2020届四川省棠湖中学高三上学期期中考试数学（文）试题含答案（PDF版）

1、 - 1 - 2019-2020 学年度秋四川省棠湖中学高三期中考试 文文科数学试题科数学试题 第第 I I 卷卷( (选择题选择题 共共 6060 分）分） 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合 题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.） 1.已知集合| 22Axx ， 3 |1Bx x ，则AB A. |0x x B. |2x x C. 02|xx D. | 32 xx 2.若1()(1)aibii（, a bR，i 为虚数单位），则复数abi在复平面内对应的点所在的象限为 A. 第一象限 B. 第二象限

2、C. 第三象限 D. 第四象限 3.已知实数x，y满足不等式组 210 35 328 xy xy xy ，则5zxy的最大值为 A. 3 B. 9 C. 22 D. 25 4.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示.为了了解该地区中小学生的近视形成原因， 用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为 A. 100，10 B. 100，20 C. 200，10 D. 200，20 5.“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6.已知 5 ( )sin 2 6 f xx 在0, ) t上有最小

3、值，则实数 t 的取值范围可以是 A. 0, 6 B. 0, 3 C. , 6 3 D. , 3 2 7.已知，则 ， ， 的大小关系为 A. B. - 2 - C. D. 8.已知圆,在圆 中任取一点 ,则点 的横坐标小于 的概率为 A. B. C. D. 以上都不对 9.已知函数为定义在 上的奇函数，是偶函数，且当时，则 A. -3 B. -2 C. -1 D. 0 10.已知平面内的两个单位向量OA，OB，它们的夹角是 60，OC与OA、OB向量的夹角都为 30， 且| 2 3OC ，若OCOAOB，则值为 A. 2 3 B. 4 3 C. 2 D. 4 11.已知 F 是抛物线 2 4

4、xy的焦点，点 P 在抛物线上，点(0, 1)A，则 | | PF PA 的最小值是 A. 2 2 B. 3 2 C. 1 D. 1 2 12.已知函数，若方程有 3 个不同的实根，则实数 的取值 范围为 A. B. C. D. 第第卷（卷（非选择题共非选择题共 9090 分）分） 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13.某校有高一学生 名，其中男生数与女生数之比为，为了解学生的视力情况，现要求按分层抽样的 方法抽取一个样本容量为的样本，若样本中男生比女生多人，则_ 14.设向量，且，则_. 15.已知中，则该三角形的面积是_. 16.已知函数，其中，若恒成立，

5、则 当 a b 取最小值时，_. - 3 - 三、解答题（共三、解答题（共 7070 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 17 2117 21 题为必考题，每个试题题为必考题，每个试题 考生都必须作答，第考生都必须作答，第 2222、2323 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. .） 17.（本大题满分 12 分） 某学校为调查高三年级学生的身高情况，按随机抽样的方法抽取 100 名学生，得到男生身高情况的频率分 布直方图（图（1）和女生身高情况的频率分布直方图（图（2）.已知图（1）中身高在170175cm的

6、男生人数有 16 人. （）试问在抽取的学生中，男，女生各有多少人？ （）根据频率分布直方图，完成下列的22列联表，并判断能有多大（百分之几）的把握认为“身高与 性别有关”？ cm170 170cm 总计 男生身高 女生身高 总计 （III） 在上述 100 名学生中， 从身高在175185cm之间的男生和身高在170175cm之间的女生中间按 男、女性别分层抽样的方法，抽出 6 人，从这 6 人中选派 2 人当旗手，求 2 人中恰好有一名女生的概率. 参考公式： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd 参考数据： 2 0 ()P Kk 0.025 0.010

7、 0.005 0.001 0 k 5.024 6.635 7.879 10.828 - 4 - 18.（本大题满分 12 分） 已知的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，. （）求角 ； （）若，求 及的面积. 19.（本大题满分 12 分） 如图，在以 ， ， ， ， 为顶点的五面体中，在平面上的射影为的中点是边 长为的正三角形，直线与平面所成角为 . （I）求证：； （）若，且，求该五面体的体积. - 5 - 20.（本大题满分 12 分） 已知函数. （）讨论的单调性； （）若恒成立，求实数 的取值范围. 21.（本大题满分 12 分） 已知椭圆：的离心率为，椭圆：经过点 ) 2 3

8、, 2 3 (. （）求椭圆的标准方程； （）设点是椭圆上的任意一点，射线与椭圆交于点，过点的直线 与椭圆有且只有一 个公共点，直线 与椭圆交于 ， 两个相异点，证明：面积为定值. （二）选考题：共（二）选考题：共 1010 分，请考生在第分，请考生在第 2222、2323 题中任选一题作答题中任选一题作答. .如果多做，则按所做的第一题计分如果多做，则按所做的第一题计分. . 22. 选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 2cos 3sin x y （为参数）.以坐标原点O为极点，x轴正 - 6 - 半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为)

9、 2 , 3( . （）求曲线C的极坐标方程； （）过A作曲线C的切线，切点为M，过O作曲线C的切线，切点为N，求 ON AM . 23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数. （）当时，解不等式； （）若对于任意的实数 恒成立，求实数 的取值范围. - 7 - 20192019- -20202020 学年度学年度秋秋四川省棠湖中学高三四川省棠湖中学高三期中期中考试考试 文文科数学试题科数学试题答案答案 1.C 2.A 3.B 4.D 5.A 6.D 7.C 8.C 9.C 10.D 11.A 12.B 13. 14.1 15. 16.1 17.（1）直方图中，因为身高在170175cm的男生的

10、频率为 0.4， 设男生数为m，则 1 16 0.4 n ，得 1 40n . 由男生的人数为 40，得女生的人数为1004060. （2）男生身高cm170的人数30405)01. 002. 004. 008. 0(， 女生身高cm170的人数0.02 5 606 ， 所以可得到下列列联表： cm170 170cm 总计 男生身高 30 10 40 女生身高 6 54 60 总计 36 64 100 2 2 100 (30 54 10 6)4225 36 64 40 6096 K 44.01010.828， 所以能有99.9%的把握认为身高与性别有关； （3）在175185cm之间的男生有

11、12 人，在170175cm之间的女生人数有 6 人. 按分层抽样的方法抽出 6 人，则男生占 4 人，女生占 2 人. 设男生为 1 A， 2 A， 3 A， 4 A，女生为 1 B， 2 B. 从 6 人任选 2 名有： 12 (,)A A， 13 (,)A A， 14 (,)A A，),( 11 BA， 12 (,)A B， 23 (,)A A， 24 (,)A A， 21 (,)A B， 22 (,)A B， 34 (,)A A， 31 (,)A B， 32 (,)A B， 41 (,)A B， 42 (,)A B， 12 (,)B B共 15 种可能， 2 人中恰好有一名女生：),(

12、 11 BA， 12 (,)A B， 21 (,)A B， 22 (,)A B， 31 (,)A B， 32 (,)A B， 41 (,)A B， 42 (,)A B 共 8 种可能， 故所求概率为 8 15 P . - 8 - 18.（）由题意及正弦定理可得 ， ， ， 即， 又， ， ， （）由余弦定理可得， 即， 整理得， 解得或（舍去）. 19.证明：（I）记的中点为 ，连接， 由在平面上的射影为中点，得平面， ，又， ，. 由直线与平面所成角为 ，易得， 又由，得，又， 得. 由， 得平面，平面， . （）由（I），平面， ，平面，平面， 平面，平面平面， ，由题意， 棱柱为直棱柱.

13、 - 9 - ， ， 该五面体的体积为：. 20.（1）对 a 分三种情况讨论求出函数的单调性；（2）对 a 分三种情况 ，先求出每一种情况下函数 f(x)的最小值，再解不等式得解. （1）， 当时，在上单调递增； 当时， 在上单调递减，在上单调递增； 当时， 在上单调递减，在上单调递增. 综上：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）可知： 当时，成立. 当时， ， ，. 当时， ， ，即. 综上. 21.（1）解：因为的离心率为，所以， 解得. 将点代入，整理得. 联立，得， - 10 - 故椭圆的标准方程为. （2）证明

14、：当直线 的斜率不存在时， 点为或，由对称性不妨取， 由（1）知椭圆的方程为，所以有. 将代入椭圆的方程得， 所以 . 当直线 的斜率存在时，设其方程为， 将代入椭圆的方程 得， 由题意得， 整理得. 将代入椭圆的方程， 得. 设， 则， 所以 . 设，则可得，. 因为，所以， 解得（舍去）， 所以，从而. 又因为点到直线 的距离为， 所以点到直线 的距离为， 所以 ， 综上，的面积为定值. - 11 - 22.（1）由 2 3 xcos ysin ，得 22 231xy， 即 22 46120xyxy， 故曲线C的极坐标方程为 2 4 cos6 sin120. （2）由（1）知，曲线C表示圆心为2,3C，半径为1的圆. 因为 A（0，3），所以2AC ， 所以 2 213AM .因为13OC ， 所以13 12 3ON .故 2 ON AM . 23.（）由可得， 若，则或或， 解得或或， 所以不等式的解集为. （）不等式等价于. 设，. 由题意，的图象应在的图象上方（可以有交点）， 作图可判断，即实数 的取值范围是.