1、2018-2019学年四川省自贡市高一（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）过点M（2，a），N（a，4）的直线的斜率为，则a等于（）A8B10C2D42（5分）已知向量（a，2），（1，1+a），若，则实数a的值为（）AB2或1C2或1D23（5分）已知等差数列an的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2（）A4B6C8D104（5分）若A（3，6），B（5，2），C（6，y）三点共线，则y（）A13B13C9D95（5分）设平面向量，若，则等于（）ABCD6（5分）已知an为等比数列
2、，Sn是它的前n项和若a2a32a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5（）A31B32CD7（5分）过点（2，1）且与点（1，3）距离最大的直线方程是（）A2xy30B2x+y50Cx2y0Dx+2y408（5分）若在ABC中，2cosBsinAsinC，则ABC的形状一定是（）A等腰直角三角形B直角三角形C等腰三角形D等边三角形9（5分）已知a，b，cR，那么下列命题中正确的是（）A若ab，则ac2bc2B若，则abC若a3b3且ab0，则D若a2b2且ab0，则10（5分）已知点A（2，3），B（3，2），直线m过P（1，1），且与线段AB相交，求直线m的斜率k的取值范围为（）ABC4k
3、Dk411（5分）如图，位于A处的海面观测站获悉，在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，并在原地等待营救在A处南偏西30且相距20海里的C处有一救援船，其速度为50海里小时，则该船到求助处B的时间为（）分钟A24B36C48D6012（5分）某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告费标准分别是500元/分钟和200元分钟，假设甲、乙两个电视台为该公司做的广告能给公司带来的收益分别为0.4万元/分钟和0.2万元分钟，那么该公司合理分配在甲、乙两个电视台的广告时间，能使公司获得最大的收益是（）万元A72B80C84D90二、填空题
4、（本大题共4小题，每题5分，共20分）13（5分）已知直线l过点P（2，5），且斜率为，则直线l的方程为 14（5分）在ABC中，sinA：sinB：sinC2：3：3，则cosB 15（5分）已知函数f（x）（x1）3+1利用课本中推导等差数列的前n项和的公式的方法，可求得f（5）+f（4）+f（0）+f（6）+f（7）的值为 16（5分）在ABC中，给出如下命题：O是ABC所在平面内一定点，且满足，则O是ABC的垂心；O是ABC所在平面内一定点，动点P满足+（+，0，+），则动点P一定过ABC的重心；O是ABC内一定点，且+，则；若（+）0且（，则
5、ABC为等边三角形，其中正确的命题为 （将所有正确命题的序号都填上）三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）求经过直线l1：3x+4y50与直线l2：2x3y+80的交点M，且满足下列条件的直线方程（1）与直线2x+y+50平行；（2）与直线2x+y+50垂直18（12分）已知关于x的不等式2kx2+kx0（1）若不等式的解集为（，1），求实数k的值；（2）若不等式的解集为R，求实数k的取值范围19（12分）已知向量（4cos，4sin），（3co，3sin），且|2|7（1）求向量、的夹角；（2）求（2）（+）的值20（12分）A
6、BC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且csinBbcosC（1）求角C；（2）若a+b5，且ABC的面积为，求c的值21（12分）设矩形ABCD（ABAD）的周长为24m，把ABC沿AC向ADC折叠，AB折过去后交DC于P，设ABxcm，ADP的面积为f（x）（1）求f（x）的解析式及定义域；（2）求f（x）的最大值22（12分）已知数列an中，a11，a1+2a2+3a3+nanan+1，（nN*）（1）求数列an的通项公式；（2）求数列n2an的前n项和Tn；（3）若对任意的nN*，都有an（n+1）成立，求实数的取值范围2018-2019学年四川省自贡市高一（下）期末数学试卷（
7、理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）过点M（2，a），N（a，4）的直线的斜率为，则a等于（）A8B10C2D4【分析】直接利用斜率公式求解即可【解答】解：过点M（2，a），N（a，4）的直线的斜率为，解得a10故选：B【点评】本题考查直线的斜率公式的求法，基本知识的考查2（5分）已知向量（a，2），（1，1+a），若，则实数a的值为（）AB2或1C2或1D2【分析】根据题意，由向量平行的坐标表示公式可得a（a+1）2，解可得a的值，即可得答案【解答】解：根据题意，向量（a，2），（1，1+a）
8、，若，则有a（a+1）2，解可得a2或1；故选：C【点评】本题考查向量平行的坐标表示方法，关键是得到关于a的方程3（5分）已知等差数列an的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2（）A4B6C8D10【分析】利用已知条件列出关于a1，d的方程，求出a1，代入通项公式即可求得a2【解答】解：a4a1+6，a3a1+4，a1，a3，a4成等比数列，a32a1a4，即（a1+4）2a1（a1+6），解得a18，a2a1+26故选：B【点评】本题考查了等差数列的通项公式和等比数列的定义，比较简单4（5分）若A（3，6），B（5，2），C（6，y）三点共线，则y（）A13B13C9D9【分析】三
9、点共线转化为具有公共点的向量共线，即可得出结论【解答】解：由题意，（8，8），（3，y+6），8（y+6）240，y9，故选：D【点评】本题考查三点共线，考查向量知识的运用，三点共线转化为具有公共点的向量共线是关键5（5分）设平面向量，若，则等于（）ABCD【分析】由向量数量积的性质，结合，可求y，然后结合|即可求解，【解答】解：，若，则1（2）+2y0，y1，（1，3），故选：D【点评】本题主要考查了平面向量数量积性质的坐标表示，属于基础试题6（5分）已知an为等比数列，Sn是它的前n项和若a2a32a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5（）A31B32CD【分析】设等比数列an的公比为q
10、，由已知可得q和a1的值，代入等比数列的求和公式可得【解答】解：设等比数列an的公比为q，则可得a1qa1q22a1，即a4a1q32，又a4与2a7的等差中项为，所以a4+2a7，即2+22q3，解得q，可得a116，故S531故选：A【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，涉及等差数列的性质，属基础题7（5分）过点（2，1）且与点（1，3）距离最大的直线方程是（）A2xy30B2x+y50Cx2y0Dx+2y40【分析】由题意可得要求的直线和这两点间的连线垂直，求出和这两点间的连线的斜率，可得要求直线的斜率，用点斜式求出要求的直线的方程【解答】解：点（2，1）且与点（1，3）连线的斜
11、率为 2，故过点（2，1）且与点（1，3）距离最大的直线和这两点间的连线垂直，故要求的直线的斜率为，故它的方程为 y1（x2），即 x2y0，故选：C【点评】本题主要考查两条直线垂直的性质，用点斜式求直线的方程，属于基础题8（5分）若在ABC中，2cosBsinAsinC，则ABC的形状一定是（）A等腰直角三角形B直角三角形C等腰三角形D等边三角形【分析】由题意和和差角公式易得sin（AB）0，进而可得AB，可判ABC为等腰三角形【解答】解：在ABC中2cosBsinAsinC，2cosBsinAsinCsin（A+B），2cosBsinAsinAcosB+cosAsinB，sinAcosBc
12、osAsinB0，sin（AB）0，AB0，即AB，ABC为等腰三角形，故选：C【点评】本题考查三角形性质的判断，涉及和差角公式的应用，属基础题9（5分）已知a，b，cR，那么下列命题中正确的是（）A若ab，则ac2bc2B若，则abC若a3b3且ab0，则D若a2b2且ab0，则【分析】根据不等式的性质，对A、B、C、D四个选项通过举反例进行一一验证【解答】解：A若ab，则ac2bc2（错），若c0，则A不成立；B若，则ab（错），若c0，则B不成立；C若a3b3且ab0，则（对），若a3b3且ab0，则D若a2b2且ab0，则（错），若，则D不成立故选：C【点评】此题主要考查不等关系与不等
13、式的性质及其应用，例如举反例法求解比较简单10（5分）已知点A（2，3），B（3，2），直线m过P（1，1），且与线段AB相交，求直线m的斜率k的取值范围为（）ABC4kDk4【分析】根据题意，设直线m的方程为y1k（x1），分析可得若直线m与线段AB相交，即A、B在直线的两侧或直线上，则有（3）2k+k1（2）（3）k+k10，解可得k的范围，即可得答案【解答】解：根据题意，直线m过P（1，1），设直线m的方程为y1k（x1），即ykx+k10，若直线m与线段AB相交，即A、B在直线的两侧或直线上，则有（3）2k+k1（2）（3）k+k10，解可得：k或k4；故选：A【点评】本题考查一元二次
14、不等式组表示平面区域的问题，注意直线m与线段AB相交，即A、B在直线的两侧或直线上11（5分）如图，位于A处的海面观测站获悉，在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，并在原地等待营救在A处南偏西30且相距20海里的C处有一救援船，其速度为50海里小时，则该船到求助处B的时间为（）分钟A24B36C48D60【分析】利用余弦定理可求出BC的长度，然后由t60min，求出该船到求助处B的时间【解答】解：由题意知，BAC120，由余弦定理，有BC2AC2+AB22ACABcosBAC400+1600+8002800，BC，该船到求助处B的时间t故选：A【点评】本题考查了解三角形的实际应用，关键
15、是正确分析题意利用余弦定理求出BC的长度，属基础题12（5分）某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告费标准分别是500元/分钟和200元分钟，假设甲、乙两个电视台为该公司做的广告能给公司带来的收益分别为0.4万元/分钟和0.2万元分钟，那么该公司合理分配在甲、乙两个电视台的广告时间，能使公司获得最大的收益是（）万元A72B80C84D90【分析】利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用本题主要考查找出约束条件与目标函数，准确地描画可行域，然后在可行域内求得满足题设的最优解【解答】解：设公司在甲电视台和乙电视台做广
16、告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，由题意得，目标函数为z4000x+2000y二元一次不等式组等价于，作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域如图，作直线l：3000x+2000y0，即3x+2y0平移直线l，从图中可知，当直线l过M点时，目标函数取得最大值联立，解得x100，y200点M的坐标为（100，200）zmax4000x+2000y800000（元）所以该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是80万元故选：B【点评】本题是根据实际问题选择函数类型题，用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数
17、是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解，此题是中档题二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13（5分）已知直线l过点P（2，5），且斜率为，则直线l的方程为3x+4y140【分析】根据直线的点斜式方程求出直线方程即可【解答】解：由题意得：正弦方程是y5（x+2），整理得：3x+4y140，故答案为：3x+4y140【点评】本题考查了直线的点斜式方程，是一道基础题14（5分）在ABC中，sinA：sinB：sinC2：3：3，则cosB【分析】利
18、用正弦定理化简已知的比例式，得到三边之比，设每一份为k，表示出三边，利用余弦定理表示出cosB，将三边长代入，化简即可求出cosB的值【解答】解：由正弦定理化简已知的比例式得：a：b：c2：3：3，设a2k，b3k，c3k，则cosB故答案为：【点评】此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键，属于基础题15（5分）已知函数f（x）（x1）3+1利用课本中推导等差数列的前n项和的公式的方法，可求得f（5）+f（4）+f（0）+f（6）+f（7）的值为13【分析】根据题意，由函数的解析式可得f（2x）（2x）13+1（1x）3+1，进而可得f（x）+f（2x）2，设f（5）+
19、f（4）+f（0）+f（6）+f（7）t，则f（7）+f（6）+f（0）+f（4）+f（5）t，将两个式子相加，分析可得答案【解答】解：根据题意，函数f（x）（x1）3+1，则f（2x）（2x）13+1（1x）3+1，则f（x）+f（2x）2，设f（5）+f（4）+f（0）+f（6）+f（7）t，则f（7）+f（6）+f（0）+f（4）+f（5）t，+可得：2tf（5）+f（7）+f（4）+f（6）+f（0）+f（2）+f（7）+f（5）21326；则f（5）+f（4）+f（0）+f（6）+f（7）13；故答案为：13【点评】本题考查合情推理的应用，涉及等差数列的求和，属于基础题16（5分）在
20、ABC中，给出如下命题：O是ABC所在平面内一定点，且满足，则O是ABC的垂心；O是ABC所在平面内一定点，动点P满足+（+，0，+），则动点P一定过ABC的重心；O是ABC内一定点，且+，则；若（+）0且（，则ABC为等边三角形，其中正确的命题为（将所有正确命题的序号都填上）【分析】由平面向量数量积的性质及运算，逐一检验可得解【解答】解：对于选项，因为，所以（）0，即0，即，同理，即O是ABC的垂心，即正确，对于选项，因为+（+，0，+），所以（），取AB中点D，则，则动点P一定过ABC的重心，即正确，对于选项，因为O是ABC内一定点，且+，则O为ABC的重心，则则，即错误，对于选项，（+）
21、0，所以BAC的内角平分线垂直BC，即ABAC，又，即BAC，即ABC为等边三角形，即正确，综上可知：正确的命题为，故答案为：【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及运算，属难度较大的题型三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）求经过直线l1：3x+4y50与直线l2：2x3y+80的交点M，且满足下列条件的直线方程（1）与直线2x+y+50平行；（2）与直线2x+y+50垂直【分析】先求出已知两直线的交点坐标，（1）根据平行关系求出所求直线的斜率，点斜式斜直线的方程，并化为一般式（2）根据垂直关系求出求直线的斜率，点斜式斜直线的方程，并化为一般
22、式【解答】解：由 ，解得 ，所以，交点M（1，2）（1）斜率 k2，由点斜式求得所求直线方程为 y22（x+1），即 2x+y0（2）斜率 ，由点斜式求得所求直线方程为 y2（x+1），即 x2y+50【点评】本题考查求两直线的交点坐标的方法，两直线平行、垂直的性质，直线的点斜式方程18（12分）已知关于x的不等式2kx2+kx0（1）若不等式的解集为（，1），求实数k的值；（2）若不等式的解集为R，求实数k的取值范围【分析】（1）由题意可得和1是2kx2+kx0 的两个实数根，由韦达定理求得k的值（2）由题意可得k0，或 ，由此求得k的范围【解答】解：（1）若关于x的不等式2kx
23、2+kx0 的解集为（，1），则和1是2kx2+kx0 的两个实数根，由韦达定理可得1，求得k（2）若关于x的不等式2kx2+kx0解集为R，则 k0，或 ，求得k0或3k0，故实数k的取值范围为（3，0【点评】本题主要考查一元二次不等式的解法，一元二次不等式与对应的二次函数的关系，属于基础题19（12分）已知向量（4cos，4sin），（3co，3sin），且|2|7（1）求向量、的夹角；（2）求（2）（+）的值【分析】（1）由题意求出|、|和，再计算向量、的夹角；（2）由题意计算平面向量的数量积即可【解答】解：（1）向量（4cos，4sin），（3co，3sin），|4，|3，又|2|7，
24、44+49，4416+94924，6；cos，又0，向量、的夹角为；（2）由（1），|4，|3，6，（2）（+）2+2169+629【点评】本题考查了平面向量的数量积与模长和夹角的计算问题，是基础题20（12分）ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且csinBbcosC（1）求角C；（2）若a+b5，且ABC的面积为，求c的值【分析】（1）利用正弦定理可将csinBbcosC，化为sinCsinBsinBcosC，从而得到tanC，进一步求出C的值；（2）根据ABC的面积为，可求出ab的值，再利用余弦定理可得c的值【解答】解：（1）csinBbcosC，sinCsinBsinBco
25、sC，sinB0，sinCcosC，tanC，在ABC中C；（2）ABC的面积为，ab6，由余弦定理，有c2a2+b2+2abcosC（a+b）22ab2abcosC251266，c【点评】本题考查了正弦定理，余弦定理和面积公式，考查了转化思想和计算能力，属中档题21（12分）设矩形ABCD（ABAD）的周长为24m，把ABC沿AC向ADC折叠，AB折过去后交DC于P，设ABxcm，ADP的面积为f（x）（1）求f（x）的解析式及定义域；（2）求f（x）的最大值【分析】（1）设ABx，则AD12x，利用勾股定理得到PD，再根据三角形的性质和面积公式可以求得定义域和解析式；（2）在（1）的基础上
26、利用基本不等式可以求得最大值【解答】解：（1）设ABx，则AD12x，又DPPB，APABPBABDP，即APxDP，（12x）2+PD2（xPD）2，得PD12，ABAD，6x12，ADP的面积f（x）（6x12）（2）由（1）可得，f（x）1086（）10872，当且仅当x，即x时取等号，f（x）的最大值为10872，此时x6【点评】本题考查了三角形面积公式和基本不等式的性质的运用，属于中档题22（12分）已知数列an中，a11，a1+2a2+3a3+nanan+1，（nN*）（1）求数列an的通项公式；（2）求数列n2an的前n项和Tn；（3）若对任意的nN*，都有an（n+1）成立，求
27、实数的取值范围【分析】（1）令n1求得a2，再将n换为n1，结合等比数列的定义，可得所求通项公式；（2）求得n2an3n4n2，n2，再由数列的错位相减法求和，可得所求和；（3）由题意可得对任意的nN*，都有an（n+1）成立，即为的最小值，判断的单调性，可得所求范围【解答】解：（1）数列an中，a11，a1+2a2+3a3+nanan+1，（nN*）可得n1时，a1a2，即a2，n2时，a1+2a2+3a3+（n1）an1an，又a1+2a2+3a3+nanan+1，两式相减可得nanan+1an，化为（n+1）an+14nan，n2，可得nan2a24n234n2，即an，n2，综上可得an；（2）n2an3n4n2，n2，则前n项和Tn1+3（21+34+416+n4n2），4Tn4+3（24+316+464+n4n1），相减可得3Tn3+3（2+4+16+4n2n4n1）33n4n1，化为Tn；（3）对任意的nN*，都有an（n+1）成立，即为的最小值，由n1可得，1，可得n2时，递增，当n1或2时，取得最小值，则【点评】本题首先考查等差数列、等比数列的基本量、通项，结合含两个变量的不等式的处理问题，对数学思维的要求比较高，要注意错位相减求和法和转化与化归思想的合理运用，本题有一定的探索性综合性强，难度大，易出错
浙公网安备33030202001339号