1.2回归分析 学案（含答案）

1、1.2回归分析学习目标1.会建立线性回归模型分析两个变量间的相关关系.2.能通过相关系数判断两个变量间的线性相关程度.3.了解非线性回归分析知识点一线性回归模型思考某电脑公司有5名产品推销员，其工作年限与年推销金额数据如下表：推销员编号12345工作年限x/年35679年推销金额y/万元23345请问如何表示年推销金额y与工作年限x之间的相关关系？y关于x的线性回归方程是什么？答案画出散点图，由图可知，样本点散布在一条直线附近，因此可用回归直线表示两变量之间的相关关系设所求的线性回归方程为x，则0.5，0.4.所以年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程为0.5x0.4.梳理线性回归模型(1)

2、随机误差具有线性相关关系的两个变量的取值x，y，y的值不能由x完全确定，可将x，y之间的关系表示为yabx，其中abx是确定性函数，称为随机误差(2)随机误差产生的主要原因所用的确定性函数不恰当引起的误差忽略了某些因素的影响存在观测误差(3)线性回归模型中a，b值的求法yabx称为线性回归模型a，b的估计值为，则(4)回归直线和线性回归方程直线x称为回归直线，此直线方程即为线性回归方程，称为回归截距，称为回归系数，称为回归值知识点二样本相关系数r具有相关关系的两个变量的线性回归方程为x.思考1变量与真实值y一样吗？答案不一定思考2变量与真实值y之间误差大了好还是小了好？答案越小越好梳理样本相关

3、系数r及其性质(1)r .(2)r具有以下性质：|r|1.|r|越接近于1，x，y的线性相关程度越强|r|越接近于0，x，y的线性相关程度越弱知识点三对相关系数r进行显著性检验的基本步骤1提出统计假设H0：变量x，y不具有线性相关关系2如果以95%的把握作出判断，那么可以根据10.950.05与n2在教材附录1中查出一个r的临界值r0.05(其中10.950.05称为检验水平)3计算样本相关系数r.4作出统计推断：若|r|r0.05，则否定H0，表明有95%的把握认为x与y之间具有线性相关关系；若|r|r0.05，则没有理由拒绝原来的假设H0，即就目前数据而言，没有充分理由认为y与x之间有线性

4、相关关系1求线性回归方程前可以不进行相关性检验()2在残差图中，纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号()3利用线性回归方程求出的值是准确值()类型一求线性回归方程例1某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：x681012y2356(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程x；(3)试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力考点线性回归方程题点求线性回归方程解(1)如图：(2)iyi6283105126158，9，4，6282102122344，0.7，40.792.3，故线性回归方程为0.7x2.3.(

5、3)由(2)中线性回归方程可知，当x9时，0.792.34，预测记忆力为9的同学的判断力约为4.反思与感悟(1)求线性回归方程的基本步骤列出散点图，从直观上分析数据间是否存在线性相关关系计算：，iyi.代入公式求出x中参数，的值写出线性回归方程并对实际问题作出估计(2)需特别注意的是，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归方程才有实际意义跟踪训练1某班5名学生的数学和物理成绩如下表：学生编号12345学科编号ABCDE数学成绩(x)8876736663物理成绩(y)7865716461(1)画出散点图；(2)求物理成绩y对数学成绩x的线性回归方程；(3)一名学生的数学成绩是96，试预测他的物理成

6、绩考点线性回归方程题点求线性回归方程解(1)散点图如图(2)(8876736663)73.2，(7865716461)67.8.iyi8878766573716664636125 054.88276273266263227 174.所以0.625.67.80.62573.222.05.所以y对x的线性回归方程是0.625x22.05.(3)当x96时，0.6259622.0582，即可以预测他的物理成绩约是82.类型二线性回归分析例2现随机抽取了某中学高一10名在校学生，他们入学时的数学成绩(x)与入学后第一次考试的数学成绩(y)如下表：学生号12345678910x1201081171041

7、0311010410599108y84648468696869465771请问：这10名学生的两次数学成绩是否具有线性关系？考点题点解(12010899108)107.8，(84645771)68.120210829921082116 584.84264257271247 384.iyi120841086499571087173 796.所以相关系数为r0.751.由检验水平0.05及n28，在附录1中查得r0.050.632.因为0.7510.632，由此可看出这10名学生的两次数学成绩具有较强的线性相关关系反思与感悟相关关系的两种判定方法(1)利用散点图判定(2)利用相关系数判定跟踪训练2

8、一台机器由于使用时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点的零件的多少随机器运转的速度而变化，下表为抽样试验的结果：转速x(转/秒)1614128每小时生产有缺点的零件数y(件)11985对变量y与x进行线性相关性检验考点题点解由题中数据可得12.5，8.25，iyi438,4 412.5，660，291，所以r0.995.由检验水平0.05及n22，在教材附录1中查得r0.050.950，因为rr0.05，所以y与x具有线性相关关系类型三非线性回归分析例3下表为收集到的一组数据：x21232527293235y711212466115325(1

9、)作出x与y的散点图，并猜测x与y之间的关系；(2)建立x与y的关系；(3)利用所得模型，估计当x40时y的值考点非线性回归分析题点非线性回归分析解(1)作出散点图如图，从散点图可以看出x与y不具有线性相关关系，根据已有知识可以发现样本点分布在某一条指数型函数曲线yc1ec2x的周围，其中c1，c2为待定的参数(2)对两边取对数把指数关系变为线性关系，令zln y，则有变换后的样本点应分布在直线zbxa，aln c1，bc2的周围，这样就可以利用线性回归模型来建立y与x之间的非线性回归方程，数据可以转化为x21232527293235z1.9462.3983.0453.1784.1904.74

10、55.784(21233235)27.429，(1.9462.3984.7455.784)3.612，izi733.741，5 414.求得线性回归方程为0.273x3.876，e0.273x3.876.(3)当x40时，e0.273x3.8761 146.反思与感悟非线性回归问题的处理方法(1)指数型函数yebxa函数yebxa的图象处理方法：两边取对数，得ln yln ebxa，即ln ybxa.令zln y，把原始数据(x，y)转化为(x，z)，再根据线性回归模型的方法求出a，b.(2)对数型函数ybln xa函数ybln xa的图象：处理方法：设xln x，原方程可化为ybxa，再根据

11、线性回归模型的方法求出a，b.(3)ybx2a型处理方法：设xx2，原方程可化为ybxa，再根据线性回归模型的方法求出a，b.跟踪训练3已知某种食品每千克的生产成本y(元)与生产该食品的重量x(千克)有关，经生产统计得到以下数据：x123510y10.155.524.082.852.11x203050100200y1.621.411.301.211.15通过以上数据，判断该食品的生产成本y(元)与生产的重量x(千克)的倒数之间是否具有线性相关关系若有，求出y关于的回归方程，并估计一下生产该食品500千克时每千克的生产成本约是多少(精确到0.01)考点非线性回归分析题点非线性回归分析解设u，通过

12、已知数据得到y与u的相应数据为u10.50.330.20.1y10.155.524.082.852.11u0.050.030.020.010.005y1.621.411.301.211.15根据上述数据可求得相关系数r0.999 8，于是有很大的把握认为y与具有线性相关关系而8.973，1.126，于是y与的回归方程为1.126.当x500时，1.1261.14.所以估计生产该食品500千克时每千克的生产成本约是1.14元.1设有一个线性回归方程21.5x，当变量x增加1个单位时，y平均_个单位考点线性回归分析题点线性回归方程的应用答案减少1.5解析由回归方程中两个变量之间的关系可以得到2如图

13、四个散点图中，适合用线性回归模型拟合其中两个变量的是_(填序号)考点回归分析题点建立回归模型的基本步骤答案解析由图易知两个图中样本点在一条直线附近，因此适合用线性回归模型3某厂节能降耗技术改造后，在生产A产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据如表：x3456y2.5t44.5根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为0.7x0.35，则上表中的t_.考点线性回归分析题点线性回归方程的应用答案34下表是x和y之间的一组数据，则y关于x的回归直线必过点_.x1234y1357考点线性回归方程题点样本点中心的应用答案(2.5,4)解析回归直线必过样本点中心(，)，即

14、(2.5,4)5已知x，y之间的一组数据如下表：x0123y1357(1)分别计算：，x1y1x2y2x3y3x4y4，xxxx；(2)已知变量x与y线性相关，求出回归方程考点线性回归方程题点求线性回归方程解(1)1.5，4，x1y1x2y2x3y3x4y40113253734，xxxx0212223214.(2)2， 421.51，故2x1.回归分析的步骤(1)确定研究对象，明确哪个变量是自变量，哪个变量是因变量(2)画出确定好的因变量关于自变量的散点图，观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等)(3)由经验确定回归方程的类型(如果呈线性关系，则选用线性回归方程x)(4)按一定规则估计回归方程中的参数