1、章末检测(三)(时间：120分钟满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中的横线上)1.已知点(3，1)和点(4，6)在直线3x2ya0的两侧，那么实数a的取值范围为_.解析根据题意知(92a)(1212a)0，即(a7)(a24)0，解得7a24.答案(7，24)2.若x，y满足则2xy的最大值为_.解析不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.令z2xy，则y2xz，作直线2xy0并平移，当直线过点A时，截距最大，即z取得最大值，由得所以A点坐标为(1，2)，可得2xy的最大值为2124.答案43.不等式x22x的解集是_.解析因为x22x，所以x22
2、x0，解得x0或x2，所以不等式x22x的解集是x|x0，或x2.答案x|x0，或x24.已知x，y满足且目标函数z2xy的最小值为1，则实数a的值是_.解析依题意，不等式组所表示的可行域如图所示(阴影部分)，观察图象可知，当目标函数z2xy过点B(a，a)时，zmin2aa3a，因为目标函数z2xy的最小值为1，所以3a1，解得a.答案5.已知一元二次不等式f(x)0的解集为_.解析因为一元二次不等式f(x)0的解集为.由f(2x)0，得2x2或2x1或x0的解集为x|x1.答案x|x16.已知函数f(x)若f(a)f(a)2f(1)，则实数a的取值范围是_.解析f(a)f(a)2f(1)或
3、即或解得0a1，或1a0，故1a1.答案1，17.如果关于x的不等式5x2a0的正整数解是1，2，3，4，那么实数a的取值范围是_.解析由5x2a0，得x，而正整数解是1，2，3，4，则45，所以80a125.答案80，125)8.若x，y满足不等式组则的最小值是_.解析不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，表示原点(0，0)到此区域内的点P(x，y)的距离.显然该距离的最小值为原点到直线x2y20的距离.故最小值为.答案9.若实数x，y满足若x2ym恒成立，则实数m的取值范围是_.解析不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.设zx2y，当直线yxz经过图中的点A时，z取得最小值.由得所
4、以A(2，3)，所以z的最小值zmin2234，所以实数m的取值范围是(，4.答案(，410.若，则y的取值范围为_.解析，sin2，cos2(0，1)，y(sin2cos2)1010216，当且仅当，即时等号成立，y的最小值为16.答案16，)11.设奇函数f(x)在(0，)上为增函数，且f(2)0，则不等式0，在(，2)和(0，2)上f(x)0时，由0，可得f(x)f(x)2f(x)0，结合图象可知(0，2)符合；当x0时，由0，结合图象可知(2，0)符合.答案(2，0)(0，2)12.已知x0，y0，且1，若x2ym22m恒成立，则实数m的取值范围为_.解析记tx2y，由不等式恒成立可得
5、m22m0，y0，所以2 4(当且仅当，即x2y时取等号).所以t4448，即tmin8.故m22m8，即(m2)(m4)0，解得4m2，则tan Btan C1，m2.又在三角形中有tan Atan Btan Ctan(BC)tan Btan Cmm242 48，当且仅当m2，即m4时取等号，故tan Atan Btan C的最小值为8.答案8二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分14分)若不等式(1a)x24x60的解集是x|3x0；(2)若不等式ax2bx30的解集为R，求实数b的取值范围.解(1)由题意知1a0，即2x2x
6、30，解得x，所以所求不等式的解集为.(2)由(1)知a3，所以不等式ax2bx30，即为3x2bx30，若此不等式的解集为R，则b24330，所以6b6，所以实数b的取值范围是6，6.16.(本小题满分14分)给出的平面区域是ABC内部及边界(如图中阴影部分所示)，若目标函数zaxy(a0)取得最大值的最优解有无穷多个.(1)求a的值；(2)求z的最大值.解(1)直线zaxy(a0)是斜率为a，在y轴上的截距为z的直线族，从图上可以看出，当a小于直线AC的斜率时，目标函数zaxy(a0)取得最大值的最优解是(5，2)；当a大于直线AC的斜率时，目标函数zaxy(a0)取得最大值的最优解是(1
7、，4)；只有当a等于直线AC的斜率时，目标函数zaxy(a0)取得最大值的最优解才有无穷多个，线段AC上的所有点都是最优解.直线AC的斜率为，所以a.(2)a时，yxz过点C时，z有最大值，z的最大值为14.17.(本小题满分14分)已知函数f(x)axbx(a0，b0，a1，b1).设a2，b.(1)求方程f(x)2的根；(2)若对任意xR，不等式f(2x)mf(x)6恒成立，求实数m的最大值.解(1)由已知可得2x2，即2x2.(2x)222x10，解得2x1，x0.(2)f(x)2x2x2x，令t2x2x，则t2.又f(2x)22x22xt22，故f(2x)mf(x)6可化为t22mt6
8、，即mt，又t2，t2 4(当且仅当t2时等号成立)，m4，即m的最大值为4.18.(本小题满分16分)已知甲厂以x kg/h的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1x10)，每小时可获得的利润是100元.(1)要使生产该产品2 h获得的利润不低于3 000元，求x的取值范围；(2)要使生产900 kg该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.解(1)根据题意，2003 000，整理得5x140，即5x214x30，又1x10，可解得3x10.即要使生产该产品2 h获得的利润不低于3 000元，x的取值范围是3，10.(2)设利润为y元，则y10091049104，故当x
9、6时，ymax457 500元.即甲厂以6 kg/h的生产速度生产900 kg该产品获得的利润最大，最大利润为457 500元.19.(本小题满分16分)某市对城市路网进行改造，拟在原有a个标段(注：一个标段是指一定长度的机动车道)的基础上，新建x个标段和n个道路交叉口，其中n与x满足nax5.已知新建一个标段的造价为m万元，新建一个道路交叉口的造价是新建一个标段的造价的k倍.(1)写出新建道路交叉口的总造价y(万元)与x的函数关系式；(2)设P是新建标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比.若新建的标段数是原有标段数的20%，且k3.问：P能否大于，说明理由.解(1)依题意得ymknmk(a
10、x5)，xN*.(2)方法一依题意x0.2a，所以P，则ka220a25k0.因为k3，所以100(4k2)0，不等式ka220a25k0无解，假设不成立.P不可能大于.20.(本小题满分16分)已知关于x的不等式ax2(a2)x20，aR.(1)已知不等式的解集为(，12，)，求实数a的值；(2)若不等式ax2(a2)x22x23对xR恒成立，求实数a的取值范围.(3)解关于x的不等式ax2(a2)x20.解(1)因为ax2(a2)x20的解集为(，12，)，所以方程ax2(a2)x20的两根为x1或x2且a0，所以12，解得a1.(2)若不等式ax2(a2)x22x23对xR恒成立，则(a2)x2(a2)x10对xR恒成立.因此，当a2时，不等式变为10，显然成立，当a2时，得20时，1，所以(x1)(ax2)0x1或x；当a2时，1，所以(x1)(ax2)01x；当a2时，1，所以(x1)(ax2)0(x1)20x1；当2a，所以(x1)(ax2)0x1，综上可得，当a0时，原不等式的解集为x|x1；当a0时，原不等式的解集为；当2a0时，原不等式的解集为；当a2时，原不等式的解集为x|x1；当a2时，原不等式的解集为.
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