1、1怎样解逻辑用语问题1利用集合理清关系充分(必要)条件是高中学段的一个重要概念，并且是理解上的一个难点要解决这个难点，将抽象的概念用直观、形象的图形表示出来，看得见、想得通，才是最好的方法下面通过使用集合模型对充要条件的外延与内涵作了直观形象的解释，实践证明效果较好集合模型解释如下：A是B的充分条件，即AB.(如图1)A是B的必要条件，即BA.(如图2)A是B的充要条件，即AB.(如图3)A是B的既不充分又不必要条件，即AB或A，B既有公共元素也有非公共元素(如图4)或图4例1设集合A，B是全集U的两个子集，则AB是(UA)BU的_条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要
2、”)解析当AB时，如图1所示，则(UA)BU成立；当AB时，如图2所示，则(UA)B(UB)BU成立，即当(UA)BU成立时，可有AB.故AB是(UA)BU的充分不必要条件答案充分不必要2抓住量词，对症下药全称命题与存在性命题是两类特殊的命题，这两类命题的否定又是这部分内容中的重要概念，解决有关此类命题的题目时一定要抓住决定命题性质的量词，理解其相应的含义，从而对症下药例2(1)已知命题p：“任意x1,2，x2a0”与命题q：“存在xR，x22ax2a0”都是真命题，则实数a的取值范围为_(2)已知命题p：“存在x1,2，x2a0”与命题q：“存在xR，x22ax2a0”都是真命题，则实数a的
3、取值范围为_解析(1)将命题p转化为“当x1,2时，(x2a)min0”，即1a0，即a1.由命题q知，方程有解，即(2a)24(2a)0，解得a1或a2.综上所述，a1.(2)命题p转化为“当x1,2时，(x2a)max0”，即4a0，即a4.命题q：a1或a2.综上所述，a1或2a4.答案(1)(，1(2)(，12,4点评认真比较两题就会发现，两题形似而神异，所谓失之毫厘，谬之千里，需要我们抓住这类问题的本质量词，有的放矢3挖掘等价转化思想，提高解题速度在四种命题的关系、充要条件、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词中，时时刻刻渗透着等价转化思想，例如互为逆否命题的两个命题(原命题与逆否命
4、题或逆命题与否命题)一定同真或同假，它们就是等价的；但原命题与逆命题不等价，即原命题为真，其逆命题不一定为真例3设p：q：x2y2r2 (r0)，若q是綈p的充分不必要条件，求r的取值范围分析“q是綈p的充分不必要条件”等价于“p是綈q的充分不必要条件”设p，q对应的集合分别为A，B，则可由ARB出发解题解设p，q对应的集合分别为A，B，将本题背景放到直角坐标系中，则点集A表示平面区域，点集RB表示到原点距离大于r的点的集合，即圆x2y2r2外的点的集合ARB表示区域A内的点到原点的最近距离大于r，直线3x4y120上的点到原点的最近距离大于等于r.原点O到直线3x4y120的距离为d，r的取
5、值范围为00)在p：所对应的区域的外部，也是可以解决的但以上解法将“q是綈p的充分不必要条件”等价转化为“p是綈q的充分不必要条件”，更好地体现了等价转化思想2判断条件四策略1定义法定义法是判断充要条件最基本、最适用的方法步骤如下：(1)分清条件与结论(p与q)；(2)找推式：即判断pq及qp的真假；(3)下结论：p是q的充分不必要条件，p是q的必要不充分条件，p是q的充要条件，p是q的既不充分又不必要条件例1设集合Mx|x2，Px|x3，那么“xM或xP”是“xPM”的_条件解析条件p：xM或xP；结论q：xPM.若xM，则x不一定属于P，即x不一定属于PM，所以pq；若xPM，则xM且xP
6、，所以qp.综上可知，“xM或xP”是“xPM”的必要不充分条件答案必要不充分2利用传递性充分、必要条件在推导的过程当中具有传递性，即：若pq，qr，则pr.例2如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的_条件解析依题意知，有ABCD且ABCD，由命题的传递性可知DA，但AD.于是A是D的必要不充分条件答案必要不充分3集合法适用于“当所要判断的命题与方程的根、不等式的解集以及集合有关，或所描述的对象可以用集合表示时”的情况Pp，Qq，利用集合间的包含关系加以判断，具体情况如下：(1)若PQ，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)若PQ，则p是q的充
7、分不必要条件，q是p的必要不充分条件；(3)若PQ，则p是q的充要条件(q也是p的充要条件)；(4)PQ且QP，则p是q的既不充分又不必要条件例3设p：(2x1)20)，q：(x1)(2x1)0，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是_解析由题意得p：x1或x0，0m2.答案(0,24等价法适用于“直接从正面判断不方便”的情况，可将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题，再去判断常用的是逆否等价法(1)綈q是綈p的充分不必要条件p是q的充分不必要条件；(2)綈q是綈p的必要不充分条件p是q的必要不充分条件；(3)綈q是綈p的充要条件p是q的充要条件；(4)綈q是綈p的既不充分又不必
8、要条件p是q的既不充分又不必要条件例4给定两个命题p，q，若綈p是q的必要不充分条件，则p是綈q的_条件解析因为綈p是q的必要不充分条件，所以綈q是p的必要不充分条件，即p是綈q的充分不必要条件答案充分不必要3充分必要条件知识交汇例析充分必要条件是逻辑关系的重要知识点，主要用来讨论条件和结论的关系，是理解或判断一个命题与其相关命题之间关系的重要工具，也是命题转化的主要依据充分必要条件问题几乎可以融汇所有不同的数学知识，因此用途极为广泛下面通过具体例子进行分析1与集合的交汇例1若集合A1，m2，B2,4，则“m2”是“AB4”的_条件解析当m2时，集合A1,4，又B2,4，所以AB4当AB4时，
9、m24，m2或m2，所以“m2”是“AB4”的充分不必要条件答案充分不必要2与函数性质的交汇例2已知函数f(x)则“2a0”是“f(x)在R上单调递增”的_条件解析当a0时，易知f(x)在R上单调递增，因为当2a0时，01，所以当x1时，f(x)单调递增；当x1时，f(x)不一定单调递增，故“2a0”不是“f(x)在R上单调递增”的充分条件当f(x)在R上单调递增时，则a0，所以“2a0”是“f(x)在R上单调递增”的必要不充分条件答案必要不充分3与不等式的交汇例3“1a0，所以2x2.又a1，所以221，所以“1a2”是“对任意正数x,2x1”的充分条件对任意正数x,2x1，即21，解得a，
10、所以“对任意正数x,2x1”不是“1a2”的必要条件所以“1a2”是“对任意正数x,2x1”的充分不必要条件答案充分不必要4与平面向量的交汇例4若a，b为非零向量，则“函数f(x)(axb)2为偶函数”是“ab”的_条件解析f(x)(axb)2a2x22abxb2.如果函数f(x)为偶函数，则f(x)f(x)，由此求得ab0，即ab.反之，也成立所以“函数f(x)(axb)2为偶函数”是“ab”的充要条件答案充要5与数列的交汇例5设an是等比数列，则“a1a2a3”是“数列an是递增数列”的_条件解析由a1a2a3，即a1a1qa1q2，得a1(1q)0，a1(qq2)0时，q1；当a10时，
11、0q”是“sin A”的_条件解析在ABC中，当A且A时，sin A”不是“sin A”的充分条件但当sin A时，A一定成立，所以“A”是“sin A”的必要不充分条件答案必要不充分7与立体几何的交汇例7已知E，F，G，H是空间四个点，命题甲：E，F，G，H四点不共面，命题乙：直线EF和GH不相交，则甲是乙成立的_条件解析由空间点的位置关系知，E，F，G，H四点不共面，则直线EF和GH不相交，反之，未必成立，故甲是乙成立的充分不必要条件答案充分不必要4命题和充要条件错误剖析1考虑不周出错例1判断命题的真假：函数f(x)ax22x1只有一个零点，则a1.错解因为函数f(x)ax22x1只有一个
12、零点，所以224(1)a0，即a1.所以该命题是真命题剖析出现上述错解的主要原因是由于没考虑到函数f(x)的最高次项系数含字母参数a，应对字母参数是否为零进行讨论正解当a0时，函数f(x)为一次函数，此时函数只有一个零点；当a0时，函数f(x)ax22x1只有一个零点，所以224(1)a0，即a1.所以函数f(x)ax22x1只有一个零点，则a1或a0.故原命题为假命题2判断充要条件时出错例2(1)设xR，则x2成立的必要条件有_(填上所有正确的序号)x1；x3；x0.错解因为x3x2，所以x2的一个必要条件为x3.答案剖析错解的主要原因是没弄清“a是b的必要条件”和“a的必要条件是b”的真正
13、含义，前者等价于ba；后者等价于“b是a的必要条件”，即ab.正解因为x2x1，所以x2的一个必要条件为x1.同理x2x0，所以x2的一个必要条件为x0.答案(2)命题p：“向量a与向量b的夹角为锐角”是命题q：“ab0”的_条件错解若向量a与向量b的夹角为锐角，则cos 0，即ab0；反之也成立，所以p是q的充要条件答案充要剖析判断两个命题是否可以相互推导时，要注意特殊情况的判断，以防判断出现错误正解若向量a与向量b夹角为锐角，则cos 0ab0；而当ab0时，0也成立，但此时a与b夹角不为锐角故p是q的充分不必要条件答案充分不必要5解“逻辑”问题的两意识1转化意识由于互为逆否的两个命题同真
14、假，因此，当原命题的真假不易判断或证明原命题较困难时，可以转化为逆否命题的真假来判断或证明例1已知p：x28x200，q：x22x1a20，若p是q的充分不必要条件，求正实数a的取值范围分析将充分、必要条件转化为集合之间的关系，进而转化为集合运算问题解解不等式x28x200，得p：Ax|x10或x0，得q：Bx|x1a或x0依题意pq，但qp，说明AB.于是有或解得0a3.所以正实数a的取值范围是(0,32反例意识在“逻辑”中，经常要对一个命题的真假(尤其是假)作出判断，若直接从正面判断一个命题是假命题不易进行，这时可以通过举出恰当的反例来说明，这是一个简单有效的办法例2设A，B为两个集合，则下列四个命题中真命题的序号是_AB对任意xA，都有xB；ABAB；ABBA；AB存在xA，使得xB.分析画出表示AB的Venn图进行判断解析画出Venn图，如图1所示，则AB存在xA，使得xB，故是假命题，是真命题ABBA不成立的反例如图2所示同理可得BAAB不成立故是假命题综上知，真命题的序号是.答案
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