3.4 互斥事件 学案（含答案）

1、3.4互斥事件学习目标1.理解互斥事件、对立事件的概念和实际意义，能根据定义辨别事件的互斥、对立关系.2.掌握互斥事件的概率加法计算公式知识点一互斥事件互斥事件的概念：不能同时发生的两个事件称为互斥事件知识点二事件AB一般地，事件“A，B至少有一个发生”记为AB.如果事件A，B互斥，那么事件AB发生的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和，即P(AB)P(A)P(B)一般地，如果事件A1，A2，An两两互斥，那么P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)知识点三对立事件对立事件及其概率公式：如果两个互斥事件必有一个发生，那么称这两个事件为对立事件事件A的对立事件记为，对立事件概率公式P(

2、)1P(A)1若两个事件是互斥事件，则这两个事件是对立事件()2若两个事件是对立事件，则这两个事件也是互斥事件()3若两个事件是对立事件，则这两个事件概率之和为1.()4若事件A，B的概率分别为P(A)0.3，P(B)0.4，则P(AB)0.7.()题型一互斥、对立的判定例1(1)从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互斥而不对立的是_至少有一个红球与都是红球；至少有一个红球与都是白球；至少有一个红球与至少有一个白球；恰有一个红球与恰有两个红球答案解析根据互斥事件与对立事件的定义判断中两事件不是互斥事件；中两事件是对立事件；中两事件能同时发生，如“恰有一个红球和两个白

3、球”，故不是互斥事件；中两事件是互斥而不对立事件(2)从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从110各10张)中，任取一张“抽出红桃”与“抽出黑桃”；“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由解是互斥事件，不是对立事件理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件既是互斥事件，又是对立事件理由是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”

4、与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件不是互斥事件，当然不可能是对立事件理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得牌点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件反思感悟(1)要判断两个事件是不是互斥事件，只需要分别找出各个事件包含的所有结果，看它们之间能不能同时发生在互斥的前提下，看两个事件的并事件是否为必然事件，从而可判断是否为对立事件(2)考虑事件的结果间是否有交事件可考虑利用Venn图分析，对于较难判断的关系，也可考虑列出全部结果，再进行分析跟

5、踪训练1判断下列各对事件是不是互斥事件，并说明理由某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中：(1)“恰有1名男生”和“恰有2名男生”；(2)“至少有1名男生”和“至少有1名女生”；(3)“至少有1名男生”和“全是男生”；(4)“至少有1名男生”和“全是女生”解(1)是互斥事件理由是：在所选的2名同学中，“恰有1名男生”实质是选出的是“1名男生和1名女生”，它与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件(2)不是互斥事件理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果；“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”两种

6、结果，题中两事件可能同时发生(3)不是互斥事件理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”，与“全是男生”可能同时发生(4)是互斥事件，也是对立事件理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果，它和“全是女生”不可能同时发生题型二互斥、对立事件的概率公式例2如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心(事件A)的概率是，取到方块(事件B)的概率是，问：(1)取到红色牌(事件C)的概率是多少？(2)取到黑色牌(事件D)的概率是多少？解(1)因为CAB，且A与B不会同时发生，所以事件A与事件B互斥，所以P(C)P(A)P(

7、B).(2)事件C与事件D互斥，且CD为必然事件，因此事件C与事件D是对立事件，P(D)1P(C).反思感悟(1)只有当A，B互斥时，公式P(AB)P(A)P(B)才成立；只有当A，B互为对立事件时，公式P(A)1P(B)才成立(2)复杂的互斥事件概率的求法有两种：一是直接求解，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率的加法公式计算；二是间接求解，先找出所求事件的对立事件，再用公式P(A)1P()求解跟踪训练2某人外出去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4.(1)求他乘火车或乘飞机去的概率；(2)求他不乘轮船去的概率；(3)

8、如果他乘某种交通工具的概率为0.5，请问他有可能乘哪种交通工具？解记“他乘火车”为事件A，“他乘轮船”为事件B，“他乘汽车”为事件C，“他乘飞机”为事件D.这四个事件两两不可能同时发生，故它们彼此互斥，(1)P(AD)P(A)P(D)0.30.40.7，即他乘火车或乘飞机去的概率为0.7.(2)设他不乘轮船去的概率为P()，则P()1P(B)10.20.8，所以他不乘轮船去的概率为0.8.(3)由于P(A)P(B)0.30.20.5，P(C)P(D)0.10.40.5，故他要么乘火车或乘轮船去，要么乘汽车或乘飞机去题型三概率公式的综合应用例3玻璃盒里装有红球、黑球、白球、绿球共12个，从中任取

9、1球，设事件A为“取出1个红球”，事件B为“取出1个黑球”，事件C为“取出1个白球”，事件D为“取出1个绿球”已知P(A)，P(B)，P(C)，P(D).(1)求“取出1个球为红球或黑球”的概率；(2)求“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率解方法一(1)因为事件A，B，C，D彼此为互斥事件，所以“取出1个球为红球或黑球”的概率为P(AB)P(A)P(B).(2)“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率为P(ABC)P(A)P(B)P(C).方法二(1)“取出1个球为红球或黑球”的对立事件为“取出1个球为白球或绿球”，即AB的对立事件为CD，所以P(AB)1P(CD)1P(C)P(D)1，即“取

10、出1个球为红球或黑球”的概率为.(2)“取出1个球为红球或黑球或白球”的对立事件为“取出1个球为绿球”，即ABC的对立事件为D，所以P(ABC)1P(D)1，即“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率为.反思感悟应用公式计算事件AB发生的概率的注意事项(1)首先判断两个事件是否彼此互斥(2)只有A，B为互斥事件，才能运用概率的加法公式P(AB)P(A)P(B)计算至少有一个事件发生的概率(3)只有A，B为对立事件时，P(AB)P(A)P(B)1.跟踪训练3从3名男生2名女生中任选2人参加志愿者活动，求：(1)恰有一名女生的概率；(2)至少有一名男生的概率解记3名男生分别为a，b，c,2名女生分别

11、为m，n，从中任选2人，基本事件构成全集为ab，ac，am，an，bc，bm，bn，cm，cn，mn，所以等可能基本事件共有10个(1)设A恰有1名女生am，an，bm，bn，cm，cn，所以P(A).(2)方法一设B至少有1名男生ab，ac，am，an，bc，bm，bn，cm，cn，所以P(B).方法二设B至少有1名男生，则都是女生mn，所以P()，P(B)1P()1.方程思想求概率典例袋中有外形、质量完全相同的红球、黑球、黄球、绿球共12个，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是.(1)试分别求得到黑球、黄球、绿球的概率；(2)从中任取一球，求得到

12、的不是红球或绿球的概率解(1)从袋中任取一球，记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别为A，B，C，D，则A，B，C，D互为互斥事件，则P(A)，P(BC)P(B)P(C)，P(CD)P(C)P(D)，P(BCD)P(B)P(C)P(D)1P(A)1.联立解得P(B)，P(C)，P(D)，故得到黑球、黄球、绿球的概率分别为，.(2)事件“得到红球或绿球”可表示为事件AD，由(1)得P(AD)P(A)P(D)，故得到的不是红球或绿球的概率P1P(AD)1.素养评析(1)求概率可以考虑用对立事件、互斥事件的概率加法公式求解如果有多个待求量，可以列方程组求解(2)理解运算对策，选择

13、运算方法，求得运算结果，这都是数学核心素养之数学运算的具体体现1口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是()A0.42 B0.28 C0.3 D0.7答案C解析摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，摸出黑球的概率是10.420.280.3，故选C.2在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是()AAB与C是互斥事件，也是对立事件BBC与D是互斥事件，也是对立事件CAC与BD是互斥事件，但不是对立事件DA与BCD是互斥事件，也是对立事件答案

14、D解析由于A，B，C，D彼此互斥，且由P(ABCD)P(A)P(B)P(C)P(D)1，知ABCD是一个必然事件，故其事件的关系如图所示由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件，故只有D中的说法正确3从装有十个红球和十个白球的罐子里任取两球，下列情况中是互斥但不对立的两个事件是()A至少有一个红球；至少有一个白球B恰有一个红球；都是白球C至少有一个红球；都是白球D至多有一个红球；都是红球答案B解析对于A，“至少有一个红球”可能为一个红球、一个白球，“至少有一个白球”可能为一个白球、一个红球，故两事件可能同时发生，所以不是

15、互斥事件；对于B，“恰有一个红球”，则另一个必是白球，与“都是白球”是互斥事件，而任取两个球还有都是红球的情形，故两事件不是对立事件；对于C，“至少有一个红球”为都是红球或一红一白，与“都是白球”显然是对立事件；对于D，“至多有一个红球”为都是白球或一红一白，与“都是红球”是对立事件4从集合a，b，c，d，e的所有子集中任取一个，若这个子集不是集合a，b，c的子集的概率是，则该子集恰是集合a，b，c的子集的概率是_答案解析该子集恰是a，b，c的子集的概率为P1.5口袋中装有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率是0.23，则摸出黑球的概率是_答案

16、0.32解析摸出红球的概率P10.45，摸出黑球的概率为10.450.230.32.1互斥事件与对立事件的区别与联系：互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：(1)事件A发生且事件B不发生；(2)事件A不发生且事件B发生；(3)事件A与事件B同时不发生而对立事件是指事件A与事件B有且仅有一个发生，其包括两种情形：(1)事件A发生事件B不发生；(2)事件B发生事件A不发生，对立事件是互斥事件的特殊情形2当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(AB)P(A)P(B)3若事件A与B为对立事件，则AB为必然事件，所以P(AB)P(A)P(B)1，于是有P(A)1P(B)