2019年中考数学最后一轮复习（压轴训练）：四边形综合（附解析）

1、2019年中考数学最后一轮复习（压轴训练）：四边形综合1如图，矩形ABCD（ABAD）中，点M是边DC上的一点，点P是射线CB上的动点，连接AM，AP，且DAP2AMD（1）若APC76，则DAM ；（2）猜想APC与DAM的数量关系为 ，并进行证明；（3）如图1，若点M为DC的中点，求证：2ADBP+AP；（4）如图2，当AMPAPM时，若CP15，时，则线段MC的长为 2如图，在四边形ABCD中，ADBC，B90，AD24cm，AB8cm，BC26cm，动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动；Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到

2、达端点时，另外一点也随之停止运动（1）当运动时间为t秒时，用含t的代数式表示以下线段的长：AP BQ ；（2）当运动时间为多少秒时，四边形PQCD为平行四边形？（3）当运动时间为多少秒时，四边形ABQP为矩形？3在四边形ABCD中，点E是线段AC上一点，BECD，BECBAD（1）如图1已知ABAD；找出图中与DAC相等的角，并给出证明；求证：AECD；（2）如图2，若BCED，BEC45，求tanABE的值4如图，已知ABC，ABC90，ABBC，AC4，点E为直线AC上一点，以BE为边，点B为直角顶点作等腰直角三角形BEF（1）如图，当点E在线段AC上时，EF交BC于点D，连接CF；找出一

3、对全等三角形为 ；若四边形ABFC的面积为7，则AE的长是 （2）如图，当点E在AC的延长线上时，BE交CF于点DCDE的面积记为m，BDF的面积记为n，探究m、n之间的数量关系并说明理由；当CDE的面积为1时，求AE的长5如图，正方形ABCD的边长为2，O是BC边的中点，P是正方形内一动点，且OP2，连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转90到DQ，连接AP，CQ（1）直接写出线段AP和CQ的关系（2）当A，O，P三点共线时，求线段DP的长（3）连接PQ，求线段PQ的最小值6如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEF

4、G（1）连接GD，求证：ADGABE；（2）连接FC，观察并直接写出FCN的度数（不要写出解答过程）（3）如图（2），将图中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB6，BC8，E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上判断当点E由B向C运动时，FCN的大小是否总保持不变，若FCN的大小不变，请求出tanFCN的值若FCN的大小发生改变，请举例说明7定义：长宽比为：1（n为正整数）的矩形称为矩形下面，我们通过折叠的方式折出一个矩形，如图a所示操作1：将正方形ABEF沿过点A的直线折叠，使折叠后的点B落在对角线AE上的点G处，折痕为AH

5、操作2：将FE沿过点G的直线折叠，使点F、点E分别落在边AF、BE上，折痕为CD则四边形ABCD为矩形（1）证明：四边形ABCD为矩形；（2）点M是边AB上一动点如图b，O是对角线AC的中点，若点N在边BC上，OMON，连接MN求tanOMN的值；连接CM，作BRCM，垂足为R若AB，求DR的最小值8如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A在x轴上，点C在y轴上，点B的坐标为（8，4），动点D从点O向点A以每秒两个单位的速度运动，动点E从点C向点O以每秒一个单位的速度运动，设D、E两点同时出发，运动时间为t秒，将ODE沿DE翻折得到FDE（1）若四边形ODFE为正方形，求t的值；（2）若

6、t2，试证明A、F、C三点在同一直线上；（3）是否存在实数t，使BDE的面积最小？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由9已知：RtEFP和矩形ABCD如图摆放（点P与点B重合），点F，B（P），C在同一直线上，ABEF6cm，BCFP8cm，EFP90，如图，EFP从图的位置出发，沿BC方向匀速运动，速度为1cm/s，EP与AB交于点G，与BD交于点K；同时，点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为1cm/s过点Q作QMBD，垂足为H，交AD于点M，连接AF，PQ，当点Q停止运动时，EFP也停止运动设运动事件为（s）（0t6），解答下列问题：（1）当为何值时，PQBD？（2）在运动过程中

7、，是否存在某一时刻，使S五边形AFPQM：S矩形ABCD9：8？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由（3）在运动过程中，当t为 秒时，PQPE10（1）问题发现如图1，ACB和DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接BE填空：AEB的度数为 ；线段AD、BE之间的数量关系为 （2）拓展研究如图2，ACB和DCE均为等腰直角三角形，ACBDCE90，点A、D、E在同一条直线上，CM为DCE中DE边上的高，连接BE，请判断AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由（3）解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD2，若点P满足PD2，且BPD90，请直接写出点A到B

8、P的距离11课题学习：矩形折纸中的数学实践操作折纸不仅是一项有趣的活动，也是一项益智的数学活动数学课上，老师给出这样一道题将矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折，使点B落在矩形所在平面内，BC和AD相交于点E，如图1所示探素发现（1）在图1中，请猜想并证明AE和EC的数量关系；连接BD，请猜想并证明BD和AC的位置关系；（2）第1小组的同学发现，图1中，将矩形ABCD沿对角线AC翻折所得到的图形是轴对称图形若沿对称轴EF再次翻折所得到的图形仍是轴对称图形，展开后如图2所示，请你直接写出该矩形纸片的长、宽之比；（3）若将图1中的矩形变为平行四边形时（ABBC），如图3所示，（1）中的结论和结论是否仍

9、然成立，请直接写出你的判断拓展应用（4）在图3中，若B30，AB2，请您直接写出：当BC的长度为多少时，ABD恰好为直角三角形12已知矩形ABCD，作ABC的平分线交AD边于点M，作BMD的平分线交CD边于点N（1）若N为CD的中点，如图1，求证：BMAD+DM；（2）若N与C点重合，如图2，求tanMCD的值；（3）若，AB6，如图3，求BC的长13如图，在RtABC中，ACB90，AC3，BC4，点D为AB边上一点，且AD1，点P从点C出发，沿射线CA以每秒1个单位长度的速度运动，以CP、DP为邻边作CPDE设CPDE和ABC重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P的运动时间为t（秒）（t

10、0）（1）连结CD，求CD的长；（2）当CPDE为菱形时，求t的值；（3）求S与t之间的函数关系式；（4）将线段CD沿直线CE翻折得到线段CD当点D落在ABC的边上时，直接写出t的值14如图，在矩形ABCD中，AB4，BC5，E是BC边上的一个动点，DFAE，垂足为点F，连结CF（1）若AEBC求证：ABEDFA；求四边形CDFE的周长；求tanFCE的值；（2）探究：当BE为何值时，CDF是等腰三角形15如图，在平面直角坐标系xOy中有矩形OABC，A（4，0），C（0，2），将矩形OABC绕原点O逆时针旋转得到矩形OABC（）如图1，当点A首次落在BC上时，求旋转角；（）在（）的条件下，求

11、点B的坐标；（）如图2，当点B首次落在x轴上时，直接写出此时点A的坐标16我们定义：有一组对角为直角的四边形叫做“对直角四边形”如图1，四边形ABCD中，AC90，则四边形ABCD是“对直角四边形”（1）“对角线相等的对直角四边形是矩形”是 命题；（填“真”或“假”）（2）如图2，在对直角四边形ABCD中，DAB90，AD+CDAB+BC试说明ADC的面积与ABC的面积相等；（3）如图3，在ABC中，C90，AC6，BC8，过AB的中点D作射线DPAC，交BC于点O，BDP与ADP的角平分线分别交BC，AC于点E、F图中是“对直角四边形”的是 ；当OP的长是 时，四边形DEPF为对直角四边形参

12、考答案1解：（1）ADCP，APC76，DAP104，DAP2AMD，AMD52，又D90，DAM38，故答案为：38；（2）APC2DAM，理由如下：四边形ABCD是矩形，D90，ADBC，点P是射线BC上的点，ADCP，DAP+APC180，DAP2AMD，2AMD+APC180，在RtAMD中，D90，AMD90DAM，2（90DAM）+APC180，APC2DAM，故答案为：APC2DAM；（3）如图1，延长AM交BC的延长线于点E，延长BP到F，使PFAP，连接AF，四边形ABCD是矩形，ADBC，ADBC，ABC90，ADBE，ABBE，DAME，M是DC中点，DMCM，又12，A

13、MDEMC（AAS），ADCE，BEBC+CE2AD，APC2DAM，APC2E，PAPF，PAFF，APC2F，EF，AEAF，又ABBE，BEBF，又BFBP+PFBP+AP，2ADBP+AP；（4）如图2，延长MD到点E，使DEMD，连接AE，过点E作EFMA于点F， 设AM3x，AD2x，则DMDEx，AEAP3x，AMDEMF，ADMEFM90，ADMEFM，即，解得EFx，AFx，DEMD，ADCE，AMEAEM，则EAF2AMD，ADBC，DAP2AMD，APBDAP2AMD，EAFAPB，又EFAB90，AEAP，EAFAPB（AAS），PBAFx，由ADBC得x+152x，解

14、得x9，AB12，MCDCDMABDM3，故答案为：32解：（1）由题意知APt，BQ263t，故答案为：t，263t；（2）由题意可得：PDADAP24t，QC3t，ADBC，PDQC，设当运动时间为t秒时PDQC，此时四边形PQCD为平行四边形由PDQC得，24t3t，解得t6，当运动时间为6秒时，四边形PQCD为平行四边形（3）ADBC，APBQ，设当运动时间为t秒时APBQ，四边形ABQP为平行四边形由APBQ得：t263t，解得：t，又B90平行四边形ABQP为矩形当运动时间为秒时，四边形ABQP为矩形3解：（1）ABECAD，理由如下：以D为圆心，DC为半径画圆，交AC于F，连接D

15、F，则CDDF，DFCDCF，BECD，BECFCD，BECDFC，AEBAFD，BECBAE+ABE，BADBAE+DAF，BECBAD，ABEDAF，在ABE和DAF中，ABEDAF（AAS），ABECAD，ABEDAF，AEDF，CDDF，AECD；（3）过点D作DGCD交AC于点G，BECD，DCABEC45，AEBDGA135，DGDC，AEBDGA，ABEDAG，ABEDAG，BCDE，BECD，四边形BCDE为平行四边形，BECD，过点A作AH垂直于BE交BE的延长线于点H，设AHEHm，则AEm，DGCDBE2m，BHBE+EH2m+m，tanABE4解：（1）ABECBF理由

16、如下：ABCEBF90，ABECBF，且ACBC，EBBFABECBF（SAS）故答案为：ABECBF如图，过点B作BMAC于M，ABC90，ABBC，AC4，BMAC，AMCMBM2SABC424S四边形ABFC7SCBF3SABM，3AE3故答案为：3（2）4+mn理由如下：ABECBFSABESCBF，SABC+SCBD+SCDESCBD+SBDF，4+mnCDE的面积为1，m+4nn5SBDE5，如图，过点B作BGAC，BHFC，ABECBFAECF，ABCH45ACB，且BGAC，BHFC，BGBH2，ACF90SBDE5，DFBH5DF5，设CEx，则AE4+xCF，CD4+x5x

17、1SCDECDCE11x（x1）x2，x1（舍去）AE2+x6，5解：（1）APCQ，APCQ；理由如下：延长QC、AP交于点E，AP的延长线交BC于F，如图1所示：四边形ABCD是正方形，ADCD，ADCBCD90，ADBC，由旋转的性质得：PDQ90，DPDQ，ADPCDQ，在ADP和CDQ中，ADPCDQ（SAS），APCQ，DAPDCQ，BCD90，DCQ+ECF90，ADBC，DAPCFE，CFE+ECF90，CEF90，AEQE，APCQ；（2）作DHAP于H，如图2所示：O是BC边的中点，OBBC，当A，O，P三点共线时，由勾股定理得：AO5，四边形ABCD是正方形，B90，AD

18、BC，DAHBOA，sinDAHsinBOA，cosDAHcosBOA，DHADsinDAH24，AHADcosDAH22，PHAOAHOP5221，DP；（3）连接OD，如图3所示：DQDP，PDQ90，PQDP，OD5，OP+DPOD，DPODOP523，PQ3，线段PQ的最小值为36（1）证明：四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，ABAD，AEAGEF，BADEAGADC90，BAE+EADDAG+EAD，ADG90ABE，BAEDAG，在ADG和ABE中，ADGABE（AAS）（2）解：FCN45，理由如下：作FHMN于H，如图1所示：则EHF90ABE，AEFABE90，BAE+

19、AEB90，FEH+AEB90，FEHBAE，在EFH和ABE中，EFHABE（AAS），FHBE，EHABBC，CHBEFH，FHC90，FCN45（3）解：当点E由B向C运动时，FCN的大小总保持不变，理由如下：作FHMN于H，如图2所示：由已知可得EAGBADAEF90，结合（1）（2）得：EFHGAD，EFHABE，EHADBC8，CHBE，；在RtFEH中，tanFCN，当点E由B向C运动时，FCN的大小总保持不变，tanFCN7（1）证明：设正方形ABEF的边长为a，AE是正方形ABEF的对角线，DAG45，由折叠性质可知AGABa，FDCADC90，则四边形ABCD为矩形，ADG

20、是等腰直角三角形，ADDG，AB：ADa：1，四边形ABCD为矩形；（2）解：作OPAB，OQBC，垂足分别为P，Q，如图b所示：四边形ABCD是矩形，B90，四边形BQOP是矩形POQ90，OPBC，OQAB，O为AC中点，OPBC，OQAB，MON90，QONPOM，RtQONRtPOM，tanOMN；如图c所示：四边形ABCD为矩形，AB，BCAD1，BRCM，点R在以BC为直径的圆上，记BC的中点为I，CIBC，DR最小8（1）解：矩形OABC中，B（8，4），OA8，OC4，四边形ODEF为正方形，OEDF，OEDF，ODE沿DE翻折得到FDE，ODDF，OD2t，OE4t，2t4t

21、，t；（2）证明：连接AC，作OGAC于G，如图1所示：t2，OEBE2，ODDE4，DE是OAC的中位线，DEAC，且DEAC，DE垂直平分OF，由折叠的性质得：DE垂直平分OF，G与F点重合，即A、C、F三点在同一条直线；（3）解：存在，理由如下：如图2所示：SBDESABCSBCESABDSODE32t84（82t）2t（4t）324t16+4t4t+t2t24t+16（t2）2+12，t2时，SBDE有最小值为12；即存在实数t，使BDE的面积最小，t2秒9解：（1）PQBD，解得t，当t时，PQBD（2）假设存在S五边形AFPQMSABF+S矩形ABCDSPQCSMQD（8t）6+6

22、8（8t）t（6t）（6t）t2t+又S五边形AFPQM：S矩形ABCD9：8，（t2t+）：489：8，整理得：t220t+360，解得t2或18（舍弃），t2s时，S五边形AFPQM：S矩形ABCD9：8（3）PQPE，QPE90，EFPC90，EPF+QPC90，QPC+PQC90，EPFPQC，EPFPQC，解得t，当t时，PQPE故答案为10解：问题发现（1）ACB和DCE均为等边三角形，ACBC，DCCE，ACBDCECDE60CED点A、D、E在同一条直线上，ADC120ACBDCBDCEDCBACDBCE，且ACBC，DCCEACDBCE（SAS）ADCCEB120ABECEB

23、CED60ACDBCEADBE故答案为：60，ADBE（2）拓展研究：猜想：AEB90，AEBE+2CM理由：如图2，ACB和DCE均为等腰直角三角形，CACB，CDCE，ACBDCE90ACDBCE且ACBC，CDCEACDBCE（SAS）ADBE，ADCBECDCE为等腰直角三角形，CDECED45点A，D，E在同一直线上，ADC135BEC135AEBBECCED90CDCE，CMDE，DMMEDCE90，DMMECMAEAD+DEBE+2CM解决问题：（3）点P满足PD2，点P在以D为圆心，2为半径的圆上，BPD90，点P在以BD为直径的圆上，如图，点P是两圆的交点，若点P在AD上方，

24、连接AP，过点A作AHBP，CD2BC，BCD90BD4，BPD90BP2BPD90BAD点A，点B，点D，点P四点共圆APBADB45，且AHBPHAPAPH45AHHP在RtAHB中，AB2AH2+BH2，8AH2+（2AH）2，AH+1（不合题意），或AH1若点P在CD的右侧，同理可得AH+1综上所述：点A到BP的距离为： +1或111解：（1）如图1中，结论：EAEC理由：四边形ABCD是矩形，ADBC，EACACB，由翻折可知：ACBACE，EACECA，EAEC连接DB结论：DBACEAEC，EACECA，ADBCCB，EDEB，EBDEDB，AECDEB，EBDEAC，DBAC（

25、2）如图2中，当AB：AD1：1时，四边形ABCD是正方形，BACCADEAB45，AEAE，BAFE90，AEBAEF（AAS），ABAF，此时四边形AFEB是轴对称图形，符合题意当AD：AB时，也符合题意，此时DAC30，AC2CD，AFFCCDABAB，此时四边形AFEB是轴对称图形，符合题意（3）如图3中，当四边形ABCD是平行四边形时，仍然有EAEC，DBAC理由：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，EACACB，由翻折可知：ACBACE，EACECA，EAECEAEC，EACECA，ADBCCB，EDEB，EBDEDB，AECDEB，EBDEAC，DBAC（4）如图31中，当AB

26、C90时，易证BAC90，BC如图32中，当ADB90时，易证ACB90，BCABcos30如图33中，当DAB90时，易证BACB30，BC2ABcos302如图34中，当DAB90时，易证：BCAB30，BC，综上所述，满足条件的BC的长为或或2或12（1）证明：如图1，延长MN、BC交于点E，四边形ABCD是矩形，ADBC，ADBC，ABC90，DNCE，DMNNEC，N是DC的中点，DNCN，DNMCNE（AAS），DMCE，BM平分ABC，ABC90，ABMMBE45，ADBC，AMBEBM45，BMD18045135，MN平分BMD，BMNDMN67.5，EDMN67.5，BMNE

27、67.5，BMBEBC+CEAD+DM；（2）解：如图2，当N与C重合时，由（1）知：BMCDMNBCM，BCBM，设ABx，则BMBCx，ADBC，DMxx，RtDMC中，tanMCD1；（3）解：如图3，延长MN、BC交于点G，四边形ABCD是矩形，CDAB6，CN2，DN4，ABM是等腰直角三角形，BM6，由（1）知：BMBG6，DMCG，DMNCGN，2，设CGm，则DM2m，66+2m+m，m22，BC6+2m2+413解：（1）过点D作DFAC于点F如图1中在RtABC中，ACB90，AB5，DFBC，AFDACB，AF，DF，CFACAF3，在RtCDF中，CFD90，CD（2）

28、当CPDE为菱形时，如图2中，连接BP交CD于O四边形PCED是菱形，PDPC，BDBC1，PB垂直平分线段CD，点E在直线PB上，CPO+PCO90，CPB+PBC90，PCOPBC，POCPCB，COPBCP，t（3）当0t时，如图3中，重叠部分是四边形PCEDStt当t3时，如图4中，重叠部分是四边形PCFDS（4+t）t+当t3时，如图 5中，重叠部分是四边形ACFD，S（4+3）综上所述，S（4）如图6中，当点D落在AB上时，延长CE交AB于O，易知OCAB，OCAO，ODOAAD，DEAC，DE，此时t，如图7中，当点D落在BC上时，延长DE交BC于F，作OMBC于M，ONCD于N

29、DCOOCB，ONCD，OMCB，ONOM，SDCBSCDO+SBCO，4ON+4OM，OM，OMAC，BM，CM，EFOM，可得EF，CPDE，此时t，综上所述，满足条件的t的值为s或s14解：（1）如图1中，四边形ABCD是矩形，ADBC，ADBC，B90，AEBDAFDFAE，AFD90BAFD90，又AEBC，AEAD，ABEDFA（AAS）如图1中，在RtABE中，B90，根据勾股定理，得 BE3，ABEDFA，DFABDC4，AFBE3AEBC5，EFEC2，四边形CDFE的周长2（DC+EC）2（4+2）12如图2中，过点F作FMBC于点MsinAEB，cosAEB，在RtFME

30、中，FMEF，MEEF，MCME+EC+2，在RtFMC中，tanFCE（2）如图31中，当DFDC时，则DFDCAB4AEBDAF，BAFD90，ABEDFA（AAS）AEAD5，由可知，BE3，当BE3时，CDF是等腰三角形（11分）如图32中，当CFCD时，过点C作CGDF，垂足为点H，交AD于点G，则CGAE，DHFHAGGD2.5CGAE，AGEC，四边形AECG是平行四边形，ECAG2.5，当BE2.5时，CDF是等腰三角形（13分）如图3中，当FCFD时，过点F作FQDC，垂足为点Q则ADFQBC，DQCQ，AFFEAEBAFD90，AEBDAF，ABEDFA，即ADBEAFAE

31、设BEx，5x，解得x12，x28（不符合题意，舍去）当BE2时，CDF是等腰三角形综上所述，当BE为3或2.5或2时，CDF是等腰三角形15解：（）A（4，0），C（0，2），OA4，OC2，由旋转的性质得：OAOA4，四边形OABC是矩形，OCB90，OABC，在RtOCA中，OCOA，OAC30，OABC，AOAOAC30，即当点A首次落在BC上时，旋转角为30；（）由矩形和旋转的性质得：OAOA4，ABABOC2，作BEBC于E，如图1所示：BCAO，OACAOA30，BAE60，BEsinBAEBB2，EAcosBAEBB21，ACcosOACOA42，CECAEA21，B的纵坐标为

32、：2+，点B的坐标为：（21，2+）；（）过点A作AFx轴于F，如图2所示：BAO90，AFBO，BO2，AFO90，AOFBOA，BAOAFO，即，解得：OF，AF，点A的坐标为（，）16（1）解：结论：真理由：如图11中，BADBCD90，A，B，C，D四点共圆，BD是O的直径，ACBD，AC也是O的直径，ADCABC90，四边形ABCD是矩形故答案为真（2）证明：如图2中，四边形ABCD是对直角四边形，DAB90，DB90，AD2+DC2AC2，AB2+BC2AC2，AD2+DC2AB2+BC2，AD+DCAB+BC（AD+DC）2（AB+BC）2，即：AD2+2ADDC+DC2AB2+

33、2ABBC+BC2，2ADDC2ABBC，ADDCABBC，即：SADCSABC（3）结论：四边形ECFD 是“对直角四边形”理由：如图3中，DE平分BDP，DF平分ADP，EDPBDP，FDPADP，EDF（BDP+ADP）90，C90，四边形ECFD是“对直角四边形”故答案为四边形ECFD如图3中，当OP2时，四边形DEPF是“对直角四边形”理由：在RtABC中，C90，BC8，AC6，AB10，BDAD5，DPAC，OBOC，ODAC3，OP2，DP5，PDFDFAADF，ADAF5，DPAF，DPAF，四边形ADPF是平行四边形，ADPF，DPDB，DEDE，EDBEDP，EDBEDP（SAS），DPEB，EPFDPE+DPFB+A90，EDF90，四边形DEPF是“对直角四边形”故答案为2