1、2019-2020学年九年级(上)期中数学试卷一、选择题(本大题共10小题,共40分)1下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是()ABCD2下列方程属于一元二次方程的是()A(x22)xx2Bax2+bx+c0Cx+5Dx203平面直角坐标系内,点P(2,3)关于原点对称点的坐标是()A(3,2)B(2,3)C(2,3)D(2,3)4二次函数y(x4)2+5的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是()A向上,直线x4,(4,5)B向上,直线x4,(4,5)C向上,直线x4,(4,5)D向下,直线x4,(4,5)5将一元二次方程x24x70配方,所得的方程是()A(x2)211B(x2)23
2、C(x+2)211D(x+2)236某厂一月份生产某机器100台,计划三月份生产144台设二、三月份每月的平均增长率为x,根据题意列出的方程是()A100(1+x)2144B100(1x)2144C144(1+x)2100D144(1x)21007如图,四边形ABCD内接于O,若BCD110,则BOD的度数为()A35B70C110D1408过O内一点P的最长弦长为10cm,最短弦长为8cm,那么OP的长为()A9BC6D39若函数yx2+2xb的图象与坐标轴有三个交点,则b的取值范围是()Ab1且b0Bb1且b0Cb1且b0Db1且b010我们知道,一元二次方程x21没有实数根,即不存在一个
3、实数的平方等于1若我们规定一个新数“i”,使其满足i21(即方程x21有一个根为i)并且进一步规定:一切实数可以与新数进行四则运算,且原有运算律和运算法则仍然成立,于是有i1i,i21,i3i2i(1)ii,i4(i2)2(1)21,从而对任意正整数n,我们可以得到i4n+1i4ni(i4)nii,i4n+21,i4n+3i,i4n1那么i+i2+i3+i4+i2012+i2013+i2019的值为()A0B1C1Di二、填空题(本大题共6小题,共24分)11一元二次方程3x(x3)2x21化为一般形式为 12在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A的坐标为(4,1),将OA绕原点逆时针方向旋转
4、90得OB,则点B的坐标为 13点A(2,y1)、B(3,y2)是二次函数yx22x+m的图象上两点,则y1与y2的大小关系为y1 y2(填“”、“”、“”)14在平面直角坐标系中,将抛物线yx2先向右平移2个单位,再向上平移2个单位,抛物线的解析式为 15如图,点A,B,C,D在O上,CAD30,ACD50,则ADB 16如图,在四边形ABCD中,ABC30,将DCB绕点C顺时针旋转60后,点D的对应点恰好与点A重合,得到ACE,若AB6,BC8,则BD 三、解答题(9小题,共86分)17选用适当的方法,解下列方程:(1)x22x30;(2)2x(x2)x218现将进货为40元的商品按50元
5、售出时,就能卖出500件已知这批商品每件涨价1元,其销售量将减少10个问为了赚取8000元利润,同时尽量照顾到顾客的利益,售价应定为多少?这时应进货多少件?19如图,在平面直角坐标系中,ABC的三个顶点坐标分别为A(1,4)、B(3,3)、C(1,1)(每个小方格都是边长为一个单位长度的正方形)(1)请画出ABC关于原点对称的A1B1C1,并写出A1,B1,C1的坐标;(2)请画出ABC绕点B逆时针旋转90后的A2B2C220如图,已知抛物线yx2+x6与x轴两个交点分别是A、B(点A在点B的左侧)(1)求A、B的坐标;(2)利用函数图象,写出y0时,x的取值范围21如图,O的直径AB为10c
6、m,弦AC为6cm,(1)用尺规作图画出ACB的平分线交O于点D(不要写作法,保留作图痕迹)(2)分别连接点AD和BD,求弦BC、AD、BD的长22参与两个数学活动,再回答问题:活动:观察下列两个两位数的积(两个乘数的十位上的数都是9,个位上的数的和等于10),猜想其中哪个积最大?9199,9298,9397,9496,9595,9694,9793,9892,9991活动:观察下列两个三位数的积(两个乘数的百位上的数都是9,十位上的数与个位上的数组成的数的和等于100),猜想其中哪个积最大?901999,902998,903997,997903,998902,999901(1)分别写出在活动、
7、中你所猜想的是哪个算式的积最大?(2)对于活动,请用二次函数的知识证明你的猜想23已知关于x的一元二次方程x2x+m0有两个实数根(1)若m为正整数,求此方程的根(2)设此方程的两个实数根为a、b,若ya(a1)2b2+2b+1,求y的取值范围24(1)如图1,点P是等边ABC内一点,已知PA3,PB4,PC5,求APB的度数分析:要直接求A的度数显然很因难,注意到条件中的三边长恰好是一组勾股数,因此考虑借助旋转把这三边集中到一个三角形内解:如图2,作PAD60使ADAP,连接PD,CD,则PAD是等边三角形 ADAP3,ADPPAD60ABC是等边三角形ACAB,BAC60BAP ABPAC
8、DBPCD4, ADC在PCD中,PD3,PC5,CD4,PD2+CD2PC2PDC APBADCADP+PDC60+90150(2)如图3,在ABC中,ABBC,ABC90,点P是ABC内一点,PA1,PB2,PC3,求APB的度数(3)拓展应用如图(4),ABC中,ABC30,AB4,BC5,P是ABC内部的任意一点,连接PA,PB,PC,则PA+PB+PC的最小值为 25在平面直角坐标系xOy中,直线y4x+4与x轴,y轴分别交于点A,B,抛物线yax2+bx3a经过点A,将点B向右平移5个单位长度,得到点C(1)求点C的坐标;(2)求抛物线的对称轴;(3)若抛物线与线段BC恰有一个公共
9、点,结合函数图象,求a的取值范围参考答案与试题解析一选择题(共10小题)1下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是()ABCD【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解【解答】解:A、不是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项不合题意;B、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项不合题意;C、是轴对称图形,也是中心对称图形,故此选项符合题意;D、不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故此选项不合题意;故选:C2下列方程属于一元二次方程的是()A(x22)xx2Bax2+bx+c0Cx+5Dx20【分析】根据一元二次方程必须同时满足三个条件对四个选项进行逐一分析:整式方程,即等号两边都是
10、整式;只含有一个未知数;未知数的最高次数是2【解答】解:A、方程(x22)xx2中的x2可以被抵消,是一元一次方程,故本选项错误;B、方程ax2+bx+c0,须注明a0,故本选项错误;C、方程x+5分母含有未知数,是分式方程,故本选项错误;D、方程x20含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2,故此方程是一元二次方程,故本选项正确故选:D3平面直角坐标系内,点P(2,3)关于原点对称点的坐标是()A(3,2)B(2,3)C(2,3)D(2,3)【分析】根据“平面直角坐标系中任意一点P(x,y),关于原点的对称点是(x,y),即关于原点的对称点,横纵坐标都变成相反数”解答【解答】解:根据关于原点
11、对称的点的坐标的特点,点A(2,3)关于原点对称的点的坐标是(2,3)故选:D4二次函数y(x4)2+5的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是()A向上,直线x4,(4,5)B向上,直线x4,(4,5)C向上,直线x4,(4,5)D向下,直线x4,(4,5)【分析】根据二次函数的性质解题【解答】解:此式为二次函数的顶点式,因为a0,所以开口向上;对称轴为x4,顶点坐标可直接写出为(4,5)故选:A5将一元二次方程x24x70配方,所得的方程是()A(x2)211B(x2)23C(x+2)211D(x+2)23【分析】此题考查了配方法解一元二次方程,解题时要注意解题步骤的准确使用,把左边配成完全平方
12、式,右边化为常数【解答】解:x24x70x24x7x24x+47+4(x2)211故选:A6某厂一月份生产某机器100台,计划三月份生产144台设二、三月份每月的平均增长率为x,根据题意列出的方程是()A100(1+x)2144B100(1x)2144C144(1+x)2100D144(1x)2100【分析】设二,三月份每月平均增长率为x,根据一月份生产机器100台,三月份生产机器144台,可列出方程【解答】解:设二,三月份每月平均增长率为x,100(1+x)2144故选:A7如图,四边形ABCD内接于O,若BCD110,则BOD的度数为()A35B70C110D140【分析】根据圆内接四边形
13、的性质求出A,根据圆周角定理计算即可【解答】解:四边形ABCD内接于O,A180BCD70,由圆周角定理得,BOD2A140,故选:D8过O内一点P的最长弦长为10cm,最短弦长为8cm,那么OP的长为()A9BC6D3【分析】根据直径是圆中最长的弦,知该圆的直径是10cm;最短弦即是过点P且垂直于过点P的直径的弦;根据垂径定理即可求得CP的长,再进一步根据勾股定理,可以求得OP的长【解答】解:如图所示,CDAB于点P根据题意,得AB10cm,CD8cmCDAB,CPCD4cm根据勾股定理,得OP3(cm)故选:D9若函数yx2+2xb的图象与坐标轴有三个交点,则b的取值范围是()Ab1且b0
14、Bb1且b0Cb1且b0Db1且b0【分析】抛物线与x轴,y轴共有3个交点,必定与x轴有两个交点,与y轴的交点不能与x轴的交点重合,即不能为(0,0),于是考虑b24ac0,进而确定b的取值范围【解答】解:函数yx2+2xb的图象与坐标轴有三个交点,抛物线与x轴有两个交点,与y轴有一个交点,且与x轴、y轴的不能为(0,0),22+4b0且b0,解得:b1且b0,故选:A10我们知道,一元二次方程x21没有实数根,即不存在一个实数的平方等于1若我们规定一个新数“i”,使其满足i21(即方程x21有一个根为i)并且进一步规定:一切实数可以与新数进行四则运算,且原有运算律和运算法则仍然成立,于是有i
15、1i,i21,i3i2i(1)ii,i4(i2)2(1)21,从而对任意正整数n,我们可以得到i4n+1i4ni(i4)nii,i4n+21,i4n+3i,i4n1那么i+i2+i3+i4+i2012+i2013+i2019的值为()A0B1C1Di【分析】原式利用题中的新定义化简,四项结合计算即可得到结果【解答】解:由题意得,i1i,i21,i3i2i(1)ii,i4(i2)2(1)21,i5i4ii,i6i5i1,故可发现4次一循环,一个循环内的和为0,5043,i+i2+i3+i4+i2018+i2019i1i1故选:C二填空题(共6小题)11一元二次方程3x(x3)2x21化为一般形式
16、为x29x+10【分析】把方程化为ax2+bx+c0(a0)的形式即可【解答】解:去括号得,3x29x2x21,移项得,3x29x2x2+10,合并同类项得,x29x+10,故答案为x29x+1012在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A的坐标为(4,1),将OA绕原点逆时针方向旋转90得OB,则点B的坐标为(1,4)【分析】直接利用旋转的性质得出B点位置,进而得出答案【解答】解:如图所示:点B的坐标为:(1,4)故答案为:(1,4)13点A(2,y1)、B(3,y2)是二次函数yx22x+m的图象上两点,则y1与y2的大小关系为y1y2(填“”、“”、“”)【分析】抛物线开口向上,且对称轴为
17、直线x1,根据二次函数的图象性质:在对称轴的右侧,y随x的增大而增大【解答】解:二次函数的解析式为yx22x+m(x1)2+m1,该抛物线开口向上,且对称轴为直线:x1点A(2,y1)、B(3,y2)是二次函数yx22x+m的图象上两点,且123,y1y2故答案为:14在平面直角坐标系中,将抛物线yx2先向右平移2个单位,再向上平移2个单位,抛物线的解析式为y(x2)2+2【分析】先确定抛物线yx2的顶点坐标为(0,0),再通过点(0,0)向右平移2个单位,再向上平移2个单位得到点的坐标为(2,2),然后利用顶点式写出平移后得到的抛物线解析式【解答】解:抛物线yx2的顶点坐标为(0,0),把点
18、(0,0)向右平移2个单位,再向上平移2个单位得到点的坐标为(2,2),所以平移后得到的抛物线解析式为y(x2)2+2故答案为:y(x2)2+215如图,点A,B,C,D在O上,CAD30,ACD50,则ADB70【分析】直接利用圆周角定理以及结合三角形内角和定理得出ACBADB180CABABC,进而得出答案【解答】解:,CAD30,CADCAB30,DBCDAC30,ACD50,ABD50,ACBADB180CABABC18050303070故答案为:7016如图,在四边形ABCD中,ABC30,将DCB绕点C顺时针旋转60后,点D的对应点恰好与点A重合,得到ACE,若AB6,BC8,则B
19、D10【分析】连接BE,由将DCB绕点C顺时针旋转60后得到ACE,可得BDAE,BCE是等边三角形,可得CBE60,BE8,根据勾股定理可得AE的长度,即BD的长度【解答】解:如图:连接BE将DCB绕点C顺时针旋转60后得到ACEBCCE,BCE60BCE是等边三角形CBE60,BEBC8,BDAEABC30ABE90且AB6AE10BDAE10故答案为:10三解答题(共9小题)17选用适当的方法,解下列方程:(1)x22x30;(2)2x(x2)x2【分析】(1)用因式分解法解方程即可;(2)用因式分解法提公因式法进行解方程即可【解答】解:(1)原方程可变形为:(x3)(x+1)0,整理得
20、:x30或x+10,x13,x21;(2)移项得,2x(x2)(x2)0,提公因式得,(x2)(2x1)0,x20或2x10,x12,x218现将进货为40元的商品按50元售出时,就能卖出500件已知这批商品每件涨价1元,其销售量将减少10个问为了赚取8000元利润,同时尽量照顾到顾客的利益,售价应定为多少?这时应进货多少件?【分析】总利润销售量每个利润,设售价x元能赚得8000元的利润,应进货50010(x50)个,根据为了赚得8000元的利润,可列方程求解【解答】解:设售价x元能赚得8000元的利润,应进货50010(x50)个,由题意得:50010(x50)(x40)8000,解得:x1
21、60,x280(舍去),当x60时,进货50010(6050)400件,答:售价定为60元时应进货400件19如图,在平面直角坐标系中,ABC的三个顶点坐标分别为A(1,4)、B(3,3)、C(1,1)(每个小方格都是边长为一个单位长度的正方形)(1)请画出ABC关于原点对称的A1B1C1,并写出A1,B1,C1的坐标;(2)请画出ABC绕点B逆时针旋转90后的A2B2C2【分析】(1)利用关于原点对称的点的坐标特征写出A1,B1,C1的坐标,然后描点即可;(2)利用网格特点和旋转的性质画出A、C的对应点A2、C2即可【解答】解:(1)如图,A1B1C1为所作,点A1,B1,C1的坐标分别为(
22、1,4),(3,3),(1,1);(2)如图,A2B2C2为所作20如图,已知抛物线yx2+x6与x轴两个交点分别是A、B(点A在点B的左侧)(1)求A、B的坐标;(2)利用函数图象,写出y0时,x的取值范围【分析】(1)令y0代入yx2+x6即可求出x的值,此时x的值分别是A、B两点的横坐标(2)根据图象可知:y0是指x轴下方的图象,根据A、B两点的坐标即可求出x的范围【解答】21解:(1)令y0,即x2+x60解得x3或x2,点A在点B的左侧点A、B的坐标分别为(3,0)、(2,0)(2)当y0时,x的取值范围为:3x221如图,O的直径AB为10cm,弦AC为6cm,(1)用尺规作图画出
23、ACB的平分线交O于点D(不要写作法,保留作图痕迹)(2)分别连接点AD和BD,求弦BC、AD、BD的长【分析】(1)作ACB的平分线交O于点D(2)根据勾股定理计算BC和AD、BD的长【解答】解:(1)如图1,CD即为所求;(2)如图2,AB是直径,ACBADB90,在RtABC中,AB2AC2+BC2,AB10cm,AC6cm,BC2AB2AC21026264,BC8cm,又CD平分ACB,ACDBCD,ADBD,又在RtABD中,AD2+BD2AB2,AD2+BD2102,ADBD522参与两个数学活动,再回答问题:活动:观察下列两个两位数的积(两个乘数的十位上的数都是9,个位上的数的和
24、等于10),猜想其中哪个积最大?9199,9298,9397,9496,9595,9694,9793,9892,9991活动:观察下列两个三位数的积(两个乘数的百位上的数都是9,十位上的数与个位上的数组成的数的和等于100),猜想其中哪个积最大?901999,902998,903997,997903,998902,999901(1)分别写出在活动、中你所猜想的是哪个算式的积最大?(2)对于活动,请用二次函数的知识证明你的猜想【分析】(1)的结果可根据整数乘法的运算法则,计算出大小在比较;的结果由的规律可得结果;(2)可将中的算式设为(90+x)(100x)的形式(x1,2,3,4,5,6,7,
25、8,9),利用二次函数的最值证得结论【解答】(1)解:91999009,92989016,93979021,94969024,95959025,9595的积最大;由中规律可得950950的积最大;(2)证明:将中的算式设为(90+x)(100x)(x1,2,3,4,5,6,7,8,9),(90+x)(100x)x2+10x+9000(x5)2+9025a0,当x5时,有最大值9025,即9595的积最大23已知关于x的一元二次方程x2x+m0有两个实数根(1)若m为正整数,求此方程的根(2)设此方程的两个实数根为a、b,若ya(a1)2b2+2b+1,求y的取值范围【分析】(1)根据方程的系数
26、结合根的判别式0,即可得出关于m的一元一次不等式,解之可得出m的取值范围,结合m为正整数可得出m的值,将其代入原方程,再利用配方法解该方程,即可得出结论;(2)根据一元二次方程的解,可得出a2am,b2bm,将其代入ya(a1)2b2+2b+1a2a2(b2b)+1中,可得出ym+1,再结合m1,即可得出y的取值范围【解答】解:(1)关于x的一元二次方程x2x+m0有两个实数根,(1)241m0,解得:m1又m为正整数,m1当m1时,原方程为x2x+0,即(x)20,解得:x1x2(2)此方程的两个实数根为a,b,a2am,b2bm,ya(a1)2b2+2b+1a2a2(b2b)+1m+1又m
27、1,y24(1)如图1,点P是等边ABC内一点,已知PA3,PB4,PC5,求APB的度数分析:要直接求A的度数显然很因难,注意到条件中的三边长恰好是一组勾股数,因此考虑借助旋转把这三边集中到一个三角形内解:如图2,作PAD60使ADAP,连接PD,CD,则PAD是等边三角形PDADAP3,ADPPAD60ABC是等边三角形ACAB,BAC60BAPCADABPACDBPCD4,APBADC在PCD中,PD3,PC5,CD4,PD2+CD2PC2PDC90APBADCADP+PDC60+90150(2)如图3,在ABC中,ABBC,ABC90,点P是ABC内一点,PA1,PB2,PC3,求AP
28、B的度数(3)拓展应用如图(4),ABC中,ABC30,AB4,BC5,P是ABC内部的任意一点,连接PA,PB,PC,则PA+PB+PC的最小值为【分析】(1)根据全等三角形的判定和性质解决问题即可(2)如图3中,把PBC绕B点逆时针旋转90得到DBA,利用勾股定理的逆定理证明APD90即可解决问题(3)如图4中,先由旋转的性质得出ABPDBE,则ABPDBE,BDAB4,PBE60,BEPE,APDE,再证明DBC90,然后在RtBCD中,由勾股定理求出CD的长度,即为PA+PB+PC的最小值;【解答】解:(1)如图2,作PAD60使ADAP,连接PD,CD,则PAD是等边三角形PDADA
29、P3,ADPPAD60ABC是等边三角形ACAB,BAC60,BAPCAD,ABPACD(SAS)BPCD4,APBADC在PCD中,PD3,PC5,CD4,PD2+CD2PC2PDC90APBADCADP+PDC60+90150故答案为:PD,CAD,APB,90(2)解:ABC90,BCAB,把PBC绕B点逆时针旋转90得到DBA,如图,ADPC3,BDBP2,PBD90DPPB2,DPB45,在APD中,AD3,PD2,PA1,12+(2)232,AP2+PD2BD2,APD为直角三角形,APD90,APBAPD+DPB90+45135(3)解:如图4中,将ABP绕着点B逆时针旋转60,
30、得到DBE,连接EP,CD,ABPDBEABPDBE,BDAB4,PBE60,BEPE,APDE,BPE是等边三角形EPBPAP+BP+PCPC+EP+DE当点D,点E,点P,点C共线时,PA+PB+PC有最小值CDABC30ABP+PBCDBE+PBC30DBC90CD,故答案为25在平面直角坐标系xOy中,直线y4x+4与x轴,y轴分别交于点A,B,抛物线yax2+bx3a经过点A,将点B向右平移5个单位长度,得到点C(1)求点C的坐标;(2)求抛物线的对称轴;(3)若抛物线与线段BC恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围【分析】(1)根据坐标轴上点的坐标特征可求点B的坐标,根据平移
31、的性质可求点C的坐标;(2)根据坐标轴上点的坐标特征可求点A的坐标,进一步求得抛物线的对称轴;(3)结合图形,分三种情况:a0;a0,抛物线的顶点在线段BC上;进行讨论即可求解【解答】解:(1)与y轴交点:令x0代入直线y4x+4得y4,B(0,4),点B向右平移5个单位长度,得到点C,C(5,4);(2)与x轴交点:令y0代入直线y4x+4得x1,A(1,0),点B向右平移5个单位长度,得到点C,将点A(1,0)代入抛物线yax2+bx3a中得0ab3a,即b2a,抛物线的对称轴x1;(3)抛物线yax2+bx3a经过点A(1,0)且对称轴x1,由抛物线的对称性可知抛物线也一定过A的对称点(3,0),a0时,如图1,将x0代入抛物线得y3a,抛物线与线段BC恰有一个公共点,3a4,a,将x5代入抛物线得y12a,12a4,a,a;a0时,如图2,将x0代入抛物线得y3a,抛物线与线段BC恰有一个公共点,3a4,a;当抛物线的顶点在线段BC上时,则顶点为(1,4),如图3,将点(1,4)代入抛物线得4a2a3a,解得a1综上所述,a或a或a1