1、微专题三 高考真题的再研究,第三章 导数及其应用,真题研究 普通高中数学课程标准要求：高中数学课程应注意提高学生的数学思维能力.考试大纲指出：高考对能力的考查，强调“以能力立意”.2018年全国卷第16题就是一个典型例子.本文从不同角度，开拓思路，分析解答，充分挖掘高考题的教学指导功能，再现命题的能力立意，以期提高教学实效性.,一、试题呈现 题目 (2018全国)已知函数f(x)2sin xsin 2x，则f(x)的最小值是_. 二、分析解答 分析1 此题中的函数是将正弦函数两次变换相加而得，第一次纵坐标伸长为原来的两倍，横坐标不变；第二次横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变.这个加号有份量，依
2、靠常规的三角运算和方法作答有困难.因此，首先考虑“万能”的导数，找到极值点，求出全部极值，最后取最小的极值作最小值.,方法一 f(x)2cos x2cos 2x，由f(x)0得，,分析2 从周期的角度考虑，可以判断本函数的周期为2.用函数在0,2内的最小值作为函数的最小值.整体不易突破，可从局部入手，结合图象变换知，最小值出现在 之内，此时可以统一角和三角函数名称，换元后将问题转化成求高次函数的最值. 方法二 由y2sin x的最小正周期为2，ysin 2x的最小正周期为，由最小公倍数法知，f(x)的最小正周期为2. 下面在(0,2)内研究本函数：,g(x)t42t32t1，t0,1.,分析3
3、 本题基本背景是三角函数，那么对于角的处理极为重要.本题中可以考虑用同角三角函数的平方关系、二倍角、扩角降幂等知识处理函数，从方法二可以发现最后的函数形式还是稍微有些复杂.我们可以再做角的文章，以期简化函数，方便解答.,评注 从以上方法探究可以发现，本题以三角函数为背景，应用导数，综合考查了三角函数和导数的知识和技能，对学生的能力要求还是较高的，若死盯着三角函数，仅依靠三角函数的知识、方法，甚至是技巧都是无济于事的.这正是本题命题意图，希望有扎实的功底，严谨的推理，缜密的思维等能力.对于靠刷题应对高考而言，此题显得举步维艰.本题若变形成：“已知函数f(x)2sin xsin 2x，则f(x)的最小值是_.”就会感觉舒坦多了.但是，能力就体现在创新之中.,评注 这种做法看起来很简单，但是它有三个关键点：一是能否联想到同角三角函数平方关系后在函数两边平方；二是多项均值不等式是否深刻理解并能应用；三是能否恰当应用奇函数的对称性.这三点对学生还是有较高的能力 要求，很难顺利推进.本方法也得到了函数值域y,
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