1、2.3向量的坐标表示2.3.1平面向量基本定理基础过关1.设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列向量中，不能作为基底的是()A.e1e2和e2 B.3e14e2和6e18e2C.e12e2和2e1e2 D.e1和e1e2解析B中，6e18e22(3e14e2)，(6e18e2)(3e14e2)，3e14e2和6e18e2不能作为基底，其它都可以.答案B2.若D点在ABC的边BC上，且4rs，则3rs的值为()A. B. C. D.解析4rs，()rs，r，s.3rs.答案C3.已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(3x4y)e1(2x3y)e26e13e2，则xy的值为_.解析(3
2、x4y)e1(2x3y)e26e13e2，且e1，e2不共线，解得xy633.答案34.已知e1，e2不共线，ae12e2，b2e1e2，要使a，b能作为平面内的一组基底，则实数的取值范围为_.解析若a，b能作为平面内的一组基底，则a与b不共线.ae12e2，b2e1e2，由，即得4.答案(，4)(4，)5.如图，已知E，F分别是矩形ABCD的边BC，CD的中点，EF与AC交于点G，若a，b，用a，b表示_.解析易知，.设，则由平行四边形法则可得()22，由于E，G、F三点共线，则221，即，从而，从而(ab)ab.答案ab6.已知向量ae13e22e3，b4e16e22e3，c3e112e2
3、11e3，且e1，e2，e3是不共线的向量，则a能否表示成a1b2c的形式？若能，写出表达式，若不能，说明理由.解假设a能表示成a1b2c的形式.将a，b，c代入a1b2c中，得e13e22e31(4e16e22e3)2(3e112e211e3)，即e13e22e3(4132)e1(61122)e2(21112)e3，解得存在实数1，2.向量a可以表示成a1b2c的形式，且abc.7.平面内有一个ABC和一点O(如图)，线段OA，OB，OC的中点分别为E，F，G，BC，CA，AB的中点分别为L，M，N，设a，b，c.(1)试用a，b，c表示向量，；(2)求证：线段EL，FM，GN交于一点且互相
4、平分.(1)解a，(bc)，(bca).同理(acb)，(abc).(2)证明设线段EL的中点为P1，则()(abc).设FM，GN的中点分别为P2，P3，同理可求得(abc)，(abc).，即EL，FM，GN交于一点，且互相平分.能力提升8.在平行四边形ABCD中，e1，e2，则()A.e1e2 B.e1e2C.e1e2 D.e1e2解析如图，()()e1e2.答案C9.在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的单位向量(模为1的向量)i，j作为基底.将平面内的向量用基底i，j表示出来，其中点A在第一象限，且在直线yx上，|5(如图).则()A.3i4j B.4i5jC.4i3j D.3i
5、5j解析过A分别作AMx轴于点M，ANy轴于点N.设点A的坐标为(x0，y0)，则由题意得，解得(负值舍去).即|3，|4.3i4j.答案A10.如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，设a，b，若2，则_(用a和b表示).解析设，则()().因为D，O，B三点共线，所以1，所以，所以ab.答案ab11.如图所示，在ABC中，点M是AB的中点，且，BN与CM相交于E，设a，b，则用基底a，b表示向量_.解析易得b，a，由N，E，B三点共线，设存在实数m，满足m(1m)mb(1m)a.由C，E，M三点共线，设存在实数n满足n(1n)na(1n)b.所以mb(1m)ana(1n)b，由于a
6、，b为基底，所以解得所以ab.答案ab12.用向量法证明三角形的三条中线交于一点.解已知：如图所示，D，E，F分别是ABC的三边BC，AC，AB的中点.求证：AD，BE，CF交于一点.证明令a，b为基底，则ab，ab，ab.设AD与BE交于点G1，且，.则有ab，ab，又有a(1)b，解得.设AD与CF交于点G2，同理求得2.点G1，G2重合，即AD，BE，CF交于一点.三角形三条中线交于一点.创新突破13.如图所示，用绳子AC和BC吊一重物，绳子与垂直方向夹角分别为60和30，已知绳子AC和BC所能承受的最大拉力分别为80 N和150 N，那么重物的重力的大小应不超过多少？解设重物的重力为g，如图所示可知：方向上的力的大小为|g|cos 30|g|；方向上的力的大小为|g|cos 60|g|.根据题意，得解得|g|160(N)，重物的重力大小应不超过160 N.
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