1、辽宁师大附中 高三数学理科 第 1 页 共 9 页 辽宁师大附中 2020 届高三年级第二次考试 数学试题 考试时间：120 分钟 第第 卷卷 选择题（共选择题（共 60 分）分） 一、选择题：本题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一个是正确的。 1. 已知), 0( U,0sin|xxA,1) 1(log| 4 xxB, )(BCA U （ ） A. 30| xx B.1|xx C. 0| xx D.31|xx 2. 设复数1zi ，则 3 i z 等于 （ ） A 11 22 i B 11 22 i C 11 22 i D 11 22 i 3.
2、已知 010 2 1 :1,log; :, 2 x pxxqxR ex ，则下列说法中正确的是（ ） A. pq 是假命题 B. pq 是真命题 C. p(q)是真命题 D. p(q)是假命题 4.设 3 2 log 3 1 a ， 3 1 log 2 1 b ， 3 . 0 2 1 c ,则 （ ） A.abc B.cab C.acb D.cba 5. 已知数列 n a是等比数列，且 25 1 2, 4 aa，则 12231nn a aa aa a ( ) A 16(1 4 ) n B 32 (1 4 ) 3 n C 16(1 2 ) n D 32 (1 2 ) 3 n 6.在ABC中，内角
3、 A，B，C 所对的边分别为, ,a b c.已知BaAbcossin3 辽宁师大附中 高三数学理科 第 2 页 共 9 页 =cb2,则 A= ( ) A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 3 7. 已知x,y满足条件 0 20 x yx xyk （k 为常数） ， 若目标函数3zxy的最大值为 8， 则 k= ( ) A. 16 B. 6 C. 8 3 D. 6 8.已知某几何体的三视图如图所示，若网格纸上小正方形的边 长为 1，则该几何体的体积为 ( ) A. 16 3 B. 16 2 3 C.16 D. 16 2 9. 已知椭圆 22 22 10 xy ab ab 的左、右焦点分别为
4、 1 F， 2 F，点P在椭圆上，O为坐 标原点，若 12 1 2 OPFF，且 2 12 PF PFa，则该椭圆的离心率为 （ ） A 3 4 B 3 2 C 1 2 D 2 2 10.已知向量a =(2cos,2sin)，b =(3cos,3sin)，若a 与b 的夹角为 60 o，则 直线 2xcos+2ysin+1=0 与圆(x-cos) 2+(y-sin ) 2=1 的位置关系是 （ ） A. 相交但不过圆心 B. 相交且过圆心 C.相切 D.相离 11. 若不等式 m 1 2x 2 1x在 x(0,1)时恒成立，则实数 m 的最大值为 ( ) A9 B.9 2 C5 D. 5 2
5、12.已知函数( ) 2 x e e f xex (e 为自然对数的底数)，( )ln4g xxaxea.若存 在实数 12 ,x x，使得 12 ( )()1 2 e f xg x，且 2 1 1 | x e x ，则实数a的最大值为（ ） A. 2 e B. 2 5 ee C. 5 2e D. 1 辽宁师大附中 高三数学理科 第 3 页 共 9 页 第第 卷卷 非选择题（共非选择题（共 90 分）分） 二、填空题：本题包括二、填空题：本题包括 4 个小题，每题个小题，每题 5 分，共分，共 20 分。分。 13.已知函数 cos1 21 x x f xa x 是奇函数，则实数a的值_ _.
6、 14. 两条直线 axy4=0 与 x y2=0 相交于第一象限，则实数 a 的取值范围 是 . 15.在四面体ABCD中，2ABACADBCBD，若四面体ABCD的外 接球的体积 8 2 3 V，则CD _ 16. 设数列an(n1，nN N)满足a12，a26，且(an2an1)(an1an)2，若x 表示不超过x的最大整数，则 201920192019 201921 aaa _ _ _ 三、解答题：本题包括三、解答题：本题包括 6 个小题个小题，共，共 70 分。分。 17. (10 分)设函数 22 sin 2sincos 6 f xxxx . （1）求 fx的单调递增区间； （2）
7、若角A满足 1fA ， 3a ， ABC的面积为 3 2 ，求bc的值. 18.（12 分） 已知函数 f(x)(x2)|x2|. (1)若不等式 f(x)a 在3,3上恒成立，求实数 a 的取值范围； (2)当0a时，解关于x的不等式 f(x)ax 19.（12 分）设数列 n a的前 n 项和 n S满足: n Sn n a2n（n1） 等比数列 n b的 前 n 项和为 n T，公比为 1 a，且 5 T 3 T2 5 b （1）求数列 n a的通项公式； （2）设数列 1 1 nn a a 的前 n 项和为 n M，求证： 1 5 n M 1 4 辽宁师大附中 高三数学理科 第 4 页
8、 共 9 页 20.（12 分）如图所示的几何体中，,2,2 2,BEBC EAAC BCAC 45 ,/ /,2ACBADBC BCAD (1)求证：AE 平面 ABCD； (2)若60ABE，点 F 在 EC 上，且满足 EF=2FC， 求二面角 FADC 的余弦值 21. （12 分）椭圆 C： 22 22 1(0) xy ab ab 的长轴是短轴的两倍，点 1 P3, 2 在椭 圆上.不过原点的直线l与椭圆相交于 A、 B 两点， 设直线 OA、l、 OB 的斜率分别为 1 k、k、 2 k，且 1 k、k、 2 k恰好构成等比数列， （1）求椭圆 C 的方程. （2）试判断 22 O
9、AOB是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由？ 22.（12 分）已知函数 4ln a f xaxx x 的两个极值点 12 ,x x满足 12 xx ，且 2 3ex，其中e为自然对数的底数 （）求实数a的取值范围； （）求 21 f xf x 的取值范围 辽宁师大附中 高三数学理科 第 5 页 共 9 页 辽宁师大附中 2020 届高三第二次考试 数学答案 一、选择题：一、选择题：1-5 ADDCB 6-10 CBADC 11-12 BA 二、填空题：二、填空题：13. 1 2 ； 14. 1a2 ； 15. 2 2 16.2018. 三、解答题：三、解答题： 17.17.(10
10、(10 分分) ) （2）由条件 sin 21 6 fAA ， 0 2 A ， 5 2 666 A ，2 62 A ，解得 3 A . 13 sin 22 SbcA，2bc . 18.18.（1212 分）分） 解： （1） 3 , 2 (4 2 , 34 )( 2 2 xx xx xf，则5)( max xf，所以5a 4 分 （2）当2x时，4)( 2 xxfax，设4)( 2 axxxg，02)2(ag, 令 10 分 5 分 辽宁师大附中 高三数学理科 第 6 页 共 9 页 0)(xg，解得2 2 16 2 1 aa x，0 2 16 2 1 aa x（舍）则不等式解为 2 16 2
11、 2 aa x 6 分 当2x时，axxxf 2 4)(，不等式为04 2 axx，设4)( 2 axxxp， 02) 2( ap 令0)(xp，解得2 2 16 , 2 16 2 2 2 1 aa x aa x 8 分 则不等式解为 2 16 2 aa x或2 2 16 2 x aa 综上不等式解集为 2 16 , 2 16 2 16 ,( 222 aaaaaa 12 分 19.19. 解： （1） 535 2bTT 53543 2bTbbT 54 bb 1 1 a 2 分 因为 1-2-nnnaS nn 2-1-2-1-, 2 1 -1 - nnanSn nn 1-4-1-, 2 1 -
12、nannaan nnn 即2n时，有4- 1 - nn aa n a为等差数列，公差为 4，首项为 13-4nan 6 分 （2） 14n 1 - 3-4 1 4 1 143-4 11 1 nnnaa nn 8 分 14 1 - 3-4 1 . 13 1 - 9 1 9 1 - 5 1 5 1 -1 4 1 nn Mn 4 1 14 1 -1 4 1 n 10 分 1n时，易知 n M为递增数列， 5 1 n M 即 4 1 5 1 n M 12 分 辽宁师大附中 高三数学理科 第 7 页 共 9 页 20.20.（1212 分）分） 解： （1）在ABC中，2,2 2,45 ,BCACACB
13、 由余弦定理可得 222 2cos454ABBCACBCAC ，所以2AB .2 分 所以 222, ACABBC所以ABC是直角三角形，ABBC. 又,BEBC ABBEB，所以BC 平面 ABE. 4 分 因为AE 平面 ABE，所以BCAE，因为,EAAC ACBCC, 所以AE 平面 ABCD. 6 分 （2）由（1）知，BC 平面 ABE，所以平面BEC 平面 AEB，在 平面 ABE 中，过点 B 作BzBE，则Bz 平面BEC，如图，以B为 原点，BE,BC 所在直线分别为, x y轴建立空间直角坐标系Bxyz，则 0,0,0 ,0,2,0 ,4,0,0 ,1,0, 3 ,BCE
14、A1,1, 3D, 因为2EFFC，所以 4 4 ,0 3 3 F ，易知 1 4 0,1,0 ,3 3 3 ADAF , 设平面 ADF 的法向量为, ,mx y z， 则 0, 0, AD n AF n 即 0, 14 30,3,0,9 33 y xyzzyx 令则， 所以 9,0, 3n 为平面 ADF 的一个法向量， 由（1）知EA 平面 ABCD，所以 3,0, 3EA 为平面ABCD的一个法 向量. 设二面角FADC的平面角为， 由图易知为锐角，则 242 7 cos 7 2 32 21 EA n EAn ， 所以二面角FADC的余弦值为 2 7 7 . 12 分 辽宁师大附中 高
15、三数学理科 第 8 页 共 9 页 21. 解: 所以； 所 所以是定值为 5； 22. 解： （） 2 22 44 ( ) aaxxa fxa xxx ， 2 分 由题意知 12 xx，即为方程 2 40axxa 的两个根. 由韦达定理： 12 12 4 1 xx a xx ，所以0a 且 1 01x. 令 2 4S xaxxa， 4 分 8 分 12 分 辽宁师大附中 高三数学理科 第 9 页 共 9 页 则由 2 3ex可得 30 0 S S e ，解得 2 64 51 e a e . 6 分 （） 212 2 ()() a f xf xax x 221 1 4ln4ln a xaxx
16、x ， 1 2 1 x x 212 2 ()() a f xf xax x 2 2 22 1 4ln4ln a xax xx 22 2 1 2 ()8lna xx x ,由（）知 2 2 2 4 1 x a x ， 8 分 代入 2 21 2 2 8 ()() 1 x f xf x x 22 2 1 ()8lnxx x 2 2 2 2 2 8(1) 8ln 1 x x x ， 令 22 2 (,9)txe，于是可得 88 ( )4ln 1 t h tt t ， 8 分 故 2 164 ( ) (1) h t tt 22 22 4(21)4(1) 0 (1)(1) ttt t tt t ( )h t在 2 (,9)e上单调递减， 21 2 3216 ()()(8ln3,) 51 f xf x e .12 分
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