1、 - 1 - 2019-2020 学年度秋四川省宜宾市四中高三第一学月考试 理科数学试题理科数学试题 第第 I 卷卷(选择题选择题 共共 60 分）分） 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合 题 目 要 求 的 ， 把 正 确 选 项 的 代 号 填 在 答 题 卡 的 指 定 位 置 . ） 1. 已 知 集 合 ，则 A. B. C. D. 2.设命题 ，则为 A. B. C. D. 3.已知，复数 ，且为实数，则 A. B. C. 3 D. -3 4.“m2”是“直线 2x+（m2）y+30 与直线（6m）x+（2
2、m）y50 垂直”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5.下列函数中，既是奇函数，又在区间(0，1)内是增函数的是 A. B. C. D. 6.设等比数列的前 项和为，若， ，则 A. 63 B. 62 C. 61 D. 60 7.已知 ，则 A. B. C. D. 8.九章算术是我国古代第一部数学专著，它有如下问题：“今有圆堡瑽（cng），周四丈八尺，高一 丈一尺。问积几何？”意思是“今有圆柱体形的土筑小城堡，底面周长为 4 丈 8 尺，高 1 丈 1 尺。问它的 体积是（ ）？”（注：1 丈=10 尺，取） A. 704 立方尺 B.
3、 2112 立方尺 C. 2115 立方尺 D. 2118 立方尺 9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 - 2 - A. 264 B. 270 C. 274 D. 282 10.设 ：关于 的方程有解； ：关于 的不等式 对于恒 成立，则 是 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 11.已知双曲线 的左右焦点分别为 ，斜率为 2 直线过点与双曲 线 在第二象限相交于点 ，若，则双曲线 的离心率是 A. B. C. 2 D. 12.已知定义在 上的函数满足，且，则 的解 集是 A. B. C. D. 第第卷（非选择题共卷（非选
4、择题共 90 分）分） 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13.已知的展开式的所有项的系数和为 64，则其展开式中的常数项为_. 14.在某次语文考试中， 、 、 三名同学中只有一名同学优秀，当他们被问到谁得到了优秀时，C 说：“ 没有得优秀”； 说：“我得了优秀”； 说：“ 说得是真话”。事实证明：在这三名同学中，只有一人 说的是假话，那么得优秀的同学是_ 15.幂函数 的图象关于 轴对称，则实数_. 16.定义在 上的函数的导函数为，.若对任意，都有 ，则使 得成立的 的取值范围为_. 三、解答题（共三、解答题（共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演
5、算步骤，第分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 17 21 题为必考题，每个试题考题为必考题，每个试题考 生都必须作答，第生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.） 17.（本大题满分 12 分） 如图，已知的内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且，点是 - 3 - 的中点，交于点 ，且，. （）求 ； （）求的面积. 18.（本大题满分 12 分） 已知四棱锥中，底面，. （）当变化时，点 到平面的距离是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由； （）当直线与平面所成的角为 45时，求二面角的余弦值. 19.（本大题满分 1
6、2 分） 在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆 上 （）求圆 的方程； （）若圆 与直线交于 ，两点，且，求 的值 20.（本大题满分 12 分） 随着“北京八分钟”在韩国平昌冬奥会惊艳亮相，冬奥会正式进入了北京周期，全社会对冬奥会的热情空 - 4 - 前高涨. （）为迎接冬奥会，某社区积极推动冬奥会项目在社区青少年中的普及，并统计了近五年来本社区冬奥 项目青少年爱好者的人数（单位：人）与时间（单位：年），列表如下： 依据表格给出的数据，是否可用线性回归模型拟合 与 的关系，请计算相关系数 并加以说明(计算结果精 确到 0.01). (若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合） 附
7、 ： 相 关 系 数 公 式， 参 考 数 据 . （）某冰雪运动用品专营店为吸引广大冰雪爱好者，特推出两种促销方案. 方案一:每满 600 元可减 100 元； 方案二:金额超过 600 元可抽奖三次，每次中奖的概率同为 ，且每次抽奖互不影响，中奖 1 次打 9 折，中 奖 2 次打 8 折，中奖 3 次打 7 折. v 两位顾客都购买了 1050 元的产品， 并且都选择第二种优惠方案， 求至少有一名顾客比选择方案一更优惠的 概率； 如果你打算购买 1000 元的冰雪运动用品， 请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方 案. 21.（本大题满分 12 分） 已知函数 （）当时，
8、讨论的单调性； （）证明：当时， （二）选考题：共 10 分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. - 5 - 22. 选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（ 是参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程； （）若射线 与曲线交于， 两点，与曲线交于， 两点，求 取最大值时的值 23.已知函数， ， 为实数.（10分） （）若，求不等式的解集； （）当，时，函数的最大值为 7，求的最小值. - 6 - 2019-2020 学年度秋四川省宜
9、宾市四中高三第一学月考试学年度秋四川省宜宾市四中高三第一学月考试 理科数学试题理科数学试题答案答案 1.C 2.B 3.B 4.A 5.D 6.A 7.B 8.B 9.A 10.B 11.B 12.A 13.15 14.C 15.2 16. 17.解（1） ，由得， 由余弦定理得， ，: （2）连接，如下图：是的中点， ， 在中，由正弦定理得， ， ， ， ， ， 18.（1）由，知 ，则， 由面，面得，由，面， 则面，则点 到平面的距离为一个定值，. （2）由面，为在平面上的射影，则为直线与平面 所成的角，则，所以. 由，得，故直线、两两垂直，因此，以点 为坐标原点，以、所在的直线分别为 轴
10、、 轴、 轴建立如图所示的空间 - 7 - 直角坐标系，易得，于是， 设平面的法向量为，则，即，取，则 ，于是；显然为平面的一个法向量， 于是， 分析知二面角的余弦值为. 19.解：（1）曲线与 轴的交点为，与 轴的交点为 故可设的圆心为，则有 ，解得则圆的半径为 ，所以圆的方程为 （2） 设， ， 其坐标满足方程组 消去，得方程 由已知可得，判别式，且， 由于，可得 又， 所以 由得，满足，故 20.（1）由题知， ， . 与 的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合. （ 2） 选择方 案二比方 案一更优 惠则需 要至 少中奖一 次，设 顾客 没有中奖 为事件，则 - 8 - ， 故所求概
11、率为 . 若选择方案一，则需付款元， 若选择方案二，设付款 元，则 可能取值为 700,800,900，1000. ； ； ； . 元， ，选择方案二更划算. 21.（1）解：由题意知，. 当时，对恒成立， 所以当时，；当时，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减. （2）证明：由题意知，即证当时，对任意，恒成立， 令， 所以，. 因为，则，所以函数在上单调递减， 所以， 当时，. 22.（1）由得 ， 将代入得： ，故曲线的极坐标方程为. 由得， 将代入得，故曲线的直角坐标方程为. - 9 - （2）设点 、 的极坐标分别为， 将 分别代入曲线、极坐标方程得：， 则 ，其 中为锐角，且满足，当时，取最大值， 此时， 23.（1）由题，即 ，（1） 当时，由（1）式可得，故此时； 当时，由（1）式可得，故此时； 当时，由（1）式可得，故此时； 综上所述，不等式的解集为. （2）因为， 故，即，所以， 则， 当且仅当，时取等号， 所以的最小值为.
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