1、3.2 导数的应用,第三章 导数及其应用,ZUIXINKAOGANG,最新考纲,1.结合实例，借助几何直观探索并了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次). 2.结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)，以及在给定区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次). 3.会利用导数解决某些实际问题(生活中的优化问题).,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART O
2、NE,1.函数的单调性 在某个区间(a，b)内，如果f(x) 0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果f(x) 0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递减.,知识梳理,ZHISHISHULI,2.函数的极值与导数,极大值,极小值,极大值点,极小值点,3.函数的最值 (1)在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值. (2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则 为函数的最小值， 为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则 为函数的最大值， 为函数的最小值.,f(a),f(b),f(a),f(b),1.“f(x)在区间(a，b)上是增函数，则f(x)0在(a，
3、b)上恒成立”，这种说法是否正确？,提示 不正确，正确的说法是： 可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对x(a，b)，都有f(x)0(f(x)0)且f(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零.,2.对于可导函数f(x)，“f(x0)0”是“函数f(x)在xx0处有极值”的_条件.(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”),提示 必要不充分,【概念方法微思考】,题组一 思考辨析,1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f(x)0，则f(x)在此区间内没有单调性. ( ) (2)函数的极大值一定大于其极小值.( ) (3)函
4、数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.( ),基础自测,JICHUZICE,1,2,3,4,5,6,7,8,9,题组二 教材改编,2.如图是函数yf(x)的导函数yf(x)的图象，则下列判断正确的是 A.在区间(2,1)上f(x)是增函数 B.在区间(1,3)上f(x)是减函数 C.在区间(4,5)上f(x)是增函数 D.当x2时，f(x)取到极小值,1,2,3,4,5,解析 在(4,5)上f(x)0恒成立，f(x)是增函数.,6,7,8,9,3.函数f(x)exx的单调递增区间是_.,(0，),解析 由f(x)ex10，解得x0， 故其单调递增区间是(0，).,1,2,3,
5、4,5,6,7,8,9,4.当x0时，ln x，x，ex的大小关系是_.,可得x1为函数f(x)在(0，)上唯一的极大值点，也是最大值点， 故f(x)f(1)10，所以ln xx. 同理可得xex，故ln xxex.,1,2,3,4,5,ln xxex,6,7,8,9,5.现有一块边长为a的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒，该方盒容积的最大值是_.,1,2,3,4,5,则V2(a2x)(2x)(a2x)2(a2x)(a6x)，,6,7,8,9,6.函数f(x)x3ax2ax在R上单调递增，则实数a的取值范围是_.,3,0,解析 f(x)3x22axa0在
6、R上恒成立，即4a212a0， 解得3a0， 即实数a的取值范围是3,0.,1,2,3,4,5,6,题组三 易错自纠,7,8,9,7.(2018郑州质检)若函数f(x) ax4恰在1,4上单调递减，则实数a的值为_.,4,解析 f(x)x23xa，且f(x)恰在1,4上单调递减， f(x)x23xa0的解集为1,4， 1,4是方程f(x)0的两根， 则a(1)44.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,8.若函数f(x) 4xm在0,3上的最大值为4，m_.,4,解析 f(x)x24，x0,3，当x0,2)时，f(x)0， 所以f(x)在0,2)上是减函数，在(2,3上是增函数. 又f(0)m
7、，f(3)3m. 所以在0,3上，f(x)maxf(0)4，所以m4.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,9.已知函数f(x) x22ax1，若函数f(x)在(1,2)上有极值，则实数a的取 值范围为_.,解析 f(x)x22x2a的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为x1， 则f(x)在(1,2)上是单调递增函数，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,2,题型分类 深度剖析,PART TWO,第1课时 导数与函数的单调性,题型一 不含参函数的单调性,自主演练,2.函数f(x)xexex1的递增区间是 A.(，e) B.(1，e) C.(e，) D.(e1，),解析 由f(x)xexex1，
8、得f(x)(x1e)ex， 令f(x)0，解得xe1， 所以函数f(x)的递增区间是(e1，).,3.已知函数f(x)xln x，则f(x)的单调递减区间是_.,解析 因为函数f(x)xln x的定义域为(0，)， 所以f(x)ln x1(x0)，,4.(2018开封调研)已知定义在区间(，)上的函数f(x)xsin xcos x，则f(x)的单调递增区间是_.,解析 f(x)sin xxcos xsin xxcos x. 令f(x)xcos x0，,确定函数单调区间的步骤 (1)确定函数f(x)的定义域. (2)求f(x). (3)解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间. (
9、4)解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.,题型二 含参数的函数的单调性,例1 讨论函数f(x)(a1)ln xax21的单调性.,师生共研,解 f(x)的定义域为(0，)，,当a1时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递增； 当a0时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递减；,综上所述，当a1时，f(x)在(0，)上单调递增； 当a0时，f(x)在(0，)上单调递减；,(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论. (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点.,跟踪训练1 已知函数f(x)ex(a
10、x22x2)(a0).试讨论f(x)的单调性.,解 由题意得f(x)exax2(2a2)x(a0)，,当a1时，f(x)0在R上恒成立；,当a1时，f(x)在(，)上单调递增；,题型三 函数单调性的应用,命题点1 比较大小或解不等式,例2 (1)设函数f(x)exx2，g(x)ln xx23，若实数a，b满足f(a)0，g(b)0，则 A.g(a)0f(b) B.f(b)0g(a) C.0g(a)f(b) D.f(b)g(a)0,多维探究,解析 因为函数f(x)exx2在R上单调递增，且f(0)120， 所以f(a)0时，a(0,1). 又g(x)ln xx23在(0，)上单调递增，且g(1)
11、20，g(b)0得b(1,2)， 又f(1)e10，所以f(b)0. 综上可知，g(a)0f(b).,(2)已知定义域为R的偶函数f(x)的导函数为f(x)，当x0时，xf(x)f(x)0.若 则a，b，c的大小关系是 A.bac B.acb C.abc D.cab,又当x0时，xf(x)f(x)0， 所以g(x)0，即函数g(x)在区间(，0)内单调递减.因为f(x)为R上的偶函数，所以g(x)为(，0)(0，)上的奇函数，所以函数g(x)在区间(0，)内单调递减.由0ln 2e3，可得g(3)g(e)g(ln 2)，即cab，故选D.,(3)已知定义在(0，)上的函数f(x)满足xf(x)
12、f(x)(m2 019)f(2)，则实数m的取值范围为 A.(0,2 019) B.(2 019，) C.(2 021，) D.(2 019,2 021),xf(x)f(x)(m2 019)f(2)，m2 0190，,m2 0190，解得2 019m2 021. 实数m的取值范围为(2 019,2 021).,(4)设f(x)是定义在R上的奇函数，f(2)0，当x0时，有 0的解集是_.,(，2)(0,2),在(0，)上，当且仅当00， 此时x2f(x)0. 又f(x)为奇函数，h(x)x2f(x)也为奇函数. 故x2f(x)0的解集为(，2)(0,2).,命题点2 根据函数单调性求参数,例3
13、 (2018石家庄质检)已知函数f(x)ln x，g(x) ax22x(a0). (1)若函数h(x)f(x)g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；,所以a1. 又因为a0，所以a的取值范围为(1,0)(0，).,(2)若函数h(x)f(x)g(x)在1,4上单调递减，求a的取值范围.,解 因为h(x)在1,4上单调递减，,1.本例(2)中，若函数h(x)f(x)g(x)在1,4上单调递增，求a的取值范围.,解 因为h(x)在1,4上单调递增， 所以当x1,4时，h(x)0恒成立，,2.本例(2)中，若h(x)在1,4上存在单调递减区间，求a的取值范围.,解 h(x)在1,4上存在单调递减
14、区间， 则h(x)0在1,4上有解，,所以a1，又因为a0， 所以a的取值范围是(1,0)(0，).,根据函数单调性求参数的一般思路 (1)利用集合间的包含关系处理：yf(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集. (2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x(a，b)都有f(x)0且在(a，b)内的任一非空子区间上，f(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解. (3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.,跟踪训练2 (1)(2018安徽江南十校联考)设函数f(x) x29ln x在区间a1，a1上单调递减，则实数a的取值范围是 A.(1,2
15、 B.4，) C.(，2 D.(0,3,解得1a2.,(2)(2018乐山期末)若f(x)x2aln x在(1，)上单调递增，则实数a的取值范围为 A.(，1) B.(，1 C.(，2) D.(，2,f(x)在(1，)上单调递增，,当x(1，)时，2x22，a2.,若函数f(x)aln xx2(a6)x在(0,3)上单调递减，,则g(t)4,5)，a0， 当函数f(x)在(0,3)上不是单调函数时，实数a的取值范围是(0,2).,含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论，常见的分类讨论标准有以下几种可能： 方程f(x)0是否有根；若f(x)0有根，求出根后判断其是否在定义域内；若根在定义域内且有
16、两个，比较根的大小是常见的分类方法.,思想方法,SIXIANGFANGFA,用分类讨论思想研究函数的单调性,例 已知函数g(x)ln xax2(2a1)x，若a0，试讨论函数g(x)的单调性.,函数g(x)的定义域为(0，)，,由g(x)0，得01.,综上可得：当a0时，函数g(x)在(0,1)上单调递增， 在(1，)上单调递减；,3,课时作业,PART THREE,1.函数f(x)(x3)ex的单调递增区间是 A.(，2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2，),解析 因为f(x)(x3)ex，所以f(x)ex(x2). 令f(x)0，得x2， 所以f(x)的单调递增区间为(2，).,
17、基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,2.(2018济南调研)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是 A.f(b)f(c)f(d) B.f(b)f(a)f(e) C.f(c)f(b)f(a) D.f(c)f(e)f(d),解析 由题意得，当x(，c)时，f(x)0， 所以函数f(x)在(，c)上是增函数， 因为af(b)f(a)，故选C.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3.函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的图象可能是,
18、解析 利用导数与函数的单调性进行验证.f(x)0的解集对应yf(x)的增区间，f(x)0的解集对应yf(x)的减区间，验证只有D选项符合.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 因为f(x)xsin x，所以f(x)(x)sin(x)xsin xf(x)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,5.已知函数f(x) x3ax4，则“a0”是“f(x)在R上单调递增”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,故“a0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件.,1,
19、2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,6.若f(x) ef(b) B.f(a)f(b) C.f(a)1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,则f(x)在(e，)上为减函数，所以f(a)f(b).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,x|x1,即函数F(x)在R上单调递减.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,1
20、2,13,14,15,16,F(x2)1，即不等式的解集为x|x1.,9.已知g(x) x22aln x在1,2上是减函数，则实数a的取值范围为 _.,由已知得g(x)0在1,2上恒成立，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,10.设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f(1)0，当x0时，xf(x)f(x) 0成立的x的取值范围是_.,(，1)(0,1),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 因为f(x)(xR)为奇函数，f(1)0， 所以f(1)f(1)0.,1,2,3,4,5,6,7,8,9
21、,10,11,12,13,14,15,16,则g(x)为偶函数，g(1)g(1)0.,故g(x)在(0，)上为减函数，在(，0)上为增函数. 所以在(0，)上，当0g(1)0，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,当x1时，,综上知，使得f(x)0成立的x的取值范围是 (，1)(0,1).,11.已知函数f(x) (k为常数)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行. (1)求实数k的值；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)求函数f(x)的单调区间.,所以h(x)在(0，)上单调递减. 由h
22、(1)0知，当00，所以f(x)0； 当x1时，h(x)0，所以f(x)0. 综上，f(x)的单调递增区间是(0,1)， 单调递减区间是(1，).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,12.(2018信阳高级中学模拟)已知函数f(x) 1(bR，e为自然对数的底数)在点(0，f(0)处的切线经过点(2，2).讨论函数F(x)f(x)ax(aR)的单调性.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,当a0时，F(x)0时，由F(x)0，得xl
23、n a. 故当a0时，函数F(x)在R上单调递减； 当a0时，函数F(x)在(，ln a)上单调递减， 在(ln a，)上单调递增.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,13.定义在区间(0，)上的函数yf(x)使不等式2f(x)xf(x)3f(x)恒成立，其中yf(x)为yf(x)的导函数，则,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 xf(x)2f(x)0，x0，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,xf(x)3f(x)0，,1,2,3,4,5,6,7,
24、8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,0,解析 g(x)6x212x，g(x)12x12， 由g(x)0，得x1，又g(1)0， 函数g(x)的对称中心为(1,0)， 故g(x)g(2x)0，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,当a1时，f(x)0在(0，)上恒成立.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,当a1时，f(x)在(0，)上单调递增，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,
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