1、2018-2019学年湖北省宜昌市部分示范高中教学协作体高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60分）1（5分）设a，b，c，dR，且ab，cd，则下列结论一定成立的是（）AacbdBa+cb+dCacbdD2（5分）不等式的解集是（）Ax|x2Bx|x2Cx|x2或xDx|x3（5分）设为第四象限的角，cos，则sin2（）ABCD4（5分）设ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c若a3，则B（）ABC或D5（5分）已知向（2，sinx），（cos2x，2cosx）则函数f（x）的最小正周期是（）ABC2D46（5分）在ABC中，acosAbcosB，则三角形的形状为（
2、）A直角三角形B等腰三角形或直角三角形C等边三角形D等腰三角形7（5分）不等式ax2+ax40的解集为R，则a的取值范围是（）A16a0Ba16C16a0Da08（5分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a3，b2，cosC，则ABC的面积为（）A3B2C4D9（5分）下列各函数中，最小值为2的是（）AB，CD10（5分）边长分别为1，2的三角形的最大角与最小角的和是（）A90B120C135D15011（5分）2002年北京国际数学家大会会标，是以中国古代数学家赵爽的弦图为基础而设计的，弦图用四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图），若大、小正方形的面积分
3、别为25和1，直角三角形中较大锐角为，则cos2等于（）ABCD12（5分）方程x2+3ax+3a+10（a2）的两根为tan，tan，且，（，），则+（）ABCD或二、填空题（本大题共4小题，共20分）13（5分）如图所示，为测量一水塔AB的高度，在C处测得塔顶的仰角为60，后退20米到达D处测得塔顶的仰角为30，则水塔的高度为 米14（5分）比较大小：+ +（用“”或“”符号填空）15（5分）已知x0，y0，且x+y2，则的最小值为 16（5分）设f（sin+cos）sincos，则f（cos30）的值为 三、解答题（本大题共6小题，共70分）17（10分）若关于x的不等式ax2+3x10
4、的解集是x|x1，（1）求a的值；（2）求不等式ax23x+a2+10的解集18（12分）（1）已知，其中，求cos（+）；（2）已知，且，求的值19（12分）如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上（1）求渔船甲的速度；（2）求sin的值20（12分）如图，某学校准备修建一个面积为2400平方米的矩形活动场地（图中ABCD）的围栏，按照修建要求，中间用围墙EF隔开，使得ABEF为矩形，EFCD为正方形，设ABx米，已知围墙（包括EF）的修建费用
5、均为每米500元，设围墙（包括EF）的修建总费用为y元（1）求出y关于x的函数解析式及x的取值范围；（2）当x为何值时，围墙（包括EF）的修建总费用y最小？并求出y的最小值21（12分）已知ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（2ac）cosBbcosC（I）求角B的大小；（II）若b2，求ABC周长的最大值22（12分）已知（sinx，cosx），（sinx，sinx），函数f（x）（ I）求f（x）的对称轴方程；（ II）求使f（x）1成立的x的取值集合；（ III） 若对任意实数，不等式f（x）m2恒成立，求实数m的取值范围2018-2019学年湖北省宜昌市部分示范高中教学
6、协作体高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，共60分）1（5分）设a，b，c，dR，且ab，cd，则下列结论一定成立的是（）AacbdBa+cb+dCacbdD【分析】根据不等式的性质，分别将个选项分析求解即可求得答案；注意排除法在解选择题中的应用【解答】解：A、ab，cd，cd，a+c与b+c无法比较大小，故本选项错误；B、ab，cd，a+cbd，故本选项正确；C、当ab，cd0时，acbd，故本选项错误；D、当ab，cd0时，故本选项错误故选：B【点评】本题考查了不等式的性质此题比较简单，注意解此题的关键是掌握不等式的性质：2（5分）不等式的解集是（）Ax|
7、x2Bx|x2Cx|x2或xDx|x【分析】把原不等式的右边移项到左边，通分计算后，然后转化为两个一元一次不等式组，求出不等式组的解集即为原不等式的解集【解答】解：不等式 ，移项得：，即 0，可化为：或 解得：x2，则原不等式的解集为：x2故选：B【点评】此题考查了其他不等式的解法，考查了转化及分类讨论的数学思想，是高考中常考的题型学生进行不等式变形，在不等式两边同时除以1时，注意不等号方向要改变3（5分）设为第四象限的角，cos，则sin2（）ABCD【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得sin2的值【解答】解：为第四象限的角，cos，sin，则sin22sincos，故
8、选：D【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题4（5分）设ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c若a3，则B（）ABC或D【分析】由已知及正弦定理可求sinB，利用大边对大角可求B为锐角，利用特殊角的三角函数值即可得解B的值【解答】解：a3，由正弦定理可得：sinB，ab，B为锐角，B故选：A【点评】本题主要考查了正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，属于基础题5（5分）已知向（2，sinx），（cos2x，2cosx）则函数f（x）的最小正周期是（）ABC2D4【分析】先利用的坐标求得函数f（x）的解析式，进而利用两角和公式和二倍角
9、公式化简整理，利用三角函数的周期公式求得答案【解答】解：f（x）2cos2x+2sinxcosxcos2x+sin2x+1sin（2x+）+1T故选：B【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，两角和公式和二倍角公式化简求值，平面向量的基本运算考查了学生综合运用所学知识解决问题的能力6（5分）在ABC中，acosAbcosB，则三角形的形状为（）A直角三角形B等腰三角形或直角三角形C等边三角形D等腰三角形【分析】根据正弦定理将题中等式化简，得sinAcosAsinBcosB，利用二倍角的正弦公式化简得sin2Asin2B再由三角函数的诱导公式加以计算，可得AB或A+B，从而得到答案【解答
10、】解：acosAbcosB，根据正弦定理，得sinAcosAsinBcosB，即sin2Asin2BA（0，），2A2B或2A+2B，得AB或A+B，因此ABC是等腰三角形或直角三角形故选：B【点评】本题给出三角形中的边角关系，判断三角形的形状，着重考查了正弦定理、三角函数的诱导公式和三角形的分类等知识，属于中档题7（5分）不等式ax2+ax40的解集为R，则a的取值范围是（）A16a0Ba16C16a0Da0【分析】由于不能确定原不等式的二次项系数的符号，故对a进行分类讨论：当a0 时，不等式恒成立；当a0时，由题意可得0，且a0，将这两种情况下的a的取值范围取并集，即为所求【解答】解：当a
11、0 时，不等式即40，恒成立当a0时，由题意可得a2+16a0，且a0，解得16a0综上，实数a的取值范围是16a0，故选：C【点评】本题考查二次函数的性质、函数的恒成立问题、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、分类讨论思想，注意检验a0时的情况，这是解题的易错点，属于基础题8（5分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a3，b2，cosC，则ABC的面积为（）A3B2C4D【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinC的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解【解答】解：cosC，sinC，又a3，b2，SABCabsinC4故选：C【点评】本题主要
12、考查了同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题9（5分）下列各函数中，最小值为2的是（）AB，CD【分析】利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：对于A，2，当且仅当x1时取等号因为只有一个正确，故选A【点评】熟练掌握基本不等式的性质是解题的关键10（5分）边长分别为1，2的三角形的最大角与最小角的和是（）A90B120C135D150【分析】解法一：由条件利用余弦定理求得cos、cos的值，可得sin、sin的值，再利用两角和余弦公式求得cos（+）coscossinsin 的值，可得最大角与最小角的和解法二：由题意可得，边长为的边对的角不是最大角
13、、也不是最小角，设此角为，则由余弦定理可得cos 的值，则180即为所求【解答】解：解法一：由题意可得，边长为1的边对的角最小为，边长2对的角最大为，由余弦定理可得cos，cos，sin，sin，cos（+）coscossinsin，+135，故选：C解法二：由题意可得，边长为的边对的角不是最大角、也不是最小角，设此角为，则由余弦定理可得cos，45，故三角形的最大角与最小角的和是18045135，故选：C【点评】本题主要考查余弦定理、两角和余弦公式应用，属于基础题11（5分）2002年北京国际数学家大会会标，是以中国古代数学家赵爽的弦图为基础而设计的，弦图用四个全等的直角三角形与一个小正方形
14、拼成的一个大正方形（如图），若大、小正方形的面积分别为25和1，直角三角形中较大锐角为，则cos2等于（）ABCD【分析】根据两正方形的面积分别求出两正方形的边长，根据小正方形的边长等于直角三角形的长直角边减去短直角边，利用三角函数的定义表示出5cos5sin1，两边平方并利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简可得sin2的值，然后根据的范围求出2的范围即可判断出cos2的正负，利用同角三角函数间的基本关系由sin2即可求出cos2的值【解答】解：大正方形面积为25，小正方形面积为1，大正方形边长为5，小正方形的边长为15sin5cos1，sincos两边平方得：1sin2，s
15、in2是直角三角形中较小的锐角，cos2故选：B【点评】此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简求值，是一道中档题本题的突破点是将已知的两等式两边平方12（5分）方程x2+3ax+3a+10（a2）的两根为tan，tan，且，（，），则+（）ABCD或【分析】由条件利用韦达定理、两角和的正切公式，求得、（，0），再求得tan（+）的值，可得+的值【解答】解：方程x2+3ax+3a+10（a2）的两根为tan，tan，且，（，），tan+tan3a60，tantan3a+17，再结合+（，），故tan0，tan0，、（，0），故+（，0）又 tan（+）1，+，故选
16、：B【点评】本题主要考查韦达定理、两角和的正切公式的应用，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，共20分）13（5分）如图所示，为测量一水塔AB的高度，在C处测得塔顶的仰角为60，后退20米到达D处测得塔顶的仰角为30，则水塔的高度为米【分析】利用AB表示出BC，BD让BD减去BC等于20即可求得AB长【解答】解：设ABhm，则BCh，BDh，则hh20，hm，故答案为【点评】本题主要考查了三角函数的定义，根据三角函数可以把问题转化为方程问题来解决14（5分）比较大小：+（用“”或“”符号填空）【分析】求出两个式子的平方，根据平方的结果比较即可【解答】解：（+）23+5+2 8+2 ，（+）2
17、2+6+2 8+2 ，又，+0，+0，+，故答案为：【点评】本题考查了实数的大小比较的应用，关键是考查学生能否选择适当的方法比较两个实数的大小，如有平方法、倒数法，分析法与综合法等15（5分）已知x0，y0，且x+y2，则的最小值为2【分析】题目在给出x+y2的情况下求 的最小值，可以把x+y2变形为一个多项式等于1的形式，然后把要求最值的式子乘以1，把1代换，展开后运用基本不等式即可求最值【解答】解：由x+3y2，得 1，所以 （）（）+2+2+22+，当且仅当 时，即x1，y3时有最小值2+故答案为：2+【点评】本题考查了利用基本不等式求最值问题，具体考查了运用基本不等式求最值的方法，积为
18、定值时求和的最小值，和为定值时求积的最大值，特别注意的是“一正、二定、三相等”16（5分）设f（sin+cos）sincos，则f（cos30）的值为【分析】令sin+cost（t，），推导出得f（t），由此能求出f（cos30）【解答】解：f（sin+cos）sincos，令sin+cost（t，），平方后化简可得 sincos，再由f（sin+cos）sincos，得f（t），f（cos30）故答案为：【点评】本题主要考查换元法求函数的解析式，注意换元中变量取值范围的变化，属于基础题三、解答题（本大题共6小题，共70分）17（10分）若关于x的不等式ax2+3x10的解集是x|x1，（1）
19、求a的值；（2）求不等式ax23x+a2+10的解集【分析】（1）根据不等式的解集，即可得到方程ax2+3x10的两个根为和1，根据韦达定理可以求得a的值；（2）根据（1）的结果，可以得到不等式2x2+3x50，求出方程2x2+3x50的根，从而得到不等式的解集【解答】解：（1）依题意，可知方程ax2+3x10的两个实数根为和1，+1且1，解得a2，a的值为2；（2）由（1）可知，不等式为2x23x+5，即2x2+3x50，方程2x2+3x50的两根为x11，x2，不等式ax23x+a2+10的解集为x|x1【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，要注意一元二次不等式和一元二次方程以及一元二次
20、函数之间的联系，注意根与方程系数之间的关系一般运用韦达定理进行解决属于基础题18（12分）（1）已知，其中，求cos（+）；（2）已知，且，求的值【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求，利用两角和的余弦函数公式即可计算得解（2）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin，sin（）的值，进而利用两角差的正弦函数公式即可计算得解sin的值，结合范围可求的值【解答】解：（1），cos（+）coscossinsin（2），sinsin（）sincos（）cossin（），【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的余弦函数公式，两角差的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考
21、查了转化思想，属于基础题19（12分）如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上（1）求渔船甲的速度；（2）求sin的值【分析】（1）由题意推出BAC120，利用余弦定理求出BC28，然后推出渔船甲的速度；（2）方法一：在ABC中，直接利用正弦定理求出sin方法二：在ABC中，利用余弦定理求出cos，然后转化为sin【解答】解：（1）依题意，BAC120，AB12，AC10220，BCA（2分）在ABC中，由余弦定理，得BC2AB2+AC22ABA
22、CcosBAC（4分）122+20221220cos120784解得BC28（6分）所以渔船甲的速度为海里/小时答：渔船甲的速度为14海里/小时（7分）（2）方法1：在ABC中，因为AB12，BAC120，BC28，BCA，由正弦定理，得（9分）即答：sin的值为（12分）方法2：在ABC中，因为AB12，AC20，BC28，BCA，由余弦定理，得（9分）即因为为锐角，所以答：sin的值为（12分）【点评】本题是中档题，考查三角函数在实际问题中的应用，正弦定理、余弦定理的应用，考查计算能力20（12分）如图，某学校准备修建一个面积为2400平方米的矩形活动场地（图中ABCD）的围栏，按照修建要
23、求，中间用围墙EF隔开，使得ABEF为矩形，EFCD为正方形，设ABx米，已知围墙（包括EF）的修建费用均为每米500元，设围墙（包括EF）的修建总费用为y元（1）求出y关于x的函数解析式及x的取值范围；（2）当x为何值时，围墙（包括EF）的修建总费用y最小？并求出y的最小值【分析】（1）根据面积确定AD的长，利用围墙（包括EF）的修建费用均为500元每平方米，即可求得函数的解析式；（2）根据函数的特点，满足一正二定的条件，利用基本不等式，即可确定函数的最值【解答】解：（1）设ADt米，则由题意得xt2400，且tx，故tx，可得0，（4分）则y500（3x+2t）500（3x+2），所以y关
24、于x的函数解析式为y1500（x+）（0）（2）y1500（x+）15002120000，当且仅当x，即x40时等号成立故当x为40米时，y最小y的最小值为120000元【点评】本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，确定函数模型是关键21（12分）已知ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（2ac）cosBbcosC（I）求角B的大小；（II）若b2，求ABC周长的最大值【分析】（）由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知等式可得2sinAcosBsinA，结合sinA0，可求cosB，结合范围B（0，）即可解得B的值（）由已知及正弦定理可得asinA，c
25、sinC，由三角函数恒等变换的应用化简可求三角形周长：a+b+c4sin（A+）+2，由A的范围可求A+，利用正弦函数的图象和性质即可计算得解周长的最大值【解答】（本题满分为12分）解：（）由（2ac）cosBbcosC，可得：（2sinAsinC）cosBsinBcosC，2sinAcosBsinBcosC+cosBsinC，可得：2sinAcosBsin（B+C）sinA，A（0，），sinA0，可得：cosB，由B，B（0，），B（4分）（）2R，asinA，csinC，（6分）可得三角形周长：a+b+csinA+sinC+2sinA+sin（A）+24sin（A+）+2，（9分）0A，
26、A+，可得：sin（A+）（，1（11分）周长的最大值为6（12分）【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题22（12分）已知（sinx，cosx），（sinx，sinx），函数f（x）（ I）求f（x）的对称轴方程；（ II）求使f（x）1成立的x的取值集合；（ III） 若对任意实数，不等式f（x）m2恒成立，求实数m的取值范围【分析】（）利用向量的数量积运算、二倍角的公式，两角差的正弦公式化简解析式，由正弦函数的对称轴和整体思想求出f（x）的对称轴方程；（）由（I）
27、化简f（x）1，由正弦函数的图象与性质列出不等式，求出不等式的解集；（）由由x的范围求出的范围，利用正弦函数的性质求出f（x）的最大值，根据条件和恒成立问题列出不等式，求出实数m的取值范围【解答】解：（ I）（1分）（2分）令，解得f（x）的对称轴方程为（4分）（ II）由f（x）1得，即（5分）故x的取值集合为（7分）（ III），（8分）又上是增函数，（9分）又，时的最大值是（10分）f（x）m2恒成立，mf（x）max2，即（11分）实数m的取值范围是（12分）【点评】本题考查正弦函数的图象与性质，三角恒等变换中的公式，向量数量积的运算，以及恒成立问题的转化，考查转化思想，数形结合思想，化简、变形能力
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