1、2020届江西省临川高三上学期第一次联考试题高三数学试题(理)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若则A.2 B.2 C. D.2.设集合，若为空集，则实数a的取值范围为A.(1，2) B.(，1)(2，) C.1，2 D.(，12，)3.设a，bR，则“(ab)a20”是“ab”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.若函数f(x)axlnx的图象上存在与直线x2y40垂直的切线，则实数a的取值范围是A. (2，) B. (，) C. (，) D. (2，)5.若x0，yx2
2、B. C. 2x2y1x D. 2x2y1x17.世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割。如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿。”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为360的等腰三角形(另一种是顶角为1080的等腰三角形)。例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC中，。根据这些信息，可得cos2160A. B. C. D.7.若函数，在(，a上的最大值为4，则a的取值范围为A. (1，17 B. (1，9 C.1，17 D.
3、 1，98.将编号为1，2，3，4，5，6的六个小球放入编号为1，2，3，4，5，6的六个盒子中，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法总数是A.40 B.60 C.80 D.1009.执行如图所示的程序框图，若输出的结果是7，则判断框内m的取值范围是A.(30，42 B.(30，42) C.(42，56 D.(42，56)10.已知F1，F2为椭圆的两个焦点， B为椭圆短轴的一个端点，则椭圆的离心率的取值范围为A.0， B.0， C. 0， D. ，111.设曲线ycosx与x轴、y轴、直线围成的封闭图形的面积为b，若g(x)2lnx2bx2kx在1，
4、上的单调递减，则实数k的取值范围是A.0，) B.(0.) C.1，) D.(1，)12.设数列an的前n项和为Sn，且满足a1a22，用x表示不超过x的最大整数，设bnan，数列bn的前2n项和为T2n，则使T2n2019成立的最小正整数n是A.5 B.6 C.7 D.8二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡中的横线上。13.展开式中的常数项为 .14.设Sn是公差不为0的等差数列an的前n项和，且a72a1，则 .15.如图所示是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边BD长为2，侧视图是一直角三角形，俯视图为一直角梯形，且ABBC1，则异面直线PB与
5、CD所成角的正切值是 。16.已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点A是双曲线左支上的一点，若直线AF1与直线平行且AF1F2的周长为9a，则双曲线的离心率为 。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每道试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共60分。17.ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，已知acosB(4cb)cosA.(1)求cosA的值；(2)若b4，点M在线段BC上，求ABC的面积。18.如图，在三棱锥PABC中，平面PAB平面ABC，AB6，BC，D，E分别为线段AB，BC上的点
6、，且AD2DB，CE2EB，PDAC。(I)求证：PD平面ABC；(2)若直线PA与平面ABC所成的角为450，求平面PAC与平面PDE所成的锐二面角大小。19.已知椭圆的离心率，一个长轴顶点在直线yx2上，若直线l与椭圆交于P，Q两点，O为坐标原点，直线OP的斜率为k1，直线OQ的斜率为k2。(1)求该椭圆的方程；(2)若，试问OPQ的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由。20.抚州不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化，更有着许多旅游景点。每年来抚州参观旅游的人数不胜数。其中，名人园与梦岛被称为抚州的两张名片，为合理配置旅游资源，现对已游览名人园景点的游客进行随机问卷调查
7、。若不去梦岛记1分，若继续去梦岛记2分。每位游客去梦岛的概率均为，且游客之间的选择意愿相互独立。(1)从游客中随机抽取3人，记总得分为随机变量X，求X的分布列与数学期望；(2)若从游客中随机抽取m人，记总分恰为m分的概率为Am，求数列Am的前6项和；(3)在对所有游客进行随机问卷调查的过程中，记已调查过的累计得分恰为n分的概率为Bn，探讨Bn与Bn1之间的关系，并求数列Bn的通项公式。21.已知函数。(1)讨论f(x)的单调性。(2)试问是否存在a(，e，使得，对x1，)恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做
8、，则按所做的第一题计分。22.选修44：坐标系与参数方程(10分)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数)，在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换得到曲线C1，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(为极径，为极角)。(I)求曲线C的直角坐标方程和曲线C1的极坐标方程；(II)若射线OA：(0)与曲线C1交于点A，射线OB：(0)与曲线C1交于点B，求的值。23.选修45：不等式选讲(10分)己知函数。(I)当a1时，求不等式f(x)5的解集；(II)若关于x的不等式f(x)g(x)的解集包含1，2，求a的取值集合。20192020届临川一中上学期第一次联合考试数学答案（理）
9、一、选择题题号123456789101112答案CDADBBCAACAB二、填空题13 14 15 162 三、解答题17解（1）acosB(4cb)cosA，由正弦定理得：sinAcosB(4sinCsinB)cosA，2分即sinAcosBcosAsinB4sinCcosA，即sinC4 cosAsinC，4分在中，所以cosA5分（2）2，两边平方得：6分由b4，|，cosA得c2b22cb410，8分可得c2162c4010分解得：c4或c6（舍） 11分 所以ABC的面积sbcsinA2 12分18解：(1)证明：AC2，BC2，AB6，AC2BC2AB2，ACB90，cosABC.
10、又易知BD2，CD222(2)2222cosABC8，CD2，又AD4，CD2AD2AC2，CDAB.平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABCAB，CD平面ABC，CD平面PAB，又PD平面PAB，CDPD，PDAC，ACCDC，PD平面ABC.5分(2)由(1)知PD，CD，AB两两互相垂直，可建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，直线PA与平面ABC所成的角为45，即PAD45，PDAD4，则A(0，4,0)，C(2，0,0)，B(0,2,0)，P(0,0,4)，(2，2,0)，(2，4,0)，(0，4，4)AD2DB，CE2EB，DEAC，由(1)知ACBC，DEBC，又PD平面ABC
11、，BC平面ABC，PDBC，PDDED，CB平面PDE，(2，2,0)为平面PDE的一个法向量设平面PAC的法向量为n(x，y，z)，则即令z1，得x，y1，n(，1,1)为平面PAC的一个法向量cos，平面PAC与平面PDE所成的锐二面角的余弦值为，故平面PAC与平面PDE所成的锐二面角为30.12分19解：由e，又由于ab0，一个长轴顶点在直线yx2上，可得：a2，c，b1（1）故此椭圆的方程为y215分（2）设P(x1，y1)，Q(x1，y1)，当直线PQ的斜率存在时，设其方程为ykxm 联立椭圆的方程得： (4k21)x28kmx4m240 由64k2m24(4k21)( 4m24)0
12、，可得m24k21 则x1x2 ，x1x2 |PQ|x1x2|4 又点O到直线ykxm的距离d SOPQd|PQ|2|m| 由于k1k2 ，可得：4k22m21 故SOPQ2|m|1 当直线PQ的斜率不存在时，可算得：SOPQ1 故OPQ的面积为定值112分20（1）X可能取值为3，4，5，6P(X3)()3 P(X4)C31 ()()2 1分P(X5)C32 ()2() P(X6) ()3 2分故其分布列为3分X3456P E(X)54分（2）总分恰为m的概率Am()m6分 故S68分 已调查过的累计得分恰为n 分的概率为Bn，得不到n分的情况只有先得n1分，再得2分，概率为Bn1，而B19
13、分故1BnBn1，即BnBn1110分可得Bn( Bn1)，B111分可得Bn()n12分21解：（1）f / (x)xlnxalnxax(xa)(lnx1)，x(0，)1分 当ae时，f / (x) (xe)(lnx1)0，f(x)在(0，)上单调递增2分 当a0时，xa0，f(x)在(0，e) 上单调递减，在(e，)上单调递增3分 当0ae时， f(x)在(a，e) 上单调递减，在(0，a)，(e，)上单调递增4分 当ae时， f(x)在(e，a) 上单调递减，在(0，e)，(e，)上单调递增6分 （2）假设存在a(，e，使得f(x)3sin对任意x1，)恒成立 则f(1)2a3sin，即
14、8asin1507分 设g(x)8xsin15，g/ (x)8cos0，则g(x)单调递增 由于g(2)0，所以a2 当ae时，f(x)在1，)上单调递增，所以f(x)minf(1)，所以a 2， 从而ae 满足题意8分 当2ae时， f(x)在(a，e) 上单调递减，在(0，a)，(e，)上单调递增所以，可 （1）9分设h(x)4exsine212，h/ (x)4ecos0，则h(x)是单调递增函数10分由于h(2)8ee2130可得h(x)的零点小于2，从而不等式组（1）的解集为(2，)所以2ae11分综上，存在a(，e，使得f(x) 3sin对x1，恒成立，且a的取值范围是(2，e 12分22(1)C：x2y21，曲线C1：，得x/24y/242分即2cos242sin245分 （2），有sin27分 sin2，8分同理2sin2()cos29分 故10分23（1）f(x)|x2|x1|5可解得x(，14，)5他（2）由|x|x1|4|x1|在1，2上恒成立，由于a0，可得26分 等价于xx14x1在1，2上恒成立7分 即4x在1，2上恒成立，8分 即2，可得a1，9分故a的取值集合为110分- 8 -
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