1、2018-2019学年浙江省浙南名校联盟高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分1（4分）已知全集U1，2，3，4，5，6，集合A1，4，5，集合B2，4，6则（UA）B（）A4B2，6C2，4，6D2，3，62（4分）已知等比数列an，若a52，a932，则a4a10（）A16B16C64D643（4分）已知函数，则f（f（3）（）A8B9C81D44（4分）已知ab0，且c0，且c1，则下列不等式一定成立的是（）AlogcalogcbBcacbCacbcD5（4分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A60，则C（）A30B60C60 或1
2、20D30 或1506（4分）已知函数yf（x）的部分图象如右图，则该函数的解析式可能是（）Af（x）x（exex）Bf（x）ln（ex+ex）CDf（x）ln|x|+17（4分）将函数的图象向左平移个单位后得到g（x）的图象，下列是g（x）的其中一个单调递增区间的是（）ABCD8（4分）已知平面向量，满足|2，|，且|x+（12x）|（xR）的最小值，则|+y|（yR）的最小值为（）AB1C2D1或29（4分）设函数f（x）ex+ax2+bx+c（a，b，c为非零实数），且f（a）ea，f（b）eb，若a1，则b的最小值为（）A1B2C3D410（4分）若函数f（x）x2+（m2）x+|x2
3、（m+2）x+2|的最小值为0，则m的取值范围为（）A（，1BCD二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11（6分）计算：log69+2log62 ； 12（6分）函数的定义域为 ；值域为 13（6分）已知数列an的前n项的和为Sn，且，则an ，数列的前n项的和Tn 14（6分）已知ABC中，三边是连续的三个自然数；若最小边为3，则最小角的正弦值为 ；若最大角是最小角的两倍，则最大边的长为 15（4分）若a，b均为正实数，且满足a+2b1，则的最小值为 16（4分）在ABC中，|BC|2，点P为ABC所在平面内一个动点，则的最小值为 17（4分）设非零实数a、b
4、满足a2+b21若函数存在最大值M和最小值m，则Mm 三、解答题：本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18（14分）已知集合AxR|（x+a）（x3）0，集合（）若a1，求AB；（）若AB，求a的取值范围19（15分）已知函数，（）求f（x）的最小正周期和单调增区间；（）若且，求sin2的值；20（15分）已知函数f（x）ax2+x+1+a（）若函数yf（x）+x有唯一的零点，求a的值；（）设a0，若对任意的x1，2，不等式2xf（x）恒成立，求a的取值范围21（15分）设ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若且（）求角C的大小；（）若角C的平分线交AB于
5、点D，求线段CD长度的取值范围22（15分）已知数列an满足：a13，2an+1an22an+4（）求证：an+1an；（）求证：（nN*）2018-2019学年浙江省浙南名校联盟高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分1（4分）已知全集U1，2，3，4，5，6，集合A1，4，5，集合B2，4，6则（UA）B（）A4B2，6C2，4，6D2，3，6【分析】结合集合交集，补集的定义进行计算即可【解答】解：UA2，3，6，则（UA）B2，6，故选：B【点评】本题主要考查集合的基本运算，结合交集补集的定义是解决本题的关键比较基础2（4分）已知等比数列
6、an，若a52，a932，则a4a10（）A16B16C64D64【分析】利用等比数列的性质直接求解【解答】解：等比数列an中，a52，a932，a4a10a5a923264故选：D【点评】本题考查命题真假的判断，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题3（4分）已知函数，则f（f（3）（）A8B9C81D4【分析】求出f（3）（3）29，从而f（f（3）f（9），由此能求出结果【解答】解：函数，f（3）（3）29，f（f（3）f（9）954故选：D【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，解题时 要认真审题，注意函数性质的合理运用4（4分）已知ab0，且c0，且c
7、1，则下列不等式一定成立的是（）AlogcalogcbBcacbCacbcD【分析】利用不等式的性质即可判断出【解答】解：ab0，当0c1时，logcalogcb，cacb，当c1时，logcalogcb，cacb，acbc，故选：C【点评】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题5（4分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A60，则C（）A30B60C60 或120D30 或150【分析】由正弦定理可求sinC，利用大边对大角可求C为锐角，利用特殊角的三角函数值即可得解【解答】解：在ABC中，A60，由正弦定理，得 ，即，解得sinC，又ac，AC，C30，故选：A【点评】
8、该题考查正弦定理及其应用，运用正弦定理涉及多解时要注意判断取舍，往往用到知识“大边对大角”6（4分）已知函数yf（x）的部分图象如右图，则该函数的解析式可能是（）Af（x）x（exex）Bf（x）ln（ex+ex）CDf（x）ln|x|+1【分析】根据函数的性质，采用排除法【解答】解：根据函数的对称性，函数f（x）为偶函数，选项A为偶函数，且选项A经过原点，排除A，在（0，+）上函数单调递增，x+时，f（x）+，选项C中的f（x）当x+时，f（x）0，排除C，f（x）0，D选项当x（0，1）时，f（x）0，排除D故选：B【点评】本题考查了根据函数的图象判断函数的解析式，可以灵活运用所学的函数的
9、性质，结合函数图象上的特殊点来处理，本题属于中档题7（4分）将函数的图象向左平移个单位后得到g（x）的图象，下列是g（x）的其中一个单调递增区间的是（）ABCD【分析】结合三角函数的平移关系求出g（x）的解析式，结合函数的单调性进行求解即可【解答】解：将函数的图象向左平移个单位后得到g（x）的图象，得到g（x）sn2（x+）+sin（2x+）cos2x，由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，即函数的单调递增区间为k，k，kZ，当k0时，单调递增区间为，是函数的一个单调递增区间，故选：B【点评】本题主要考查三角函数单调区间的求解，结合三角函数的图象平移关系求出g（x）的解析式以及三角函数的单调性
10、是解决本题的关键8（4分）已知平面向量，满足|2，|，且|x+（12x）|（xR）的最小值，则|+y|（yR）的最小值为（）AB1C2D1或2【分析】由向量和与差的模的运算及最值得：设f（x）|x+（12x）|2，则f（x）4（4）x2+3，又|x+（12x）|（xR）的最小值，则且40，解得0或3，则|，当0时，|2，即|+y|（yR）的最小值为2，当3时，|1，即|+y|（yR）的最小值为1，故|+y|（yR）的最小值为1或2，得解【解答】解：由平面向量，满足|2，|，设f（x）|x+（12x）|2，则f（x）4（4）x2+3，又|x+（12x）|（xR）的最小值，则且40，解得0或3，则
11、|，当0时，|2，即|+y|（yR）的最小值为2，当3时，|1，即|+y|（yR）的最小值为1，故|+y|（yR）的最小值为1或2，故选：D【点评】本题考查了向量和与差的模的运算及最值，属中档题9（4分）设函数f（x）ex+ax2+bx+c（a，b，c为非零实数），且f（a）ea，f（b）eb，若a1，则b的最小值为（）A1B2C3D4【分析】根据f（a）ea，f（b）eb，得到a，b的关系，即可得到b的最小值【解答】解：依题意由f（a）ea，f（b）eb得+两式相减得，a（a+b）（ab）+b（ab）0，所以（ab（a2+ab+b）0，若ab，则f（a）ea，f（b）eb成立时，ab0，不成
12、立（a1）所以b2（a+1），因为a+10，所以b2（a+1）4，当且仅当（a+1）21，即a2时b取得最小值故选：D【点评】本题考查了基本不等式，由函数f（x）得到a，b间的关系是解决问题的关键属于中档题10（4分）若函数f（x）x2+（m2）x+|x2（m+2）x+2|的最小值为0，则m的取值范围为（）A（，1BCD【分析】讨论m0，求得x1时，取得最小值0；去绝对值，结合二次函数的最值求法，即可得到所求范围【解答】解：当m0时，f（x）x22x+|x22x+2|（x1）21+|（x1）2+1|，当x1时，f（x）取得最小值0；当x1时，f（1）1+m2+|1m2+2|m1+|m1|，当m
13、1时，可得f（1）m1+1m0，当m1时，f（1）2（m1）0，f（x）（x1）21+mx+|（x1）2+1mx|，当（x1）2mx1时，f（x）2（x1）20，当x1时，取得最小值0，此时m1；当（x1）2mx1时，f（x）2（mx1），由题意可得2（mx1）0恒成立，故选：A【点评】本题考查函数的最值的求法，注意运用绝对值的意义，考查化简运算能力，属于中档题二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11（6分）计算：log69+2log622；0【分析】利用对数、指数性质、运算法则直接求解【解答】解：log69+2log62log69+log64log6362；1
14、+0故答案为：2，0【点评】本题考查对数式、指数式化简求值，考查对数、指数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题12（6分）函数的定义域为0，+）；值域为（，1【分析】可看出，要使得原函数有意义，则需满足x0，即得出原函数的定义域，而根据即可求出y的范围，即得出值域【解答】解：要使原函数有意义，则：x0；原函数的定义域为0，+）；原函数的值域为（，1故答案为：0，+），（，1【点评】考查函数定义域、值域的概念及求法，不等式的性质13（6分）已知数列an的前n项的和为Sn，且，则an2n，数列的前n项的和Tn2n+12【分析】由数列的递推式：a1S12，n2时，anSnSn1，可得
15、所求通项公式；再由等比数列的求和公式，计算可得所求和【解答】解：数列an的前n项的和为Sn，且，可得a1S12，n2时，anSnSn1n2+n（n1）2（n1）2n，上式对n1也成立，可得an2n，nN*；数列即为2n，为首项和公比均为2的等比数列，可得Tn2n+12，故答案为：2n，2n+12，【点评】本题考查等差数列的通项公式的求法，考查等比数列的求和公式的应用，考查化简运算能力，属于基础题14（6分）已知ABC中，三边是连续的三个自然数；若最小边为3，则最小角的正弦值为；若最大角是最小角的两倍，则最大边的长为6【分析】设三角形三边是连续的三个自然n1，n，n+1，三个角分别为，3，2，由
16、正弦定理求得cosA，再由余弦定理可得以，求得n5，从而得出结论【解答】解：ABC中，三边是连续的三个自然数；若最小边为3，则其余两边为4，5，则ABC为直角三角形，故最小角的正弦值为；设三边长分别为n1，n，n+1，对应的角为A，B，C，由题意知C2A，由正弦定理得即有cosA，又cosA所以，化简为n25n0，解得n5，所以三边分别为4，5，6故最大边的长为6故答案为：6【点评】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，考查了运算能力和求解能力，属于中档题15（4分）若a，b均为正实数，且满足a+2b1，则的最小值为【分析】+，再利用乘“1”法，利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：a+2b1，
17、则+，则（+）（a+2b）4+3+7+27+4，当且仅当，即ab时取等号，故答案为：4+7【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16（4分）在ABC中，|BC|2，点P为ABC所在平面内一个动点，则的最小值为1【分析】由平面向量数量积的性质及其运算得：取AB中点为D，AC中点为E，由|BC|2，得|DE|1，以DE所在直线为x轴，线段DE的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则D（，0）E（，0），设P（x，y），则24（x2+y2）4（x2+y2）11，即的最小值为1，得解【解答】解：取AB中点为D，AC中点为E，由|BC|2，得|DE|1，以DE所在直线为x轴
18、，线段DE的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则D（，0）E（，0），设P（x，y），则24（x2+y2）4（x2+y2）11，即的最小值为1，故答案为：1【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题17（4分）设非零实数a、b满足a2+b21若函数存在最大值M和最小值m，则Mm1【分析】函数y化为yx2ax+yb0，由题意可得a24y（yb）0，结合条件，解不等式可得m，M，作差可得所求值【解答】解：化为yx2ax+yb0，由题意可得a24y（yb）0，即为4y24yba20，由a2+b21，可得4y24yb（1b）（1+b）0，解得y，即M，m，则Mm1故答案为：1【点评】本题考
19、查函数的最值求法，注意运用判别式法，以及二次不等式的解法，考查运算能力，属于中档题三、解答题：本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18（14分）已知集合AxR|（x+a）（x3）0，集合（）若a1，求AB；（）若AB，求a的取值范围【分析】（）根据题意，求出集合B，当a1时，求出集合A，由交集的定义计算可得答案；（）根据题意，按a的取值范围分情况讨论，求出集合A，由交集的定义分析a的取值范围，综合即可得答案【解答】解：根据题意，集合（1，2），（I）若a1，集合AxR|（x+1）（x3）0（1，3），则AB（1，2）；（II）集合AxR|（x+a）（x3）0，若a3，
20、则A，满足题意；若a3，则A（3，a），显然AB；若a3，则A（a，3），所以a2，所以3a2；综上所述：a2【点评】本题考查集合交集的计算，（2）中注意讨论a的取值范围19（15分）已知函数，（）求f（x）的最小正周期和单调增区间；（）若且，求sin2的值；【分析】（1）先用三角变换公式得到f（x）cos（2x），再根据余弦函数的周期公式和单调性可得；（2）先得sin（2），再根据2（2）+以及和角的正弦公式可得【解答】解：（I）（4分）f（x）的最小正周期T； （6分）由得：（9分）（II），（11分）（12分）（15分）【点评】本题考查了三角函数中的恒等变换应用，属中档题20（15分）已
21、知函数f（x）ax2+x+1+a（）若函数yf（x）+x有唯一的零点，求a的值；（）设a0，若对任意的x1，2，不等式2xf（x）恒成立，求a的取值范围【分析】（I）若函数yf（x）+x有唯一的零点，等价于ax2+2x+a+10有唯一实根，对a进行讨论，结合二次方程的根的存在条件即可求解；（II）法一：2xf（x）等价于ax2x+a+10，结合二次函数的性质进行分类讨论可求；法二：2xf（x）等价于，结合函数的单调性及函数恒成立与最值求解的相互转化可求【解答】解：（I）若函数yf（x）+x有唯一的零点，等价于ax2+2x+a+10有唯一实根；（2分）若a0，则方程为2x+10，方程根为，满足题
22、意； （4分）若a0，则224a（a+1）4a24a+40，得； （6分）综上所述：a0或； （7分）（II）法一：2xf（x）等价于ax2x+a+10，（8分）记g（x）ax2x+a+1，若，即，则g（x）在1，2上递增，所以g（x）ming（1）2a0； （10分）若，即，则g（x）在上递减，在上递增，所以； （12分）若，即，则g（x）在1，2上递减，所以g（x）ming（2）5a10； （14分）综上所述： （15分）法二：2xf（x）等价于，（9分）记，可知g（x）在上递减，在上递增；若，此时，所以g（x）在1，2上递减，所以； （11分）若，此时，所以g（x）在上递减，在上递增；所
23、以； （14分）综上所述： （15分）【点评】本题主要考查了函数的恒成立与最值求解关系的相互转化，二次函数闭区间上的最值求解，体现了分类讨论思想的应用21（15分）设ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若且（）求角C的大小；（）若角C的平分线交AB于点D，求线段CD长度的取值范围【分析】（）方法1：由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知可求，可求C的值；方法2：由余弦定理可求，可求C的值；方法3：由正弦定理得，利用三角函数恒等变换的应用可求，可求C的值（）方法1：由题意根据三角形的面积公式可求，根据余弦定理，基本不等式可求0ab3，求得，可求方法2：由角平分线定理，得，利用平面
24、向量的计算可求，以下同方法1【解答】（本题满分为15分）解：（）方法1：因为abcosC+ccosB，（2分）所以，（4分）所以，所以； （6分）方法2：由余弦定理得，所以，（2分）所以a2+c2b22a2ab，即a2+b2c2ab，（4分）所以，所以； （6分）方法3：由正弦定理得，（2分）所以，（4分）所以，所以，所以； （6分）（）方法1：由题意得，所以，（9分）根据余弦定理，可得a2+b23+ab，所以 a2+b23+ab2ab，所以0ab3，（11分）由a2+b23+ab，得，且（13分）所以 （15分）方法2：由角平分线定理，得，所以，所以，（9分）以下同方法1【点评】本题主要考查
25、了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式，余弦定理，基本不等式，角平分线定理，平面向量的计算在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题22（15分）已知数列an满足：a13，2an+1an22an+4（）求证：an+1an；（）求证：（nN*）【分析】本题第（）题可根据递推式的特点选择作差法来判断an+1与an的大小关系；第（）题首先对递推式进行整理重新组合，化成an+1与an的倒数关系式，这可以根据求证的不等式进行思考，然后可采用相消法使式子变得更简单，这样便能证出不等式成立【解答】证明：（）由题意，可知：，an+1an，数列an是单调递增数列又a13，an+1ana130，（an2）2（a12）210an+1an（）由题意，可知：，即：2（an+12）an（an2）由2（an+12）an（an2），得：，（nN*）命题得证【点评】本题第（）题主要考查利用作差法来判断数列的大小；第（）题主要考查先得出一般式，然后代入求和算式中使算式简单化本题属较难的中档题
浙公网安备33030202001339号