3.2二倍角的三角函数（第2课时）二倍角的三角函数的应用 学案（含答案）

1、第2课时二倍角的三角函数的应用学习目标1.进一步熟练掌握二倍角公式的特征及正用、逆用.2.掌握二倍角公式的变形即降幂公式的特征.3.会用二倍角公式进行三角函数的一些简单的恒等变换知识点降幂公式1sin2.2cos2.3tan2.1若cos ，则sin .()2cos2.()题型一应用半角公式求值例1已知sin ，3，求cos和tan .考点利用简单的三角恒等变换化简求值题点利用半角公式化简求值解sin ，且3，cos .，cos .tan 2.反思感悟利用半角公式求值的思路(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解(2)明范围：由于半角公式求值常

2、涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan ，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正弦、余弦值时，常先利用sin2，cos2计算(4)下结论：结合(2)求值跟踪训练1已知cos ，为第四象限角，则tan 的值为_考点利用简单的三角恒等变换化简求值题点利用半角公式化简求值答案解析方法一因为为第四象限角，所以是第二或第四象限角所以tan 0.所以tan .方法二因为为第四象限角，所以sin 0.所以sin .所以tan .方法三因为为第四象限角，所以sin 0.所以sin .所以tan .题型二三角函数式的

3、化简例2化简：.考点利用简单的三角恒等变换化简求值题点利用半角公式化简求值解1.反思感悟三角函数式化简的要求、思路和方法(1)化简的要求：能求出值的应求出值尽量使三角函数种数最少尽量使项数最少尽量使分母不含三角函数尽量使被开方数不含三角函数(2)化简的思路：对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的逆用另外，还可以用切化弦、变量代换、角度归一等方法跟踪训练2化简：(0)考点利用简单的三角恒等变换化简求值题点利用半角公式化简求值解原式.因为0，所以0，所以sin 0，所以原式cos .题型三三角函数式的证明例3求证：

4、.考点三角恒等式的证明题点三角恒等式的证明证明要证原式，可以证明.左边tan 2，右边tan 2，左边右边，原式得证反思感悟证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证对恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一，变更论证等方法常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法跟踪训练3求证：.考点三角恒等式的证明题点三角恒等式的证明证明左边右边所以原等式成立题型四三角函数在实际问题中的应用例4点P在直径AB1的半圆上移动，过P作圆的切线PT且PT1，PA

5、B，问为何值时，四边形ABTP面积最大？解如图所示，AB为直径，APB90，AB1，PAcos ，PBsin .又PT切圆于P点，TPBPAB，作BCPT于点C.S四边形ABTPSPABSTPBPAPBPTBCPAPBPTPBsin sin cos sin2sin 2(1cos 2)(sin 2cos 2)sin.0，2，当2，即时，S四边形ABTP最大反思感悟利用三角函数知识解决实际问题，关键是目标函数的构建，自变量常常选取一个恰当的角度，要注意结合实际问题确定自变量的范围跟踪训练4如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形记COP，求当角取何值

6、时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积解在直角三角形OBC中，OBcos ，BCsin .在直角三角形OAD中，tan .OADABCsin ，ABOBOAcos sin .设矩形ABCD的面积为S，则SABBCsin sin cos sin2sin 2(1cos 2)sin 2cos 2sin.0，20，cos .2已知sin ，3，则tan 的值为()A3 B3 C. D考点利用简单的三角恒等变换化简求值题点利用半角公式化简求值答案B解析3，sin ，cos ，tan 3.3已知2sin 1cos ，则tan 等于()A. B.或不存在C2 D2或不存在考点利用简单的三角恒等变换化

7、简求值题点利用半角公式化简求值答案B解析2sin 1cos ，即4sin cos 2cos2，当cos 0时，tan 不存在，当cos 0时，tan .4若cos ，且(0，)，则sin 的值为_答案解析(0，)，sin .5函数f(x)sin2xsin xcos x在区间上的最大值是_答案解析f(x)sin 2xsin，x，2x，sin，f(x)max1.1二倍角余弦公式的变形可用来降幂，应灵活掌握：sin2，cos2.2解决有关的化简、求值、证明时，注意二倍角公式的综合运用3对于三角函数在实际问题中的应用，其求解策略为引入恰当的辅助角，建立有关辅助角的三角函数表达式，并利用和、差、倍角公式进行化简整理，由于引入辅助角的恰当与否直接影响该题的计算量，故求解时多注意分析题设，恰当引入.