2019-2020学年浙江省杭州市江干区采荷中学九年级（上）月考数学试卷解析版

1、2019-2020学年浙江省杭州市江干区采荷中学九年级（上）月考数学试卷（9月份）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1（3分）（2016秋下城区期末）已知，则实数的值为A4B6C12D242（3分）（2019秋江干区校级月考）下列条件可以确定而且只能确定一个圆的是A已知圆心B已知半径C已知直径D已知三个点3（3分）（2017秋连云港期末）将抛物线向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的表达式为ABCD4（3分）（2019甘肃模拟）如图，是的直径，点、是圆上两点，且，则ABCD5（3分）（2017永春县模拟）如图，正六边形螺帽

2、的边长是，这个扳手的开口的值应是A BC D6（3分）（2005聊城）如图，圆心角，是上任一点（不与，重合），点在的延长线上，则等于ABCD7（3分）（2019秋江干区校级月考）现有以下命题：平分弦的直径垂弦，平分弦所对的弧；等弧所对的弦相等，所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，弦相等所对的圆周角也相等；各边都相等的多边形是正多边形正确的是A1个B2个C3个D4个8（3分）（2014秋下城区期末）已知点，在函数的图象上，则，的大小关系是ABCD9（3分）（2019秋江干区校级月考）如图，在圆中，弦，点在上移动，连接，过点做交圆于点，则的最大值为AB2CD10（3分）（2019秋江干区校级月考）如

3、图，点，的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动，与轴交于、两点在的左侧），点的横坐标最小值为，则点的横坐标最大值为A13B7C5D8二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）11（4分）（2012万州区校级二模）在半径为6的圆中，的圆心角所对的弧长等于 （结果保留12（4分）（2019秋江干区校级月考）某公司生产一种新型手杖，其长为，现要在黄金分割点位置安放一个小装饰品，装饰品离手杖上端的距离为（注：该装饰品离手杖的上端较近，结果保留根号）13（4分）（2019秋江干区校级月考）如图，是的直径，若，则圆周角的度数是14（4分）（2019秋江干区校级月考）如图，在中，以的中点为圆心，

4、的长为半径作半圆交于点，则图中阴影部分的面积为（计算结果保留15（4分）（2019秋江干区校级月考）如图，四边形内接于，交的延长线于点，若平分，则16（4分）（2018泸县校级一模）如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：；方程的两个根是，；当时，的取值范围是；当时，随增大而增大；其中结论正确有 三、解答题（本题共7小题，共66分，解答应写出必要演算步骤，文字说明或证明过程）17（4分）（2016春酒泉期末）已知，求下列算式的值（1）；（2）18（8分）（2019白银）已知：在中，（1）求作：的外接圆（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）若的外

5、接圆的圆心到边的距离为4，则19（8分）（2019毕节市）某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入已知某种士特产每袋成本10元试销阶段每袋的销售价（元与该士特产的日销售量（袋之间的关系如表：（元152030（袋252010若日销售量是销售价的一次函数，试求：（1）日销售量（袋与销售价（元的函数关系式；（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？20（12分）（2019秋江干区校级月考）如图，在中，以为直径的与边，分别交于，两点，过点作

6、于点（1）求证：；（2）连结若四边形为菱形，求的长21（10分）（2016秋下城区校级期中）某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离，称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，当和确定时，有两种设计方案可供选择：抛物线型，圆弧型已知这座桥的跨度米，拱高米（1）如果设计成抛物线型，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立坐标系，求桥拱的函数解析式；（2）如果设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径；（3）在距离桥的一端4米处欲立一桥墩支撑，在两种方案中分别求桥墩的高度22（12分）（2019秋江干区校级月考）在平面直角坐标系中，已知抛物线（1）当，二次函数的自变量满足时，函数的最大值为，求的值；（2）已知点，若抛物线

7、与线段有两个不同的交点，请直接写出的取值范围23（12分）（2019秋江干区校级月考）二次函数的图象交轴于点，点两点，交轴于点，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，过点作轴交直线于点，交抛物线于点，连接，设运动时间为秒（1）求二次函数的表达式；（2）直线上存在一点，当是以为直角等腰三角形时，求此时点的坐标；（3）当时，在直线上存在一点，使得，求点的坐标2019-2020学年浙江省杭州市江干区采荷中学九年级（上）月考数学试卷（9月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1（3分）（2016秋下城区期末）已知

8、，则实数的值为A4B6C12D24【考点】：比例的性质【分析】根据比例的性质计算即可【解答】解：因为，可得：，故选：【点评】此题考查比例的性质，关键是根据比例的性质计算2（3分）（2019秋江干区校级月考）下列条件可以确定而且只能确定一个圆的是A已知圆心B已知半径C已知直径D已知三个点【考点】：确定圆的条件【专题】559：圆的有关概念及性质；64：几何直观【分析】根据确定圆的条件即可判断；【解答】解：、不能确定因为半径不确定，故不符合题意；、不能确定因为圆心的位置不确定，故不符合题意；、不能确定，因为圆心的位置不确定，故不符合题意；不在同一直线上三点可以确定一个圆故符合题意；故选：【点评】本题

9、考查确定圆的条件，记住：已知圆心和半径可以确定圆，不在同一直线上的三点可以确定一个圆；3（3分）（2017秋连云港期末）将抛物线向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的表达式为ABCD【考点】：二次函数图象与几何变换【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线向左平移3个单位所得直线的解析式为：；由“上加下减”的原则可知，将抛物线向上平移5个单位所得抛物线的解析式为：故选：【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键4（3分）（2019甘肃模拟）如图，是的直径，点、是圆上两点，且，则ABCD

10、【考点】：圆心角、弧、弦的关系；：圆周角定理【专题】559：圆的有关概念及性质【分析】由，可求得的度数，然后由圆周角定理，求得的度数【解答】解：，故选：【点评】此题考查了圆周角定理注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半5（3分）（2017永春县模拟）如图，正六边形螺帽的边长是，这个扳手的开口的值应是A BC D【考点】：正多边形和圆【分析】连接，作于；根据正六边形的特点求出的度数，再由等腰三角形的性质求出的度数，由特殊角的三角函数值求出的长，进而可求出的长【解答】解：连接，过作于；，是等腰三角形，；此多边形为正六边形，故选：【点评】此题比较简单，解答此题

11、的关键是作出辅助线，根据等腰三角形及正六边形的性质求解6（3分）（2005聊城）如图，圆心角，是上任一点（不与，重合），点在的延长线上，则等于ABCD【考点】：圆内接四边形的性质【分析】设点是优弧（不与，重合）上的一点，根据圆周角定理，可得，根据圆内接四边形对角互补知，即证【解答】解：设点是优弧（不与、重合）上的一点，故选：【点评】本题考查了圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半和圆内接四边形对角互补的知识7（3分）（2019秋江干区校级月考）现有以下命题：平分弦的直径垂弦，平分弦所对的弧；等弧所对的弦相等，所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，弦相

12、等所对的圆周角也相等；各边都相等的多边形是正多边形正确的是A1个B2个C3个D4个【考点】：命题与定理【专题】559：圆的有关概念及性质；67：推理能力【分析】利用垂径定理、圆周角定理及正多边形的定义分别判断后即可确定正确的选项【解答】解：平分弦（不是）的直径垂直弦，平分弦所对的弧，故原命题错误；等弧所对的弦相等，所对的圆周角相等，正确；在同圆或等圆中，弦相等所对的圆周角相等或互补，故原命题错误；各边都相等、各角也相等的多边形是正多边形，故原命题错误，正确的有，故选：【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解垂径定理、圆周角定理及正多边形的定义，难度不大8（3分）（2014秋下城区期末）

13、已知点，在函数的图象上，则，的大小关系是ABCD【考点】：二次函数图象上点的坐标特征【分析】先求得抛物线的对称轴为直线，根据二次函数的性质，通过三点与对称轴距离的远近来比较函数值的大小【解答】解：由函数可知则抛物线的对称轴为直线，开口向上，而点在对称轴上，、，在对称轴的右侧，故选：【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式9（3分）（2019秋江干区校级月考）如图，在圆中，弦，点在上移动，连接，过点做交圆于点，则的最大值为AB2CD【考点】：勾股定理；：垂径定理【专题】67：推理能力；559：圆的有关概念及性质【分析】连接，根据勾股定理求出，利用垂线段最短

14、得到当时，最小，根据垂径定理计算即可【解答】解：如图，连接，当的值最小时，的值最大，时，最小，此时、两点重合，即的最大值为2，故选：【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键10（3分）（2019秋江干区校级月考）如图，点，的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动，与轴交于、两点在的左侧），点的横坐标最小值为，则点的横坐标最大值为A13B7C5D8【考点】：二次函数的性质【分析】当点横坐标最小时，抛物线顶点必为，根据此时抛物线的对称轴，可判断出间的距离；当点横坐标最大时，抛物线顶点为，再根据此时抛物线的对称轴及的长，可判断出点横坐标

15、最大值【解答】解：当点横坐标为时，抛物线顶点为，对称轴为，此时点横坐标为5，则；当抛物线顶点为时，抛物线对称轴为，且，故，；由于此时点横坐标最大，故点的横坐标最大值为8故选：【点评】本题主要考查了二次函数的性质，能够正确地判断出点横坐标最小、点横坐标最大时抛物线的顶点坐标是解答此题的关键二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）11（4分）（2012万州区校级二模）在半径为6的圆中，的圆心角所对的弧长等于（结果保留【考点】：弧长的计算【专题】11：计算题【分析】根据弧长的计算公式，将及的值代入即可得出答案【解答】解：由题意得，故可得弧长故答案为：【点评】此题考查了弧长的计算，属于基础

16、题，解答本题的关键是掌握弧长的计算公式，及公式中字母的含义12（4分）（2019秋江干区校级月考）某公司生产一种新型手杖，其长为，现要在黄金分割点位置安放一个小装饰品，装饰品离手杖上端的距离为（注：该装饰品离手杖的上端较近，结果保留根号）【考点】：黄金分割【专题】69：应用意识；523：一元二次方程及应用【分析】利用黄金分割的定义计算出装饰品离手杖下端的距离，从而得到计算装饰品离手杖上端的距离【解答】解：装饰品离手杖下端的距离，所以装饰品离手杖上端的距离故答案为【点评】本题考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点 其中，并且线段的

17、黄金分割点有两个13（4分）（2019秋江干区校级月考）如图，是的直径，若，则圆周角的度数是【考点】：圆心角、弧、弦的关系；：圆周角定理【专题】：与圆有关的计算；69：应用意识【分析】根据圆周角定理求出即可解决问题【解答】解：，故答案为【点评】本题考查圆周角定理，平角的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型14（4分）（2019秋江干区校级月考）如图，在中，以的中点为圆心，的长为半径作半圆交于点，则图中阴影部分的面积为（计算结果保留【考点】：勾股定理；：扇形面积的计算【专题】：与圆有关的计算；69：应用意识【分析】根据题意，作出合适的辅助线，即可求得的长、的度数，然后根据图

18、形可知阴影部分的面积是的面积减去的面积和扇形的面积，从而可以解答本题【解答】解：在中，阴影部分的面积，故答案为【点评】本题考查扇形面积的计算、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答15（4分）（2019秋江干区校级月考）如图，四边形内接于，交的延长线于点，若平分，则【考点】：勾股定理；：圆内接四边形的性质；：垂径定理；：圆周角定理；：角平分线的性质；：相似三角形的判定与性质【专题】554：等腰三角形与直角三角形；67：推理能力；559：圆的有关概念及性质【分析】连接，由圆内接四边形的性质和圆周角定理得到，从而得到，得出，然后利用勾股定理计算的长【解答】解：连接，如图，平分，

19、故答案为：【点评】本题考查了圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定、圆周角定理、勾股定理、角平分线定义等知识；熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形的性质是解题的关键16（4分）（2018泸县校级一模）如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：；方程的两个根是，；当时，的取值范围是；当时，随增大而增大；其中结论正确有【考点】：二次函数图象与系数的关系【分析】利用抛物线与轴的交点个数可对进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的一个交点坐标为，则可对进行判断；由对称轴方程得到，然后根据时函数值为0可得到，则可对进行判断；根据抛物线在轴上方所对应的自变量的范围可对进

20、行判断；根据二次函数的性质对进行判断【解答】解：抛物线与轴有2个交点，所以正确；抛物线的对称轴为直线，而点关于直线的对称点的坐标为，方程的两个根是，所以正确；，即，而时，即，所以错误；抛物线与轴的两点坐标为，当时，所以错误；抛物线的对称轴为直线，当时，随增大而增大，所以正确故答案为【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左； 当与异号时（即，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点位置：抛物线与轴交于；抛物线与轴交点个数由决定：

21、时，抛物线与轴有2个交点；时，抛物线与轴有1个交点；时，抛物线与轴没有交点三、解答题（本题共7小题，共66分，解答应写出必要演算步骤，文字说明或证明过程）17（4分）（2016春酒泉期末）已知，求下列算式的值（1）；（2）【考点】：比例的性质【分析】（1）由比例的性质容易得出结果；（2）设，则，代入计算化简即可【解答】解：（1），；（2），设，则，【点评】本题考查了比例的性质，代数式的求值；熟练掌握比例的性质是解决问题的关键18（8分）（2019白银）已知：在中，（1）求作：的外接圆（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）若的外接圆的圆心到边的距离为4，则【考点】：等腰三角形的性质；：

22、三角形的外接圆与外心；：作图复杂作图【专题】13：作图题【分析】（1）作线段，的垂直平分线，两线交于点，以为圆心，为半径作，即为所求（2）在中，利用勾股定理求出即可解决问题【解答】解：（1）如图即为所求（2）设线段的垂直平分线交于点由题意，在中，故答案为【点评】本题考查作图复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型19（8分）（2019毕节市）某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入已知某种士特产每袋成本10元试销阶段每袋的销售价（元与该士特产的日销售量（袋之

23、间的关系如表：（元152030（袋252010若日销售量是销售价的一次函数，试求：（1）日销售量（袋与销售价（元的函数关系式；（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？【考点】：二次函数的应用【专题】33：函数思想；536：二次函数的应用；124：销售问题【分析】（1）根据表格中的数据，利用待定系数法，求出日销售量（袋与销售价（元的函数关系式即可（2）利用每件利润总销量总利润，进而求出二次函数最值即可【解答】解：（1）依题意，根据表格的数据，设日销售量（袋与销售价（元的函数关系式为得，解得故日销售量（袋与销

24、售价（元的函数关系式为：（2）依题意，设利润为元，得整理得当时，取得最大值，最大值为225故要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，根据每天的利润一件的利润销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题20（12分）（2019秋江干区校级月考）如图，在中，以为直径的与边，分别交于，两点，过点作于点（1）求证：；（2）连结若四边形为菱形，求的长【考点】：等腰三角形的性质；：菱形的性质；：垂径定理；：勾股定理；：圆周角定理【专题】：与圆有关的计算；69：应用意识【分析】（1）如

25、图，连接利用圆周角定理以及等腰三角形的性质即可解决问题（2）证明是等边三角形即可解决问题【解答】（1）证明：如图，连接是直径，（2）解：如图，连接四边形是菱形，是等边三角形，是等边三角形，是等边三角形，【点评】本题考查圆周角定理，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，菱形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型21（10分）（2016秋下城区校级期中）某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离，称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，当和确定时，有两种设计方案可供选择：抛物线型，圆弧型已知这座桥的跨度米，拱高米（1）如果设计成抛物线型，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立坐标系，求

26、桥拱的函数解析式；（2）如果设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径；（3）在距离桥的一端4米处欲立一桥墩支撑，在两种方案中分别求桥墩的高度【考点】：二次函数的应用【分析】（1）抛物线的解析式为，把点和点，代入即可求出抛物线解析式；（2）设弧所在的圆心为，为弧的中点，于，延长经过点，设的半径为，利用勾股定理求出即可；（3）根据题意画出图形，利用垂径定理以及勾股定理得出的长，再求出的长即可【解答】解：（1）抛物线的解析式为，又抛物线经过点和点，抛物线的解析式为；（2）设弧所在的圆心为，为弧的中点，于，延长经过点，设的半径为，在中，解得；（3）在抛物线型中设点在抛物线上，米；在圆弧型中设点在弧上，作于，

27、于，则 ， ，在 中， ，（米在离桥的一端4米处，抛物线型桥墩高3.5米； 圆弧型桥墩高4米【点评】此题主要考查了垂径定理的应用以及二次函数的应用，根据题意画出图形结合勾股定理得出是解题关键22（12分）（2019秋江干区校级月考）在平面直角坐标系中，已知抛物线（1）当，二次函数的自变量满足时，函数的最大值为，求的值；（2）已知点，若抛物线与线段有两个不同的交点，请直接写出的取值范围【考点】：二次函数综合题；：二次函数的最值；：二次函数图象与系数的关系；：二次函数图象上点的坐标特征【专题】65：数据分析观念；32：分类讨论【分析】（1）在左侧，随的增大而增大，时，有最大值；在对称轴右侧，随最大

28、而减小，时，有最大值，即可求解；（2）时，时，即；时，时，即，即可求解【解答】解：（1）根据题意可得，抛物线开口向下，对称轴，时，有最大值，当时，有，或，在左侧，随的增大而增大，时，有最大值，；在对称轴右侧，随最大而减小，时，有最大值；综上所述：或；（2）时，时，即；时，时，即，直线的解析式为，抛物线与直线联立：，的取值范围为或【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解不等式等，其中（2）、（3），都要注意分类求解，避免遗漏23（12分）（2019秋江干区校级月考）二次函数的图象交轴于点，点两点，交轴于点，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，过点作轴交直线于点，交抛物线于点，

29、连接，设运动时间为秒（1）求二次函数的表达式；（2）直线上存在一点，当是以为直角等腰三角形时，求此时点的坐标；（3）当时，在直线上存在一点，使得，求点的坐标【考点】：二次函数综合题【专题】16：压轴题；：创新意识【分析】（1）函数的表达式为：，则，解得：，即可求解；（2）证明，则，即可求解；（3）证明、四点公圆，且圆心在轴上，即可求解【解答】解：（1）函数的表达式为：，则，解得：，故抛物线的表达式为：；（2）过点作轴的平行线交轴于点，过点作轴的平行线交的延长线于点，解得：，则，当时，故点；（3）如图2，同理，则、四点公圆，且圆心在轴上，连接、，设圆的半径为，则在中，则，解得：，在中，故点的坐标

30、为：，或，【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到圆的基本知识、三角形全等等，其中（3），用圆的知识求解点的坐标，是本题的亮点考点卡片1二次函数的性质二次函数yax2+bx+c（a0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x，二次函数yax2+bx+c（a0）的图象具有如下性质：当a0时，抛物线yax2+bx+c（a0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点当a0时，抛物线yax2+bx+c（a0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点抛物线yax2+bx+c（a

31、0）的图象可由抛物线yax2的图象向右或向左平移|个单位，再向上或向下平移|个单位得到的2二次函数图象与系数的关系二次函数yax2+bx+c（a0）二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小当a0时，抛物线向上开口；当a0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置当a与b同号时（即ab0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab0），对称轴在y轴右（简称：左同右异）常数项c决定抛物线与y轴交点 抛物线与y轴交于（0，c）抛物线与x轴交点个数b24ac0时，抛物线与x轴有2个交点；b24ac0时，抛物线与x轴有1个交点；b24a

32、c0时，抛物线与x轴没有交点3二次函数图象上点的坐标特征二次函数yax2+bx+c（a0）的图象是抛物线，顶点坐标是（，）抛物线是关于对称轴x成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式顶点是抛物线的最高点或最低点抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x4二次函数图象与几何变换由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式5二次函数的

33、最值（1）当a0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x时，y（2）当a0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x时，y（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值6二次函数的应用（1）利用二次函数解决利润问题在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题解此类题的关键是通过题意，确定

34、出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围（2）几何图形中的最值问题几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论（3）构建二次函数模型解决实际问题利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题7二次函数综合题（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断

35、新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起这类试题一般难度较大解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件（3）二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义8角平分线的性质角平分线的性质：角的平分线上的点到角

36、的两边的距离相等注意：这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，C在AOB的平分线上，CDOA，CEOBCDCE9等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形（2）等腰三角形的性质等腰三角形的两腰相等等腰三角形的两个底角相等【简称：等边对等角】等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合【三线合一】（3）在等腰；底边上的高；底边上的中线；顶角平分线以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论10勾股定

37、理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2c2（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中（3）勾股定理公式a2+b2c2 的变形有：a，b及c（4）由于a2+b2c2a2，所以ca，同理cb，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边11菱形的性质（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（2）菱形的性质菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线

38、（3）菱形的面积计算利用平行四边形的面积公式菱形面积ab（a、b是两条对角线的长度）12垂径定理（1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧（2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧13圆心角、弧、弦的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等说明：同一条弦对应两条弧，

39、其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分14圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角注意：圆周角必须满足两个条件：顶点在圆上角的两条边都与圆相交，二者缺一不可（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的

40、圆心角的一半推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握（4）注意：圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”圆心角转化定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角15圆内接四边形的性质（1）圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）（2）

41、圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来在应用时要注意是对角，而不是邻角互补16确定圆的条件不在同一直线上的三点确定一个圆注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆17三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心（3）

42、概念说明：“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个18正多边形和圆（1）正多边形与圆的关系 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆（2）正多边形的有关概念中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径中心角：正多边形每一边所对的圆心角

43、叫做正多边形的中心角边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距19弧长的计算（1）圆周长公式：C2R（2）弧长公式：l（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）在弧长的计算公式中，n是表示1的圆心角的倍数，n和180都不要带单位若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长题设未标明精确度的，可以将弧长用表示正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一20扇形面积的计算（1）圆面积公式：Sr2（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形R2或S扇形lR（其中l为扇形的弧长）（4）求阴影面积常用的方法：