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    《2.4.1抛物线的标准方程》课时对点练(含答案)

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    《2.4.1抛物线的标准方程》课时对点练(含答案)

    1、2.4抛物线2.4.1抛物线的标准方程一、选择题1抛物线y2x2的焦点到准线的距离是()A2 B1 C. D.答案C解析抛物线y2x2化为x2y,焦点到准线的距离为.2已知抛物线y22px(p0)的准线经过点(1,1),则该抛物线焦点坐标为()A(1,0) B(1,0) C(0,1) D(0,1)答案B解析抛物线y22px(p0)的准线方程为x,由题设知1,即p2,故焦点坐标为(1,0)故选B.3已知抛物线y22px(p0)的准线与圆(x3)2y216相切,则p的值为()A2 B. C1 D2答案A解析抛物线y22px的准线方程为x,它与圆相切,所以必有34,所以p2.4一动圆过点(0,1)且

    2、与定直线l相切,圆心在抛物线x24y上,则l的方程为()Ax1 BxCy1 Dy答案C解析因为动圆过点(0,1)且与定直线l相切,所以动圆圆心到点(0,1)的距离与它到定直线l的距离相等,又因为动圆圆心在抛物线x24y上,且(0,1)为抛物线的焦点,所以l为抛物线的准线,所以l:y1.5经过点P(4,2)的抛物线的标准方程为()Ay2x或x28y By2x或y28xCy28x Dx28y答案A解析因为点P在第四象限,所以抛物线开口向右或向下当开口向右时,设抛物线方程为y22p1x(p10),则(2)28p1,所以p1,所以抛物线方程为y2x.当开口向下时,设抛物线方程为x22p2y(p20),

    3、则424p2,p24,所以抛物线方程为x28y.综上,y2x或x28y.6已知抛物线y24x上一点P到焦点F的距离为5,则PFO的面积为()A1 B2 C3 D4答案B解析由题意,知抛物线的焦点坐标为F(1,0),准线方程为x1.因为抛物线y24x上的一点P到焦点的距离为5,由抛物线的定义可知,点P到准线x1的距离是5,则点P到y轴的距离是4,所以P(4,4),所以PFO的面积为142.二、填空题7设抛物线y22px(p0)的焦点为F,点A(0,2)若线段FA的中点B在抛物线上,则B到该抛物线准线的距离为_答案解析抛物线的焦点F的坐标为,线段FA的中点B的坐标为,代入抛物线方程得12p,解得p

    4、,故点B的坐标为,故点B到该抛物线准线的距离为.8过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点若AF3,则BF_.答案解析抛物线y24x的准线为x1,焦点为F(1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2)由抛物线的定义可知AFx113,所以x12,所以y12,由抛物线关于x轴对称,假设A(2,2)由A,F,B三点共线可知直线AB的方程为y02(x1),代入抛物线方程消去y,得2x25x20,求得x2或,所以x2,故BF.9O为坐标原点,F为抛物线C:y24x的焦点,P为抛物线C上一点,若PF4,则POF的面积为_答案2解析抛物线C的准线方程为x,焦点F(,0)由PF4及抛物线的定义知

    5、,P点的横坐标为xP3,从而纵坐标为yP2.SPOFOF|yP|22.10已知点P是抛物线y22x上的一个动点,则点P到点(0,2)的距离与点P到抛物线准线的距离之和的最小值为_答案解析抛物线y22x的焦点坐标为F,准线是x.由抛物线的定义知,点P到焦点F的距离等于它到准线x的距离因此要求点P到点(0,2)的距离与点P到抛物线准线的距离之和的最小值,可以转化为求点P到点(0,2)的距离与点P到焦点F的距离之和的最小值结合图形(图略)不难得出相应的最小值等于焦点F到点(0,2)的距离,因此所求距离之和的最小值为.11已知P为抛物线y24x上一个动点,Q为圆x2(y4)21上一个动点,则点P到点Q

    6、的距离与点P到抛物线准线的距离之和的最小值是_答案1解析点P到抛物线准线的距离等于点P到抛物线焦点F(1,0)的距离圆心坐标是(0,4),圆心到抛物线焦点的距离为,即圆上的点Q到抛物线焦点的距离的最小值是1.三、解答题12已知抛物线的顶点在原点,它的准线过1的一个焦点,且与x轴垂直又抛物线与此双曲线交于点,求抛物线和双曲线的方程解因为交点在第一象限,抛物线的顶点在原点,其准线垂直于x轴,所以可设抛物线方程为y22px(p0)将点代入方程,得p2,所以抛物线方程为y24x,准线方程为x1.由此知双曲线方程中c1,焦点为(1,0),(1,0),点到两焦点的距离之差为2a1,所以双曲线的标准方程为1

    7、.13已知抛物线C的顶点在原点,焦点F在x轴的正半轴上,设A,B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴),且AFBF8,线段AB的垂直平分线恒经过点Q(6,0),求抛物线的方程解设抛物线的方程为y22px(p0), 则其准线方程为x.设A(x1,y1),B(x2,y2),AFBF8,x1x28,即x1x28p.Q(6,0)在线段AB的中垂线上, QAQB,即,又y2px1,y2px2,(x1x2)(x1x2122p)0.AB与x轴不垂直,x1x2.故x1x2122p8p122p0,即p4.抛物线方程为y28x.14已知抛物线y22px的焦点F与双曲线1的右焦点重合,抛物线的准线与x轴的交点为

    8、K,点A在抛物线上,且AKAF,则AFK的面积为_答案32解析由题意可知抛物线焦点坐标为F(4,0)过点A作直线AA垂直于抛物线的准线,垂足为A,根据抛物线定义知,AAAF,则在AAK中,AKAA,故KAA45,所以直线AK的倾斜角为45,直线AK的方程为yx4,代入抛物线方程y216x,得y216(y4),即y216y640,解得y8.所以AFK为直角三角形,故AFK的面积为8832.15设抛物线C:x22py(p0)的焦点为F,准线为l,A为抛物线C上一点,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点(1)若BFD90,ABD的面积为4,求p的值及圆F的方程;(2)若A,B,F三点在同

    9、一直线m上,直线n与m平行,且直线n与抛物线C只有一个公共点,求坐标原点到m,n距离的比值解(1)由已知可得BFD为等腰直角三角形,BD2p,圆F的半径FAp.由抛物线定义可知,A到准线l的距离dFAp.因为ABD的面积为4,所以BDd4,即2pp4,解得p2(舍去)或p2.所以F(0,1),圆F的方程为x2(y1)28.(2)因为A,B,F三点在同一直线m上,所以AB为圆F的直径,ADB90.由抛物线定义知,ADFAAB,所以ABD30,m的斜率为或.当m的斜率为时,由已知可设n:yxb,代入x22py,得x2px2pb0.由于直线n与抛物线C只有一个公共点,故p28pb0,解得b.因为m的截距b1,3,所以坐标原点到m,n距离的比值为3.当m的斜率为时,由图形对称性可知,坐标原点到m,n距离的比值也为3.综上,坐标原点到m,n距离的比值为3.


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