1、2018-2019学年四川省绵阳市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（4分）若ab，则下列式子一定成立的是（）Aa2b2BbaC|a|b|D2（4分）下等式的解集为R的是（）Ax2+x+10Bx2+2x+10Cx2+x+10Dx2+x+103（4分）若x，y满足约束条件，则围成区域的面积为（）ABCD14（4分）边长为1的等边ABC中，在方向上的投影为（）ABCD5（4分）若sn为数列an的前n项和，且（n+1）Snn，则（）ABC20D306（4分）如图，点E在正方体ABCDA1B1C1D1的面对角线B
2、C1上运动，下列结论一定正确的是（）AA1AECBA1BECCA1E面ACD1DD1E面ABCD7（4分）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北45（即BAC45）的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在北偏东15（即ABC75）的方向上，仰角DBC为30，则此山的高度CD（）A200mB400mC600mD800m8（4分）已知m，n为两条不同的直线，为两个不同的平面，给出下列四个命题，正确的是（）Amn，mnBmn，nmaCm，mDm，m9（4分）已知关于x的不等式axb0的解集是2，+），则关于x的不等式ax2+（3ab）x3b0的解集是（
3、）A（，3）（2，+）B（3，2）C（，2）（3，+）D（2，3）10（4分）如图为某几何体的三视图，则其体积为（）A+B+4C+D+411（4分）已知a0，b0，且满足aba+b+3，则a+b的最小值是（）A2B3C5D612（4分）如图，在ABC中，AD为BC边上的高，2，BAC60，AB2，AC3，则的值为（）ABCD二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分把答案直接填在答题卡中的横线上13（3分）己知9，a1，a2，成等比数列，则a1+a2 14（3分）己知向量（1，m+l），（2，m），若，则m 15（3分）已知在一个长、宽、高分别为3cm、4cm
4、、6cm的封闭长方体形状的铁盒中装有两个大小相同的小钢球，则每个小钢球的最大体积为 cm3（不计铁盒各侧面的厚度）16（3分）设0b1+a，若关于x的不等式（xb）2（ax）2的解集中的整数解恰有4个，则实数a的取值范围是 三、解答题：共40分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知平面向量（3，2），（1，0），其中与的夹角为（1）求cos的值；（2）若（+）（2），求实数的值18（10分）己知等差数列an的前n项和为Sn（nN*），bn是首项为2的正项等比数列，且满足b2+b312，b3a1+a4，S44b4（1）求an和bn的通项公式：（2）设
5、数列的前n项和为Tn求证：Tn19（10分）在ABC中，AB2，AC4，点D在边AC上，BDCD，且ADcosABD22CD（1）求cosABD的值；（2）求ABC的面积20（10分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，CC1平面ABC，AB3，cosA1C1B14/5，连接AB1（1）求证：平面ACC1A1平面ABB1A1（2）线段AC上是否存在点D，使AB1平面BC1D，若存在，请说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由2018-2019学年四川省绵阳市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
6、要求的1（4分）若ab，则下列式子一定成立的是（）Aa2b2BbaC|a|b|D【分析】由yx2在（，0）递减，可判断A；由不等式的自反性可判断B；由y|x|在（，0）递减，可判断C；由a0b可判断D【解答】解：若0ab，则a2b2，故A错误；由ab，可得ba，故B正确；由0ab，可得|a|b|，故C错误；由a0b，可得，故D错误故选：B【点评】本题考查不等式的性质和运用，考查反例法和函数的单调性的运用，属于基础题2（4分）下等式的解集为R的是（）Ax2+x+10Bx2+2x+10Cx2+x+10Dx2+x+10【分析】根据题意利用配方法或判别式，即可判断一元二次不等式的解集情况【解答】解：x
7、2+x+1+0恒成立，所以不等式x2+x+10的解集为R，D正确故选：D【点评】本题考查了一元二次不等式解集的判断与应用问题，是基础题3（4分）若x，y满足约束条件，则围成区域的面积为（）ABCD1【分析】画出约束条件表示的平面区域，计算平面区域的面积即可【解答】解：画出约束条件表示的平面区域，如图所示；则不等式组表示的平面区域面积为S11故选：C【点评】本题考查了二元一次不等式组表示平面区域的应用问题，是基础题4（4分）边长为1的等边ABC中，在方向上的投影为（）ABCD【分析】在方向上的投影为|cos，根据已知求出向量模长和夹角，代入可得答案【解答】解：边长为1的等边ABC中，|1，120
8、，故在方向上的投影为|cos，故选：B【点评】本题考查的知识点是平面向量数量积的性质及其运算，两个向量“首尾相接”时，向量的夹角等于几何角的补角5（4分）若sn为数列an的前n项和，且（n+1）Snn，则（）ABC20D30【分析】利用数列前n项和Sn与an的关系式可以推得a4，继而可以求得结果【解答】解：数列an的前n项和，故选：C【点评】本题考查数列递推式，属于一般基础题型6（4分）如图，点E在正方体ABCDA1B1C1D1的面对角线BC1上运动，下列结论一定正确的是（）AA1AECBA1BECCA1E面ACD1DD1E面ABCD【分析】由线线垂直的性质可判断A；由异面直线所成角可判断B；
9、由面面平行的判定定理和性质，可判断C；由线面的位置关系可判断D【解答】解：由A1ACC1，CC1不垂直于EC，A1AEC不正确，故A错误；由A1BD1C，当E为BC1的中点时，A1B与EC成60的角，故B错误；由A1C1AC，A1BD1C，可得平面A1BC平面ACD1，而A1E平面A1BC，可得A1E面ACD1，故C正确；当E与B重合时，D1E不垂直于面ABCD，故D错误故选：C【点评】本题考查空间线线，线面的位置关系，主要是平行和垂直的判定和性质，考查推理能力，属于基础题7（4分）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北45（即BAC45）的方向上，行
10、驶600m后到达B处，测得此山顶在北偏东15（即ABC75）的方向上，仰角DBC为30，则此山的高度CD（）A200mB400mC600mD800m【分析】ABC中由正弦定理求得BC的值，RtABC中求出山高CD的值【解答】解：ABC中，BAC45，AB600，ABC75，ACB60，由正弦定理得，BC1200，RtABC中，DBC30，CDBCtanDBC1200400，则山高CD为400m故选：B【点评】本题考查了解三角形的应用问题，从实际问题中抽象出三角形是解题的关键，属基础题8（4分）已知m，n为两条不同的直线，为两个不同的平面，给出下列四个命题，正确的是（）Amn，mnBmn，nma
11、Cm，mDm，m【分析】由线面的位置关系可判断A；由线面平行的性质定理可判断B；由面面平行的性质，可判断C；由线面平行的性质定理和面面垂直的判定定理可判断D【解答】解：m，n为两条不同的直线，为两个不同的平面，mn，m可得n或n，故A错误；mn，n，可得m或n或n与相交，故B错误；m，可得m或m，故C错误；m，由线面平行的性质定理可得过m的平面与的交线l与m平行，由m，可得l，l，可得，故D正确故选：D【点评】本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，考查平行和垂直的判定和性质，以及推理能力，属于基础题9（4分）已知关于x的不等式axb0的解集是2，+），则关于x的不等式ax2+（3ab）x3b
12、0的解集是（）A（，3）（2，+）B（3，2）C（，2）（3，+）D（2，3）【分析】由一元一次不等式求得b2a，且a0；由此化简二次不等式并求出解集【解答】解：由关于x的不等式axb0的解集是2，+），得b2a且a0，则关于x的不等式ax2+（3ab）x3b0可化为x2+x60，即（x+3）（x2）0，解得：x3或x2，所求不等式的解集为：（，3）（2，+）故选：A【点评】本题考查了一元一次不等式的解法以及二次不等式的解法和应用问题，是基础题10（4分）如图为某几何体的三视图，则其体积为（）A+B+4C+D+4【分析】由三视图可知：该几何体为一个圆柱的一半与一个四棱锥【解答】解：由三视图可知
13、：该几何体为一个圆柱的一半与一个四棱锥则体积V+故选：A【点评】本题考查了四棱锥与圆柱的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题11（4分）已知a0，b0，且满足aba+b+3，则a+b的最小值是（）A2B3C5D6【分析】运用三元均值不等式，结合不等式的解法，可得所求最小值【解答】解：a0，b0，且满足aba+b+3，可得ab3，即有ab9，可得a+b6，当且仅当ab3取得等号，则a+b的最小值为6故选：D【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于基础题12（4分）如图，在ABC中，AD为BC边上的高，2，BAC60，AB2，AC3，则的值为（）ABCD【
14、分析】由余弦定理得BC长，利用等面积法求出AD长，进而根据（）（）可得答案【解答】解：如图所示：在ABC中，AD为BC边上的高，BAC60，AB2，AC3，由余弦定理得：BC，三角形面积S23，故AD，又2，故（）（）故选：A【点评】本题考查的知识点是平面向量数量积的性质及其运算，根据已知求出高AD的长，是解答的关键二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分把答案直接填在答题卡中的横线上13（3分）己知9，a1，a2，成等比数列，则a1+a24【分析】由9，a1，a2，成等比数列，得9q3，从而q，由此能求出a1+a2【解答】解：9，a1，a2，成等比数列，9q3，解得q，a1+a293
15、14故答案为：4【点评】本题考查等比数列的两项和的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题14（3分）己知向量（1，m+l），（2，m），若，则m2【分析】根据即可得出m2（m+1）0，解出m即可【解答】解：；m2（m+1）0；m2故答案为：2【点评】考查向量坐标的定义，以及平行向量的坐标关系15（3分）已知在一个长、宽、高分别为3cm、4cm、6cm的封闭长方体形状的铁盒中装有两个大小相同的小钢球，则每个小钢球的最大体积为cm3（不计铁盒各侧面的厚度）【分析】由题意可得，每个小钢球的最大半径为rcm，代入球的体积公式得答案【解答】解：由题意，每个小钢球的最大半径为rcm
16、每个小钢球的最大体积为V故答案为：【点评】本题考查球的体积公式，是基础的计算题16（3分）设0b1+a，若关于x的不等式（xb）2（ax）2的解集中的整数解恰有4个，则实数a的取值范围是（1，2）【分析】将不等式变形为（a+1）xb（a1）x+b0的解集中的整数恰有4个，再由0b1+a 可得，a1，不等式的解集为x1，考查解集端点的范围，解出a的取值范围【解答】解：关于x 的不等式（xb）2（ax）2即 （a21）x2+2bxb20，0b1+a，（a+1）xb（a1）x+b0 的解集中的整数恰有4个，a1，不等式的解集为x1，所以解集里的整数是3，2，1，0 三个43，3a3b4a4，b1+a
17、，3a31+a，a2，综上，1a2故答案为：（1，2）【点评】本题考查一元二次不等式的应用，注意二次项系数的符号，解区间的端点就是对应一元二次方程的根三、解答题：共40分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知平面向量（3，2），（1，0），其中与的夹角为（1）求cos的值；（2）若（+）（2），求实数的值【分析】（1）根据向量的坐标即可求出，这样根据向量夹角的余弦公式即可求出cos的值；（2）可先求出，然后根据即可得出，这样进行数量积的坐标运算即可求出的值【解答】解：（1）；（2），；【点评】考查向量坐标的加法、减法、数乘和数量积的运算，向量夹角的余弦公式，以及向量垂直的充要
18、条件18（10分）己知等差数列an的前n项和为Sn（nN*），bn是首项为2的正项等比数列，且满足b2+b312，b3a1+a4，S44b4（1）求an和bn的通项公式：（2）设数列的前n项和为Tn求证：Tn【分析】（1）等差数列an的公差设为d，公比设为q（q0的正项等比数列，运用等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差、公比，即可得到所求通项公式；（2）求得（），运用数列的裂项相消求和，化简可得所求和，由不等式的性质即可得证【解答】解：（1）等差数列an的公差设为d，前n项和为Sn（nN*），bn是首项为2，公比设为q（q0的正项等比数列，且满足b2+b312，b3a1
19、+a4，S84b4可得2q+2q212，2q22a1+3d，8a1+28d8q3，解得q2（3舍去），d2，a11，可得an2n1，bn2n；（2）证明：（），可得前n项和为Tn（1+）【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的裂项相消求和，以及化简运算能力，属于中档题19（10分）在ABC中，AB2，AC4，点D在边AC上，BDCD，且ADcosABD22CD（1）求cosABD的值；（2）求ABC的面积【分析】（1）设BDCDx，由AC4，得AD4x，继而结合已知条件和余弦定理可求得cosABD的值；（2）在ABD中，由正弦定理可求得sinBAD，继而解出面积
20、【解答】解：（1）设BDCDx，由AC4，得AD4x，ADcosABD22CD，在ABD中，由余弦定理，得，即9x120，解得x，cosABD（2）在ABD中，由正弦定理，得sinBADsinABD，ABC的面积为【点评】本题考查正弦定理和余弦定理，涉及三角形的面积公式，属于中档题20（10分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，CC1平面ABC，AB3，cosA1C1B14/5，连接AB1（1）求证：平面ACC1A1平面ABB1A1（2）线段AC上是否存在点D，使AB1平面BC1D，若存在，请说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由【分析】（1）由余弦定理得BC5，AC4，从而ACAB，
21、由CC1平面ABC，得CC1AC，BB1AC，进而AC平面ABB1A1，由此能证明平面ACC1A1平面ABB1A1（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段AC上存在点D，使AB1平面BC1D，D与C点重合【解答】解：（1）证明：由三棱柱ABCA1B1C1，得cosACBcosA1C1B1，BB1CC1，在ABC中，由余弦定理得：BC2+AC22ACBCcosACBAB2，即BC2+422，解得BC5，或BC，AC4BC，BC5，在ABC中，BC2AB2+AC2，BAC90，ACAB，CC1平面ABC，AC平面ABC，CC1AC，BB1AC
22、，ABBB1B，AC平面ABB1A1，AC平面ACC1，平面ACC1A1平面ABB1A1（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，设线段AC上存在点D，ADt，使AB1平面BC1D，设BB1a，则A（0，0，0），B1（3，0，a），B（3，0，0），D（0，t，0），C1（0，4，a），（3，0，a），（3，t，0），（3，4，a），设平面BC1D的法向量（x，y，z），则，取x1，得（1，），AB1平面BC1D，30解得t4线段AC上存在点D，使AB1平面BC1D，D与C点重合【点评】本题考查面面垂直的证明，考查满足线面平行的点是不存在的判断与证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题
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