cos 的值为()A. B.C. D.答案C解析coscoscoscossinsin.2若a(cos 60，sin 60)，b(cos 15，sin 15)，则ab .答案解析abcos 60cos 15sin 60sin

7、15cos(6015)cos 45.3已知cos ，且为第一象限角，则cos .答案解析cos ，且为第一象限角，sin ，coscos cos sin sin .4已知cos ，cos()，则 .答案解析，(0，)cos ，cos()，sin ，sin()，cos cos()cos()cos sin()sin .0，.5已知sin()，sin()，且，求cos 2的值解sin()，cos().sin()，cos().cos 2cos()()cos()cos()sin()sin()1.1“给式求值”或“给值求值”问题，即由给出的某些函数关系式或某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧2“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：(1)求角的某一三角函数值；(2)确定角所在的范围(找区间)；(3)确定角的值确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定.