1、2.2.2椭圆的几何性质第1课时椭圆的几何性质一、选择题1已知椭圆C1：1，C2：1，则下列说法正确的是()AC1与C2顶点相同BC1与C2长轴长相同CC1与C2短轴长相同DC1与C2焦距相等答案D解析由两个椭圆的标准方程可知，C1的顶点坐标为(2，0)，(0，2)，长轴长为4，短轴长为4，焦距为4；C2的顶点坐标为(4,0)，(0，2)，长轴长为8，短轴长为4，焦距为4.2(2018全国)已知椭圆C：1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为()A. B. C. D.答案C解析一个焦点为(2,0)，a24228，a2，e.故选C.3已知A1，A2，B1，B2，F1，F2是椭圆1(ab0)的左、
2、右顶点，上、下顶点和左、右焦点，四边形A1B1A2B2的面积是四边形B1F2B2F1面积的2倍，则椭圆的离心率为()A. B. C. D.答案B解析依题意得，b2a22b2c2，即a2c，故离心率e.4椭圆x2my21的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值为()A. B. C2 D4答案B解析椭圆x2my21的焦点在y轴上，短半轴长为1，长轴长是短轴长的2倍，故2，解得m.5焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为4，则椭圆的标准方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案A解析依题意得c2，ab10，又a2b2c2，解得a6，b4.二、填空题6已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分
3、别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交椭圆C于A，B两点，若AF1B的周长为4，则椭圆C的方程为_答案1解析AF1B的周长为4，4a4，a.离心率为，即c1.b，椭圆C的方程为1.7在ABC中，ABBC，cos B.若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e_.答案解析设ABx(x0)，则BCx，AC2AB2BC22ABBCcos Bx2x22x2x2，ACx.由条件知，ACBC2a，AB2c，xx2a，x2c，e.8若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为_答案6解析由椭圆方程，得F(1,0)设P(x0，y0)，则(x0，y0)(x01，y0)
4、xx0y.P为椭圆上一点，1.xx03x03(x02)22.2x02，当x02时，取得最大值6.9若椭圆1的焦点在x轴上，过点作圆x2y21的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程为_答案1解析x1是圆x2y21的一条切线椭圆的右焦点为(1,0)，即c1.设P，则kOP，OPAB，kAB2，则直线AB的方程为y2(x1)，它与y轴的交点为(0,2)b2，a2b2c25，故椭圆的方程为1.10从椭圆1(ab0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且ABOP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率为_答案解
5、析左焦点为F1(c,0)，PF1x轴，当xc时，1，即yb2，解得yP(负值不合题意，已舍去)，点P，由斜率公式得kAB，kOP.ABOP，kABkOP，即，得bc.a2b2c22c2，解得e.三、解答题11已知椭圆x2(m3)y2m(m0)的离心率e，求实数m的值及椭圆的长轴长和短轴长，并写出焦点坐标和顶点坐标解将椭圆方程化为1，由m0，可知m.所以a2m，b2，c.由e，得，解得m1.于是椭圆的标准方程为x21，则a1，b，c.所以椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标为，；四个顶点坐标分别为(1,0)，(1,0)，.12.如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，A，B是椭圆
6、的顶点，P是椭圆上一点，且PF1x轴，PF2AB，求此椭圆的离心率解设椭圆的方程为1(ab0)如题图所示，则有F1(c,0)，F2(c,0)，A(0，b)，B(a,0)直线PF1的方程为xc，代入方程1，得y，P.又PF2AB，PF1F2AOB.，b2c.b24c2，a2c24c2，即，e2，即e，椭圆的离心率为.13.如图，已知F1，F2分别为椭圆1(ab0)的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若F1AB90，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2，且AF22F2B，求椭圆的方程解(1)若F1AB90，则AOF2为等腰直角三角形，所以有OAOF2，即bc，所以a
7、c，e.(2)由题知A(0，b)，F2(1,0)设B(x，y)，由AF22F2B，得2，即(1，b)2(x1，y)，解得x，y.代入1，得1，即1，解得a23，所以b22，故椭圆的方程为1.14在平面直角坐标系xOy中，以椭圆1(ab0)上的一点A为圆心的圆与x轴相切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于B，C两点，若ABC是锐角三角形，则该椭圆的率心率的取值范围为_答案解析由题意得，圆半径r，因为ABC是锐角三角形，所以cos 0cos cos ，即1，所以1，即1，解得e.15已知椭圆E的中心在坐标原点O，两个焦点分别为A(1,0)，B(1,0)，一个顶点为H(2,0)(1)求椭圆E的标准方程；(2)对于x轴上的点P(t,0)，椭圆E上存在点M，使得MPMH，求实数t的取值范围解(1)由题意可得c1，a2，b.所求椭圆E的标准方程为1.(2)设M(x0，y0)(x02)，则1.(tx0，y0)，(2x0，y0)，由MPMH可得0，即(tx0)(2x0)y0.由消去y0，整理得t(2x0)x2x03.x02，tx0.2x02，2t1.实数t的取值范围为(2，1)
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