1、 - 1 - 2019201920202020 学年度第一学期学年度第一学期中中考考试考考试 高三高三学年学年 文科文科数学试卷数学试卷 分值：150 分 时间：120 分钟 一、选择题（本题共 12 个小题，每小题 5 分共 60 分，每小题只有一个选项符合题意） 1、已知集合21,0xxBxxA，则BA等于（ ） A.1xx B.2xx C.20 xx D.21xx 2、 已知i为虚数单位，则复数 i i z 2 的虚部为（ ） A. i 5 2 B. 5 2 C. 5 2 D. i 5 2 3、如图是两组各 5 名工人某日的产量数据（单位：件） ，若两组的中位数相等，且平均值也一样，则,
2、 x y的 值分别为（ ） A B 6 5 9 2 5 6 1 7 y x 4 7 8 A、3， 5 B、5，5 C、3，7 D、5，7 4、在边长为 2 的正方形内随机的取一点，取到的点 P 到正方形中心的距离大于 1 的概率为（ ） A、 4 B、1 4 C、 16 D、1 16 5、已知实数, x y满足约束条件 2 3 23 x xy xy ，则2zxy的最小值为（ ） A. 7 2 B.4 C.5 D.6 6、若各项均为正数的等比数列 n a的前n项和为 1 52 ,81,3 n Sa aa,则 5 S （ ） A.124 B.123 C.122 D.121 7、 图中， 小方格是边
3、长为 1 的正方形， 图中粗线画出的是某几何体的三视图， 则该几何体的体积为( ) A182 B16 C 11 12 D 22 3 - 2 - 8、设向量 ,1 ,1,3axb，且ab，则向量3ab与b的夹角为（ ） A 6 B 3 C 5 6 D 2 3 9、 在ABC中， 角A B C， ，所对的边分别是6040ab cBac， ， ，ABC外接圆半径 7 3 3 R ， 则ac 的值为（ ） A 7 B13 C. 31 D 20 10、设曲线 1 1 x x y在点（3,2）处的切线与直线03 yax垂直，则实数a的值为（ ） A 2 B-2 C. 2 1 D 2 1 11、 在正方体
4、1111 DCBAABCD中， 过 AB 作一垂直于CB1的平面交平面 11A ADD于直线l， 动点 M 在l上， 则直线 BM 与 1 CD所成角的余弦值的最大值是（ ） A1 B 2 2 C. 2 1 D 2 3 12、已知函数)(xf是定义在 R 上的奇函数，( )0fx ，且 1 (2) 2 f ，则不等式( )1xf x 的解集为( ) A. 11 ,( ,) 22 B. 1 1 , 2 2 C., 2(2,) D.2,2 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。把答案填在答题卡对应题号后的横线上) 13、某班有 50 名学生,男生 30 名,女生 20 名,
5、现按分层抽样方法,从中抽取 5 名学生参加某项活动,则男生 抽 名. 14、曲线 3 xy 在点 1 , 1处的切线与x轴、直线2x所围成的三角形的面积为 。 15、若已知函数 2 1f xxa x的定义域 为R，则实数a取值范围是 。 16、在边长为 2 的菱形 ABCD 中， 60BAD,点 E 为线段 CD 上的任意一点，则 BDAE 的最大值 为 。 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ） 17、在公差为d的等差数列 n a中,已知 1 10a ,且 1 a, 2 22a , 3 5a成等比数列. (1).求d, n a; (2).若0d
6、 ,求 123n aaaa. - 3 - 18、已知数列 n a前n项和为 n S，且233 nn Sa. （1）.数列 n a的通项公式； （2）.若 32 log nnn baa ，求 n b的前n项和 n T. 19、已知向量(2cos2 3sin ,1)mxx,(cos ,)nxy,且mn (1).将 y 表示为 x 的函数 ( )f x，并求( )f x的单调递增区间； (2).已知, ,a b c分别为ABC的三个内角, ,A B C对应的边长，若()3 2 A f,且2a ,4bc 求ABC的面积 20、每年春晚都是万众瞩目的时刻，这些节目体现的文化内涵、历史背景等反映了社会的进
7、步，国家的富 强，人民生活水平的提高等。某学校高三年级主任开学初为了解学生在看春晚后对节目体现的文化内涵、 历史背景等是否会在今年的高考题中体现进行过思考，特地随机抽取 100 名高三学生（其中文科学生 50， 理科学生 50 名），进行了调查，统计数据如表所示（不完整）： - 4 - （1）补充完整所给表格，并根据数据计算是否有%95的把握认为看春晚后会思考节目体现的文化内涵、 历史背景等与文理科学生有关； （2）从这 100 名高三学生中随机抽取一人，求该学生来自“没思考过”的学生的概率； （3）从上表的“没思考过”的文理科学生中按分层抽样选出 6 人，在从这 6 人中随机抽取 2 人，求
8、这 2 人恰好来自理科学生的概率。 附参考公式： )()()( )( 2 2 dbcadcba bcadn K ，其中dcban 21、已知四棱锥PABCD中，平面PAB 平面ABCD，底面ABCD为矩形，点 E 在CD上，且 1 3 AEAD，3BC ，O 为AB的中点，PAPB， 2 3 ABAD （1）证明：ECPE； （2）求点 E 到平面POC的距离 22、已知函数( )ln(0) 1 a f xxa x . “思考过” “没思考过” 总计 文科学生 40 10 理科学生 30 总计 100 P（） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 - 5
9、 - (1)当3a 时,求曲线( )f x在点(1, (1)f处的切线斜率; (2)讨论函数( )f x的单调性; (3)当函数( )f x有极值时,若对任意的 2 3 1 0, ( )(2018) 1 xa xf xa x x 恒成立,求实数a的取值范围. - 6 - 2019-2020 学年度第一学期期中考考试 高三数学文科试卷答案 一、选择题 二、填空题 13、3 14、 3 8 15、2 , 2 16、2 17、解： （1）.由题意,得 2 132 522aaa, 2 340dd, 1d 或4d . * 11N n ann 或 * 46N n ann. （2）.设数列 n a的前n项和
10、为 n S. 0d ,由 1 得1d ,11 n an , 则当11n 时, 2 123 121 22 n aaaann . 当12n 时, 12311 2 nn aaaaSS 2 1211 110 22 nn. 综上所述, 123n aaaa 2 2 121 ,11 22 1211 110,12 22 nn n nnn 18、解： （1）当1n 时， 11 233Sa得 1 3a ； 当2n 时，233 nn Sa， 11 233 nn Sa ， 两式相减得 1 233 nnn aaa 1 3 nn aa 数列 n a是以 3 为首项，公比为 3 的等比数列。所以3n n a （2）由(1)
11、得2 3n n bn 所以 23 3 34 35 3(2)3n n Tn 乘以 3 得 2341 33 34 35 3(2)3n n Tn 减去得 2341 293333(2)3 nn n Tn = 1 93 ()3 22 n n 所以 1 93 ()3 442 n n n T 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A C A B A D D C B B D C - 7 - 19、解析 (1).由mn得0m n, 2 2cos2 3sin cos0xxxy 即 2 2cos2 3sin cosyxxx cos23sin212sin(2)1 6 xxx 2 22 , 262 kx
12、kkZ 36 kxk , kZ，即递增区间为 , 36 kkkZ (2).因为()3 2 A f，所以 2sin()13 6 A , sin()1 6 A 2 , 62 AkkZ 因为0A，所以 3 A 由余弦定理得： 222 2 cosabcbA,即 22 4bcbc 2 4()3bcbc,因为4bc所以4bc 1 sin3 2 ABC SbcA . 20、解：（1） 由上表得841. 3762. 4 21 100 30705050 )30102040(100 2 2 K 故有 95%的把握认为看春晚后会思考节目体现的文化内涵、历史背景等与文理科学生有关。 （2）从表中可知，100 名高三学
13、生中“没思考过”的学生有 30 人 所以任意抽取一人是来自“没思考过”的学生的概率为 10 3 P (3)由题意得,抽取的 100 名学生中“没思考过”的有文科生 10 人,理科生 20 人 则抽取的 6 人中文科生有 2 人,分别记为 A,B,理科生有 4 人,分别记为 e,f,g,h 则从这 6 人中任意抽取 2 人的所以情况为：（A，B），（A，e）, （A，f），（A，g），（A，h），(B ,e)， (B ,f)，(B ,g)，(B ,h)，(e ,f)，(e ,g)，(e ,h)，(f ,g)，(f ,h)，(g ,h)共 15 种； 而 2 人都来自理科学生的情况为：(e ,f)
14、，(e ,g)，(e ,h)，(f ,g)，(f ,h)，(g ,h)共 6 种， 所以 5 2 15 6 P，所以这 2 人恰好来自理科学生的概率为 5 2 。 “思考过” “没思考过” 总计 文科学生 40 10 50 理科学生 30 20 50 总计 70 30 100 - 8 - 21. 解：（1）如图，连接OE，平面PAB 平面ABCD，PAPB，O 为AB的中点， POAB，PO 平面ABCD，POCE 四边形ABCD为矩形，3BCAD， 2 2 3 CDABAD， 1 1 3 AEAD，2DE ， 22 222 2EC ， 22 112OE ， 22 1310OC ， 222 O
15、EECOC，OEEC， 又POCE，POOEO，EC 平面POEPE 平面POE，ECPE （2）方法一 设POh，点E到平面POC的距离为x，由（1）知PO 平面ABCD， POOC， 10 2 POC h S ， 1 2 22 2 ECO S， E POCP EOC VV 三棱锥三棱锥 ， 11 33 POCEOC SxSh ， 11012 22 3232 hxh ， 2 10 5 x ，即点E到平面POC的距离为 2 10 5 22、答案：(1)当3a 时, 2 13 ( ) (1) fx xx , 1 (1) 4 f,即所求切线斜率为 1 4 . (2)由题意,知函数( )f x的定义
16、域为 2 22 1(2)1 (0,),( )(0) (1)(1) axa x fxx xxx x , 当04a时, 2 (2)40a,则( )0fx ,函数( )f x在(0,)上单调递增. 当4a 时,0,令( )0fx ,则 2 24 0 2 aaa x , 在 2 24 (0,) 2 aaa 和 2 24 (,) 2 aaa 上,( )0fx ,函数( )f x单调递增; 在 22 2424 (,) 22 aaa aaa 上,( )0fx ,函数( )f x单调递减. (3)由(2),可知当4a 时,函数( )f x在(0,)上有极值. - 9 - 2 3 1 ( )(2018) 1 xa f xa x x 可化为 33 1 ln2018axxxx , 0x , 3 1 (1ln )2018axx x . 设( )1 ln (0)h xxx x ,则 11 ( )1 x h x xx , 当01x时,( )0h x ,函数( )h x单调递减; 当1x 时, ( )0h x ,函数( )h x单调递增. 当0x 时,( )(1)0h xh, 3 1 (1ln )20182018xx x ,2018a . 又4a ,42018a,即实数a的取值范围是4,2018.
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