1、习题课导数的应用学习目标1.能利用导数研究函数的单调性.2.理解函数的极值、最值与导数的关系.3.掌握函数的单调性、极值与最值的综合应用知识点一函数的单调性与其导数的关系定义在区间(a，b)内的函数yf(x)f(x)的正负f(x)的单调性f(x)0单调递增f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值(2)如果在x0附近的左侧f(x)0，那么f(x0)是极小值知识点三函数yf(x)在a，b上最大值与最小值的求法1求函数yf(x)在(a，b)内的极值2将函数yf(x)的极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值1函数yxln x在上是减函数()2若
2、函数yaxln x在内单调递增，则a的取值范围为(2，)()3设函数f(x)x(xc)2在x2处有极大值，则c2.()4函数f(x)x(1x2)在0,1上的最大值为.()类型一导数与函数单调性命题角度1讨论函数单调性例1已知函数f(x)ln x，g(x)f(x)ax2bx，其中g(x)的函数图象在点(1，g(1)处的切线平行于x轴(1)确定a与b的关系；(2)若a0，试讨论函数g(x)的单调性解(1)依题意得g(x)ln xax2bx，则g(x)2axb.由函数g(x)的图象在点(1，g(1)处的切线平行于x轴得g(1)12ab0，b2a1.(2)由(1)得g(x).函数g(x)的定义域为(0
3、，)，当a0时，g(x).由g(x)0得0x1，由g(x)0得x1，即函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减；当a0时，令g(x)0得x1或x，若1，即a，由g(x)0得x1或0x，由g(x)0得x1，即函数g(x)在，(1，)上单调递增，在上单调递减；若1，即0a，由g(x)0得x或0x1，由g(x)0得1x，即函数g(x)在(0,1)，上单调递增，在上单调递减；若1，即a，在(0，)上恒有g(x)0，即函数g(x)在(0，)上单调递增综上可得，当a0时，函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减；当0a0，故f(x)在(0，)上单调递增；当a0时，f(x)0
4、，故f(x)在(0，)上单调递减；当0a1时，令f(x)0，解得x，则当x时，f(x)0，故f(x)在上单调递减，在上单调递增综上所述，当a1时，f(x)在(0，)上单调递增；当a0时，f(x)在(0，)上单调递减；当0a1时，f(x)在上单调递减，在上单调递增命题角度2由函数单调性求参数范围例2已知函数f(x)x3ax1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)在R上为增函数，求实数a的取值范围解(1)f(x)3x2a.当a0时，f(x)0，所以f(x)在(，)上为增函数当a0时，令3x2a0得x；当x或x时，f(x)0；当x时，f(x)0.因此f(x)在，上为增函数，在上为减函数综上可
5、知，当a0时，f(x)在R上为增函数；当a0时，f(x)在，上为增函数，在上为减函数(2)因为f(x)在(，)上是增函数，所以f(x)3x2a0在(，)上恒成立，即a3x2对xR恒成立因为3x20，所以只需a0.又因为a0时，f(x)3x20，f(x)x31在R上是增函数，所以a0，即a的取值范围为(，0引申探究1函数f(x)不变，若f(x)在区间(1，)上为增函数，求a的取值范围解因为f(x)3x2a，且f(x)在区间(1，)上为增函数，所以f(x)0在(1，)上恒成立，即3x2a0在(1，)上恒成立，所以a3x2在(1，)上恒成立，所以a3，即a的取值范围为(，32函数f(x)不变，若f(
6、x)在区间(1,1)上为减函数，试求a的取值范围解由f(x)3x2a0在(1,1)上恒成立，得a3x2在(1,1)上恒成立因为1x1，所以3x23，所以a3.即当a的取值范围为3，)时，f(x)在(1,1)上为减函数3函数f(x)不变，若f(x)的单调递减区间为(1,1)，求a的值解由例题可知，f(x)的单调递减区间为，1，即a3.4函数f(x)不变，若f(x)在区间(1,1)上不单调，求a的取值范围解f(x)x3ax1，f(x)3x2a.由f(x)0，得x(a0)f(x)在区间(1,1)上不单调，01，得0a3，即a的取值范围为(0,3)反思与感悟f(x)为(a，b)上的增函数的充要条件是对
7、任意的x(a，b)都有f(x)0且在(a，b)内的任一非空子区间上f(x)0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解跟踪训练2已知函数f(x)x2ax在上是增函数，求a的取值范围解因为f(x)x2ax在上是增函数，故f(x)2xa0在上恒成立，即a2x在上恒成立令h(x)2x，则h(x)2，当x时，h(x)0，则h(x)为减函数，所以h(x)h3.所以a3.故a的取值范围是3，)类型二利用导数研究函数的极值与最值例3已知函数f(x)x3ax2b的图象上一点P(1,0)，且在点P处的切线与直线3xy0平行(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在区间0，t(0t3)上的最大值和最小值
8、；(3)在(1)的结论下，关于x的方程f(x)c在区间1,3上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围解(1)因为f(x)3x22ax，曲线在点P(1,0)处的切线斜率为f(1)32a，即32a3，a3.又函数过(1,0)点，即2b0，b2.所以a3，b2，f(x)x33x22.(2)由f(x)x33x22，得f(x)3x26x.由f(x)0，得x0或x2.当0t2时，在区间(0，t)上，f(x)0，f(x)在0，t上是减函数，所以f(x)maxf(0)2，f(x)minf(t)t33t22.当2t3时，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x0(0,2)2(2，t)tf(x)00f(
9、x)22t33t22f(x)minf(2)2，f(x)max为f(0)与f(t)中较大的一个因为f(t)f(0)t33t2t2(t3)0，所以f(x)maxf(0)2.(3)令g(x)f(x)cx33x22c，则g(x)3x26x3x(x2)当x1,2)时，g(x)0.要使g(x)0在1,3上恰有两个相异的实根，则解得2c0.即实数c的取值范围为(2,0反思与感悟(1)求极值时一般需确定f(x)0的点和单调性，对于常见连续函数，先确定单调性即可得极值点，当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点(2)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断，只需要直
10、接与端点的函数值比较即可获得跟踪训练3已知函数f(x)ax3(a1)x248(a2)xb的图象关于原点成中心对称(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间及极值；(3)当x1,5时，求函数的最值解(1)函数f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)是奇函数，f(x)f(x)，即ax3(a1)x248(a2)xbax3(a1)x248(a2)xb，于是2(a1)x22b0恒成立，解得a1，b0.(2)由(1)得f(x)x348x，f(x)3x2483(x4)(x4)，令f(x)0，得x14，x24；令f(x)0，得4x0，得x4.f(x)的单调递减区间为(4,4)，单调递增区间为(，4)和
11、(4，)，f(x)极大值f(4)128，f(x)极小值f(4)128.(3)由(2)知，函数在1,4上单调递减，在4,5上单调递增，则f(4)128，f(1)47，f(5)115，函数的最大值为47，最小值为128.1已知函数f(x)x33axa在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为_答案(0,1)解析f(x)3x23a3(x2a)，显然a0，f(x)3(x)(x)，由已知条件01，解得0a1.2已知f(x)2x36x2m(m为常数)在2,2上有最大值3，则此函数在2,2上的最小值为_答案37解析f(x)6x212x6x(x2)，f(x)在x0,2上单调递减，在2,0上单调递增，f(x)的最
12、大值为f(0)m3，f(x)的最小值为f(2)1624337.3已知函数f(x)在(2，)内单调递减，则实数a的取值范围为_答案解析因为f(x)，所以f(x).由函数f(x)在(2，)内单调递减，知f(x)0在(2，)内恒成立，即0在(2，)内恒成立，因此a.当a时，f(x)，此时函数f(x)为常函数，故a不符合题意，舍去故实数a的取值范围为.4已知a，b为正实数，函数f(x)ax3bx2x在0,1上的最大值为4，则f(x)在1,0上的最小值为_答案解析因为函数f(x)ax3bx2x在0,1上的最大值为4，所以函数g(x)ax3bx在0,1上的最大值为2，而g(x)是奇函数，所以g(x)在1,0上的最小值为2，故f(x)在1,0上的最小值为221.5已知aR，且函数yexax(xR)有大于零的极值点，则实数a的取值范围为_答案(，1)解析因为yexax，所以yexa.令y0，即exa0，则exa，即xln(a)，又因为x0，所以a1，即a1.导数作为一种重要的工具，在研究函数中具有重要的作用，例如函数的单调性、极值与最值等问题，都可以通过导数得以解决不但如此，利用导数研究得到函数的性质后，还可以进一步研究方程、不等式等诸多代数问题，所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方法
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