第3章 三角恒等变换 章末复习学案（含答案）

1、章末复习一、网络构建二、要点归纳1两角和与差的正弦、余弦、正切公式cos()cos cos sin sin .cos()cos cos sin sin .sin()sin cos cos sin .sin()sin cos cos sin .tan().tan().2二倍角公式sin 22sin cos .cos 2cos2sin22cos2112sin2.tan 2.3升幂公式1cos 22cos2.1cos 22sin2.4降幂公式sin xcos x，cos2x，sin2x.5和差角正切公式变形tan tan tan()(1tan tan )，tan tan tan()(1tan tan

2、 )6辅助角公式yasin xbcos xsin(x)7积化和差公式sin cos sin()sin()cos sin sin()sin()cos cos cos()cos()sin sin cos()cos()8和差化积公式sin sin 2sin cos.sin sin 2cossin.cos cos 2coscos.cos cos 2sinsin.9万能公式(1)sin .(2)cos .(3)tan .题型一三角函数求值例1(1)的值为()A B. C. D考点利用二倍角公式化简求值题点利用正弦的二倍角公式化简求值答案B解析原式.(2)设为钝角，且3sin 2cos ，则sin .答案

3、解析因为为钝角，所以sin 0，cos 0，由3sin 2cos ，可得6sin cos cos ，所以sin .反思感悟三角函数的求值问题通常包括三种类型，即给角求值，给值求值，给值求角给角求值的关键是将要求角转化为特殊角的三角函数值；给值求值关键是找准要求角与已知角之间的联系，合理进行拆角、凑角；给值求角实质是给值求值，先求角的某一三角函数值，再确定角的范围，从而求出角跟踪训练1已知tan()，tan，那么tan等于()A. B. C. D.考点两角和与差的正切公式题点利用两角和与差的正切公式求值答案C解析tantan.题型二三角函数式的化简与证明例2化简：.考点整体与换元思想在三角恒等变

4、换中的应用题点整体与换元思想在三角恒等变换中的应用解原式cos 2x.反思感悟三角函数化简常用策略有：切化弦、异名化同名、降幂公式、1的代换等，化简的结果应做到项数尽可能少，次数尽可能低，函数名尽量统一三角函数证明常用方法有：从左向右(或从右向左)，一般由繁向简；从两边向中间，左右归一法；作差证明，证明“左边右边0”；左右分子、分母交叉相乘，证明差值为0等跟踪训练2证明：tan .考点三角恒等式的证明题点三角恒等式的证明证明左边tan 右边，原等式成立题型三三角恒等变换与函数、向量的综合运用例3已知向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，|ab|.(1)求cos()的值；(2)

5、若0，且sin ，求sin 的值考点和、差角公式的综合应用题点和、差角公式与其他知识的综合应用解(1)因为向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，|ab|，所以22cos()，所以cos().(2)因为0，0，所以0，因为cos()，所以sin()，且sin ，cos ，所以sin sin()sin()cos cos()sin .反思感悟三角函数与三角恒等变换综合问题，通常是通过三角恒等变换，如降幂公式，辅助角公式对三角函数式进行化简，最终化为yAsin(x)k或yAcos(x)k的形式，再研究三角函数的性质当问题以向量为载体时，一般是通过向量运算，将问题转化为三角函数形式，再

6、运用三角恒等变换进行求解跟踪训练3已知函数f(x)cossin2xcos2x2sin xcos x.(1)化简f(x)；(2)若f()，2是第一象限角，求sin 2.考点应用二倍角公式化简求值题点综合应用二倍角公式化简求值解(1)f(x)cos 2xsin 2xcos 2xsin 2xsin 2xcos 2xsin.(2)f()sin，2是第一象限角，即2k22k(kZ)，2k22k(kZ)，cos，sin 2sinsincos cossin .1若，都是锐角，且cos ，sin()，则cos 等于()A. B.C.或 D.或考点和、差角公式的综合应用题点综合运用和、差角公式化简求值答案A解析

7、由，都是锐角，且cos ，sin()，得sin ，cos()，cos cos()cos cos()sin sin().2已知tan，则的值为()A. B C. D答案A解析tan.3在ABC中，若tan Atan Btan Atan B1，则cos C的值是()A B. C. D考点简单的三角恒等变换的应用题点简单的三角恒等变换与三角形的综合应用答案B解析由tan Atan Btan Atan B1，得1，即tan(AB)1.AB(0，)，AB.C，cos C.4.的值是 答案1解析tan 451，1.5已知函数f(x)cos xsincos2x，xR.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值考点简单的三角恒等变换的综合应用题点简单的三角恒等变换与三角函数的综合应用解(1)由已知，得f(x)cos xcos2xsin xcos xcos2xsin 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2xsin.所以f(x)的最小正周期T.(2)因为f(x)在区间上是减函数，在区间上是增函数，f，f，f，所以函数f(x)在闭区间上的最大值为，最小值为.