2019年中考数学三轮复习（压轴训练）：二次函数的综合（含答案）

1、2019年中考数学三轮复习（压轴训练）：二次函数的综合1如图1，抛物线l1：y1a（x2）2与直线l2：y2am（x2）+b（a，m，b为常数，a0，m0）交于A，B两点，直线l2交x轴交于点C点A的坐标为（m+2，n）（1）若a1，m3，则A的坐标为（1，9），b18，点B的坐标为（8，36）；（2）已知点M（0，4），N（3，4），抛物线l1与线段MN有两个公共点，求a的取值范围；（3）如图1，求证：AB3AC；如图2，设抛物线顶点为F，直线l2交抛物线的对称轴于点D，直线l3：y32am（x2）+d（d为常数，d0）经过点A，并交抛物线的对称轴于点E，若BFDpAED（p为常数），则p的

2、值是否发生变化？若不变，请求出p的值；若变化，请说明理由解：（1）由题意，a1，m3，代入y1，y2得y1（x2）2，y23（x2）+b点A（m+2，n）A（1，n）代入y1得n（12）2，解得n9则A（1，9）将点A代入y2得，93（12）+b，解得b18故y23（x2）18y1与y2交于A、B两点3（x2）18（x2）2，解得x1或x8，将x8代入y1得，y1（82）236故B的坐标为（8，36）故答案为：（1，9）；18；（8，36）（2）如图3，要使抛物线l1与线段MN有两个公共点，由图象可知a0，点M（0，4），N（3，4），解得a4（3）将A（m+2，n）代入y1得n（m+22）2

3、，得nam2，同理，再将A（m+2，am2）代入y2得b2am2，即y2am（x2）+2am2，令y20得，点C坐标为（2m+2，0）y1与y2交于A、B两点a（x2）2am（x2）+2am可令tx2又a0原方程可化为：at2amt+2amt2+mt2m0解得tm或t2mx2m或x22m得xm+2或x2m+2将x2m+2代入y1得y1a（2m+22）24am2故点B的坐标为（2m+2，4am2）分别过点A、B作x轴的垂线AM，BN如图1，AMx轴，BNx轴，AMBNCM2m+2（m+2）mMN（2m+2）（m+2）3mAB3ACP值不变，理由如下由知A（m+2，am2），代入y3得，am22a

4、m（m+22）+d，解得dam2则y32am（x2）am2y3与对称轴x2交于点E点E的坐纵坐标为y32am（22）am2am2点E的坐标为（2，am2）如图2，过点A，点B作AGFD交于G，BHFH交于点H点B坐标为（2m+2，4am2）BH|2m+22|2m|，FH|4am2|AG|m+22|m|，EG|am2am2|2am2|tanAEDtanBFDtanAEDtanBFDp1不变2如图，直线与x轴、y轴分别交于BC两点，抛物线经过B、C两点，且与x轴交于点A（1）求该抛物线的函数表达式；（2）已知点M是第一象限内抛物线上的一个动点，过点M作MN平行于y轴交直线BC于点N，连接AM、BM

5、、AN，求四边形MANB面积S的最大值，并求出此时点M的坐标；（3）抛物线的对称轴交直线BC于点D，若Q为y轴上一点，则在抛物线上是否存在一点P，使得以B、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）由x20得x5，B（5，0），令x0，得y2，C（0，2），由题意得：，解得，抛物线解析式为 y（2）如图1，设M（t，），N（t，），MN（）t2+2tS四边形MANBSAMN+SBMNAGMN+BGMNMN（AG+BG）MNAB4（t2+2t），当t时，S四边形MANB的最大值5，此时点M（，）（3）存在由为 y，抛物线对称轴x3对称轴交x轴

6、于F，以BD为边，PQ在BC上方，如图2，D（3，），F（3，0），四边形BDQP是平行四边形，BDPQ，BDPQ，过点P作PHy轴于H，PHQBFD90，PQHBCOBDF，PQHBDF，PHBF2，HQFD，P（2，）以BD为边，PQ在BC下方，如图3，仿照可求得P（2，），以BD为平行四边形对角线，如图4，设BD中点为S，则S（4，），BPDQ是平行四边形，BD与PQ互相平分，SQSP，S是PQ中点，设Q（0，m），P（a，），a8，P（8，）综上所述，点P坐标为（2，）或（2，）或（8，）3如图，已知抛物线yx2+bx+c与x轴交于原点O和点A（6，0），抛物线的顶点为B（1）求该抛物

7、线的解析式和顶点B的坐标；（2）若动点P从原点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿线段OB运动，设点P运动的时间为t（s）问当t为何值时，OPA是直角三角形？（3）若同时有一动点M从点A出发，以2个长度单位的速度沿线段AO运动，当P、M其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动设它们的运动时间为t（s），连接MP，当t为何值时，四边形ABPM的面积最小？并求此最小值解：（1）将O（0，0），A（6，0）代入yx2+bx+c，得：，解得：，该抛物线的解析式为yx2+2xyx2+2x（x3）2+3，顶点B的坐标为（3，3）（2）设直线OB的解析式为ykx，将B（3，3）代入ykx，得：33k，解得：

8、k，直线OB的解析式为yx过点P作PCx轴于点C，如图1所示设点P的坐标为（x， x），则点C的坐标为（x，0）tanPOC，POC60当APO90，则cosPOC，OP3OP1t3，t3（3）当运动时间为t时，OPt，AM2t，PCt，PCt，OM62t当P、M其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动，0t3S四边形ABPMSABOSPOM，OAyBOMPC，63（62t）t，t2t+9，（t）2+0，当t时，四边形ABPM的面积取最小值，最小值为4如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），动点A以每秒1个单位长的速度，从点O出发沿x轴的正方向运动，M是线段AC的中点将线段AM以点

9、A为中心，沿顺时针方向旋转90，得到线段AB过点B作x轴的垂线，垂足为E，过点C作y轴的垂线，交直线BE于点D设运动时间为t秒（1）求证：COAAEB；（2）设BCD的面积为S当t为何值时，S；（3）连接MB，当MBOA时，如果抛物线yax210ax的顶点在ABM的内部（不包括边），求a的取值范围解：（1）CAO+BAE90，ABE+BAE90，CAOABE，COAAEB90，CAOABE；（2）由RtCAORtABE可知：BE，AE2当0t8时，SCDBD（2+t）（4），t1t23，当t8时，SCDBD（2+t）（4），t13+5，t235（为负数，舍去），当t3或3+5时，S；（3）过M

10、作MNx轴于N，则MNCO2当MBOA时，BEMN2，OA2BE4抛物线yax210ax的顶点坐标为（5，25a）它的顶点在直线x5上移动直线x5交MB于点（5，2），交AB于点（5，1）125a2a5如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2x+c交x轴于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（1，0），交y轴于点C（1）求该抛物线的解析式；（2）已知点P为抛物线上一点，直线PC与x轴交于点Q，使得PQCQ，求P点坐标；（3）若点M是抛物线对称轴上一点，点N是平面内一点，是否存在以A，C，M，N为顶点的矩形？若存在，请直接写出N点的坐标；若不存在

11、，请说明理由解：（1）把点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（1，0）代入yax2x+c得，解得：，该抛物线的解析式为yx2x+4；（2）点P为抛物线上一点，设P（m，m2m+4），作PHx轴于H，PHOC，QCOQPH，解得：m1，m2，m3，m4，P点坐标（，5）或（，5）或（，5）或（，5）；（3）抛物线yx2x+4的对称轴为x1，设点M的坐标为（1，m），点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，4），AM，AC5，CM，分AC为边或AC为对角线两种情况考虑：当AC为边时，有AC2+AM2CM2或AC2+CM2AM2，即25+m2+4m28m+17或25+m28m+17m2+4，解得：

12、m1或m2，点M的坐标为（1，）或（1，）；如图3，分别过M或N作y轴或x轴的垂线，由全等三角形的性质得，N点的坐标为：（2，）或（4，）；当AC为对角线时，有AM2+CM2AC2，即m2+4+m28m+1725，解得：m32+，m42，点M的坐标为（1，2+）或（1，2）如图4，分别过M或N作y轴或x轴的垂线，由全等三角形的性质得，N点的坐标为（2，2）或（2，6）综上所述：存在以A、C、M、N为顶点的矩形，点N的坐标为：（2，）或（4，）或（2，2）或（2，6）6已知，如图，二次函数yax2+bx+c图象交x轴于A（1，0），交y轴于点C（0，3），D是抛物线的顶点，对称轴DF经过x轴上的

13、点F（1，0）（1）求二次函数关系式；（2）对称轴DF与BC交于点M，点P为对称轴DF上一动点求AP+PD的最小值及取得最小值时点P的坐标；在的条件下，把APF沿着x轴向右平移t个单位长度（0t4）时，设APF与MBF重叠部分面积记为S，求S与t之间的函数表达式，并求出S的最大值解：（1）函数对称轴为x1，则点B（3，0），用交点式表达式得：ya（x+1）（x3）a（x22x3），即3a3，解得：a1，故抛物线的表达式为：yx2+2x+3，则点D（1，4）；（2）连接BD，过点A作AHBD于点H，交DF于点P，在BDF中，tanFDBtan，则cos，DFAB，HABD，HABFDB，AP+P

14、DAP+PD，此时AP+PDAH最小，AHABcos4，PFAFtan21，故点P（1，1），AP+PD的最小值为，此时点P的坐标（1，1）；（3）当0t1时，如下图（左），SSABFSAGHAFPFAHGH（t2）2+1，当t1时，S的最大值为；当1t2时，如下图（中），SS四边形GHPFSPKL（t）2+，当t时，S的最大值为；当2t4时，如下图（右），S（4t）2，当t2时，S的最大值为；故当t时，S的最大值为7如图1，将抛物线yax2（a0平移到顶点M恰好落在直线yx+3上，且抛物线过直线与y轴的交点A，设此时抛物线顶点的横坐标为m（m0）（1）用含m的代数式表示a；（2）如图2，Rt

15、CBT与抛物线交于C、D、T三点，B90，BCx轴，CD2BDtBT21，TDC的面积为4求抛物线方程；如图3，P为抛物线AM段上任一点，Q（0，4），连结QP并延长交线段AM于N求的最大值解：（1）因抛物线平移到顶点恰好落在直线yx+3上，且顶点的横坐标为m，顶点（m，m+3）抛物线的解析式：ya（xm）2+m+3，又抛物线过点A，A（0，3），3am2+m+3，a；（2）CD2STDCCDBT4，22t4，t2，又BCx轴，且CD2，对称轴为xm，D（m+1，yo），B（m+3，yo），T（m+3，yo4），又D、T在抛物线上，yoa+m+3，yo4a32+m+3，联立并求解得：a+m+3

16、4a32+m+3，a，m2，抛物线方程为：yx2+2x+3；过P作PHy轴交AM于H，则NPHNQA，因P在抛物线上，故设P（x，x2+2x+3），则H（x，x+3），PHx2+2x+3x3x2+x，又A（0，3），Q（0，4），AQ1，x1时，的最大值为8如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（3，0），与y轴交于点C点D是直线BC上方抛物线上一动点（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接BD、CD，设点D的横坐标为m，BCD的面积为s试求出s与m的函数关系式，并求出s的最大值；（3）如图2，设AB的中点为E，作DFBC，垂足为F，连接CD、CE，是否存在点D，使得以C、

17、D，F三点为顶点的三角形与CEO相似？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）抛物线yx2+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（3，0）y（x+1）（x3）x2+2x+3抛物线解析式为yx2+2x+3（2）过点D作DMy轴，交BC于点M当x0时，yx2+2x+33C（0，3）直线BC解析式为yx+3点D的横坐标为m（0m3）D（m，m2+2m+3），M（m，m+3）DMm2+2m+3（m+3）m2+3msOBDM（m2+3m）m2+m（m）2+s与m的函数关系式为sm2+m，s的最大值为（3）存在点D，使得以C、D，F三点为顶点的三角形与CEO相似如图2，连接BD点E为A

18、B中点，A（1，0），B（3，0），C（0，3）E（1，0），OE1，OC3，CD2m2+（m2+2m+33）2CEsinOCE，cosOCEBC，DFBCsBCDFm2+mDF以C、D，F三点为顶点的三角形与CEO相似，CFDCOE90CFDCOE或CFDEOC若CFDCOE，则FCDOCEsinFCD10DF2CD210（）2m2+（m2+2m）2解得：m14（舍去），m2m2+2m+3+5+3D（，）若CFDEOC，则FDCOCEcosFDC10DF29CD210（）29m2+（m2+2m）2解得：m10（舍去），m2m2+2m+3+3+3D（，）点D的坐标为（，）或（，）9综合与探究如

19、图，抛物线yx22x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，点D（m，0）为线段OA上一个动点（与点A，O不重合），过点D作x轴的垂线与线段AC交于点P，与抛物线交于点Q，连接BP，与y轴交于点E（1）求A，B，C三点的坐标；（2）当点D是OA的中点时，求线段PQ的长；（3）在点D运动的过程中，探究下列问题：是否存在一点D，使得PQ+PC取得最大值？若存在，求此时m的值；若不存在，请说明理由；连接CQ，当线段PECQ时，直接写出m的值解：（1）令y0，得x22x+30，解方程得x11， x23，A（3，0），B（1，0）令x0，得y3C（0，3）（2）当点D是OA的中点时，点

20、D（，0），Q（，），直线AC的解析式为yx+3P（，）PQ（3）如图，作PFCO设D（m，0），则P（m，m+3），Q （m，m22m+3）PQ+PC（m22m+3）（m+3）+（m）（m+2）2+4当m2时，PQ+PC有最大值4当PECQ，且PE与CQ不平行时QCMBPD，CMQPDB90CQMPBD（AA）解得m1（舍去），m2当PECQ，PECQ时QFCPDB，CQFBPDQFCPDB解得m1综上所述，m的值为1或10如图，在平面直角坐标系xOy中，直线lx轴，且直线l与抛物线yx2+4x和y轴分别交于点A，B，C，点D为抛物线的顶点若点E的坐标为（1，1），点A的横坐标为1（1）线段

21、AB的长度等于2；（2）点P为线段AB上方抛物线上的一点，过点P作AB的垂线交AB于点H，点F为y轴上一点，当PBE的面积最大时，求PH+HF+FO的最小值；（3）在（2）的条件下，删除抛物线yx2+4x在直线PH左侧部分图象并将右侧部分图象沿直线PH翻折，与抛物线在直线PH右侧部分图象组成新的函数M的图象现有平行于FH的直线l1：ymx+t，若直线l1与函数M的图象有且只有2个交点，求t的取值范围（请直接写出t的取值范围，无需解答过程）解：（1）抛物线yx2+4x的对称轴为直线x2点A的横坐标为1代入yx2+4x得：y3，A（1，3），由抛物线的对称性得：点B的坐标为（3，3）AB2故答案为

22、：2（2）B（3，3），E（1，1），直线BE解析式为yx，作lBE，且与抛物线相切，则可设l的解析式为：yx+b根据该直线与抛物线相切，列一元二次方程，令其判别式为0，可求得b的值，从而得点P的坐标，进而得点H坐标及PH长，x+bx2+4x，即x23x+b0，94b0，b，x23x+0，切点为：x，y，PH3过点H作yx的垂线，交yx于点G，交y轴于点F，则GFFO，FGOOFGCFHCHF45，CFCH，HFOFCOCF，GFPH+HF+FO+PH+HF+FO的最小值为：（3）在（2）的条件下，平行于FH的直线l1：ymx+t，若直线l1与函数M的图象有且只有2个交点，CFH45，l1FH

23、，m1，yx+t，抛物线yx2+4x的顶点D为（2，4），点H为（，3）点P为（，），抛物线yx2+4x右侧部分图象沿直线PH翻折后抛物线顶点为（1，4），其解析式为yx2+2x+3当直线yx+t与抛物线yx2+2x+3相切时，x+tx2+2x+3，x2x+t30，14（t3）134t0t；t时直线l1与函数M的图象有且只有2个交点t的取值范围为：t11如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx+c（a0）与x轴交于点A（2，0），B（4，0），与直线yx3交于点C（0，3），直线yx3与x轴交于点D（1）求该抛物线的解析式（2）点P是抛物线上第四象限上的一个动点连接PC，PD，当PCD的

24、面积最大时，求点P的坐标；（3）将抛物线的对称轴向左平移3个长度单位得到直线l，点E是直线l上一点，连接OE，BE，若直线l上存在使sinBEO最大的点E，请直接写出满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）用交点式函数表达式得：ya（x+2）（x4）a（x22x8），即8a3，解得：a，则函数的表达式为：yx2x3；（2）yx3，令y0，则x2，即点D（2，0），连接OP，设点P（x， x2x3），SPCDSPDO+SPCOSOCD2（x2+x+3）+3x（x3）2+，0，SPCD有最大值，此时点P（3，）；（3）如图，经过点O、B的圆F与直线l相切于点E，此时，sinBEO最大，

25、过圆心F作HFx轴于点H，则OHOB2OA，OFEF4，HF2，过点E的坐标为（2，2）；同样当点E在x轴的上方时，其坐标为（2，2）；故点E的坐标为（2，2）或（2，2）12如图，二次函数y+bx+c与x轴交于点A（2，0）、与y轴交于点C（0，4），过点A的直线yx+1与抛物线的另一个交点为B，D是抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式并直接写出顶点D的坐标；（2）如图1，点P是线段AB上方抛物线上一动点，求点P运动到什么位置时，ABP的面积最大，最大面积是多少？（3）如图2，设直线AB与y轴交于点E点M是直线AB上的一个动点（不与点A、B重合），当MEC与AOE相似时，请直接写出点M的坐标解

26、：（1）二次函数y+bx+c与x轴交于点A（2，0）、与y轴交于点C（0，4），解得，抛物线的解析式为：y，顶点D的坐标为（1，）（2）设与直线yx+1平行且相切的直线为PQ：yx+b，Q为PQ与x轴交点，H为PQ与y轴交点，过点A作AGPQ于点G，则当点P为切点时，ABP的面积最大，x+b，化简得：x2x+2b80，14（2b8）0，bx2x+280x1x2，点P坐标为（，）PQ解析式为：yx+，Q（，0），又b，AQ，OQ，tanGQA，sinGQA，GA，由解得x12，x23，B（3，），AB，SABPABGA点P运动到（，）时，ABP的面积最大，最大面积是（3）由yx+1得E（0，1）

27、A（2，0）、C（0，4），当CMx轴时，MEC与AOE相似，由OC4，OE1，可得CE3，CM6，即点M横坐标为6，代入yx+1得y3，M（6，4）；当CMAB时，MEC与AOE相似，由，CE3可得CM，EM，由面积法可得Mx，M（，）当MEC与AOE相似时，点M的坐标为（6，4）或（，）13如图矩形ABCD在坐标系中的位置如图所示，OB3OA3，BC5，将线段BC绕点B旋转，使点C落在y轴负半轴上的点E处，抛物线yax2+bx+c（a0）经过A、B、C三点（1）求抛物线yax2+bx+c（a0）的解析式；（2）点P是抛物线上一动点，F是直线BE上一动点如图，若OFBE，直线PQOF交直线B

28、E于点Q，若以P、Q、F、O为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；若直线OF与直线BE的夹角等于BEO的2倍，请直接写出点F的坐标解：（1）OB3OA3，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0）在RtAOE中，OB3，BEBC5，BOE90，OE4，点E的坐标为（0，4）将A（1，0），B（3，0），E（0，4）代入yax2+bx+c，得：，解得：，抛物线的解析式为yx2x4（2）过点F作FMx轴于点M，在RtBOE中，OB3，OE4，BOE90，BE5，OFMOFFOB，OMFOFB90，MOFFOB，即，OM，MF，点F的坐标为（，）设直线BE的解析式为ykx+d（k0），将B

29、（3，0），E（0，4）代入ykx+d，得：，解得：，直线BE的解析式为yx4设点P的坐标为（m， m2m4）PQOF，分两种情况考虑：（i）当四边形POFQ为平行四边形时，O（0，0），F（，），P（m， m2m4），点Q的坐标为（m+， m2m）点Q在直线BE上，m2m（m+）4，整理，得：m23m30，解得：m1，m2，点P的横坐标为或；（ii）当四边形PQOF为平行四边形时，O（0，0），F（，），P（m， m2m4），点Q的坐标为（m， m2m）点Q在直线BE上，m2m（m）4，整理，得：m23m+30，（3）241330，此时方程无解综上所述：点P的横坐标为或作点B关于y轴的对称点

30、B，连接BE，过点O作AF1BE交BE于点F1，过点O作ONBE于点N，作点F1关于点N的对称点F2，则点F1，F2即为所求，如图所示点B的坐标为（3，0），点B的坐标为（3，0），直线BE的解析式为yx4，直线OF1的解析式为yx联立直线OF1和BE成方程组，得：，解得：，点F1的坐标为（，2）由可知，点N的坐标为（，），点F2的坐标为（，）综上所述：点F的坐标为（，2）或（，）14如图，抛物线的顶点D的坐标为（1，4），抛物线与x轴相交于AB两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，3）（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，已知点E（0，3），在抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得CEF的

31、周长最小，如果存在，求出点F的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）如图2，连接AD，若点P是线段OC上的一动点，过点P作线段AD的垂线，在第二象限分别与抛物线、线段AD相交于点M、N，当MN最大时，求POM的面积解：（1）设抛物线的表达式为：ya（x+1）2+4，把x0，y3代入得：3a（0+1）2+4，解得：a1抛物线的表达式为y（x+1）2+4x22x+3；（2）存在如图 1，作 C关于对称轴的对称点 C，连接EC交对称轴于 F，此时 CF+EF的值最小，则CEF的周长最小C（0，3），C（2，3），易得CE的解析式为：y3x3，当x1时，y3（1）30，F（1，0）（3）如图2，A（3，

32、0），D（1，4），易得AD的解析式为：y2x+6，过点D作DHx轴于H，过点M作MGx轴交AD于G，AH1（3）2，DH4，AD，设M（m，m22m+3），则G（m，2m+6），（3m1），MG（m22m+3）（2m+6）m24m3，由题易知MNGAHD，即当m2时，MN有最大值；此时M（2，3），又C（0，3），连接MCMCy轴CPMHAD，MCPDHA90，MCPDHA，即 PC1OPOCPG312，SPOM2，15如图1，在平面直角坐标系中，直线yx+4与抛物线yx2+bx+c（b，c是常数）交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上设抛物线与y轴的另一个交点为点C（1）求该抛物线的解

33、析式；（2）P是抛物线上一动点（不与点A、B重合），如图2，若点P在直线AB上方，连接OP交AB于点D，求的最大值；如图3，若点P在x轴的上方，连接PC，以PC为边作正方形CPEF，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变当顶点E或F恰好落在y轴上，直接写出对应的点P的坐标解：（1）直线yx+4与坐标轴交于A、B两点，当x0时，y4，x4时，y0，A（4，0），B（0，4），把A，B两点的坐标代入解析式得，解得，抛物线的解析式为；（2）如图1，作PFBO交AB于点F，PFDOBD，OB为定值，当PF取最大值时，有最大值，设P（x，），其中4x0，则F（x，x+4），PF，且对称轴是直线x2

34、，当x2时，PF有最大值，此时PF2，；（3）点C（2，0），CO2，（i）如图2，点F在y轴上时，过点P作PHx轴于H，在正方形CPEF中，CPCF，PCF90，PCH+OCF90，PCH+HPC90，HPCOCF，在CPH和FCO中，CPHFCO（AAS），PHCO2，点P的纵坐标为2，解得，（ii）如图3，点E在y轴上时，过点PKx轴于K，作PSy轴于S，同理可证得EPSCPK，PSPK，P点的横纵坐标互为相反数，解得x2（舍去），x2，如图4，点E在y轴上时，过点PMx轴于M，作PNy轴于N，同理可证得PENPCM，PNPM，P点的横纵坐标相等，解得，（舍去），综合以上可得P点坐标为，