鲁京津琼专用2020版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何微专题十一数学问题中圆的寻觅课件

1、微专题十一 数学问题中圆的寻觅,第九章 平面解析几何,解题技法 众所周知，圆是常见的平面图形，无论从形或数两方面来看，圆都具有丰富的内涵.当我们面对某些数学问题时，倘若能够从圆的视角来审视问题，即寻觅问题中圆的隐形的踪影，常常能使问题的求解过程变得清晰明了，简单快捷.本文拟就如何寻觅问题中圆的踪影，分三个方面予以概述.,一、寻觅几何圆 所谓寻觅几何圆，是指通过构造一个问题背后的相关圆，借助圆的几何性质求解问题.,例1 在锐角ABC中，A45，若a ，求bc的取值范围. 以下是本题的常见解法：,解 因为BC180A135，0B90，0C90，所以45C90. 又由余弦定理得b2sin B，c2s

2、in C，,上述解法，局限于“数”，倘若基于“形”， 则可画出ABC的外接圆O，如图1，设BM，CN为圆O的直径.,当点A在劣弧MN(不含端点)上运动时，ABC即为锐角三角形， 此时，ABC的面积S满足SMBCSSDBC(D为劣弧MN的中点)，即,所以bc(MBMC，DB2.,这种解法，直观简洁，避免了繁冗的三角变换过程.,例2 在ABC中，sin(AB)sin Csin B，D是BC的一个三分点(靠近点B)， 记 ，则当取最大值时，求tanACD的值. 这是一道有一定难度的综合问题.假如仅从常规的函数视角审视问题，求解过程颇为不易.下面，我们从构造圆的思维考虑问题，则有以下简明解法.,解 由

3、sin(AB)sin Csin Bsin(AB)sin B可得2cos Asin Bsin B，,因为A(0，180)，故A60. 画出ABC的外接圆O，如图2， 记A，B，C所对的边长顺次为a，b，c.,不难证明：当最大时，AD过圆心O(否则ADAOODAOODAD)，过O作OEBC，交BC于E.,所以OD1，即有ODBD，故OBDDOB30，BOA150，ABO15， 所以ABC45. 从而ACDACB180604575，,因为A60，所以BOC120，OBCOCB30.,二、寻觅解析圆 解析圆，即为坐标圆.解题时，依照题设，通过建立直角坐标系，寻觅隐藏在问题背后的圆的方程，依托圆的解析性

4、质求解问题.,例3 (2018浙江)已知a，b，e是平面向量，e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为 ，向量b满足b24eb30，则|ab|的最小值是 A. 1 B. 1 C.2 D.2 下面给出一种基于构造解析圆的解法.,解 设e(1,0)，a(x，y)，b(m，n)，,又由b24eb30可得m2n24m30，整理得(m2)2n21.,例4 在平面四边形ABCD中，AB1，AC ，BDBC，BD2BC，求线段AD的最大值与最小值. 本题是某地模拟试卷中的一道题，其中给出的该题详解是基于正弦定理、余弦定理的求解，过程不易. 下面给出根据已知构造解析圆的更加简捷的求法.,解 如图4，以B为原点，以AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(1,0). 设BCr，则可设C(rcos ，rsin )，,又因为BDBC，BD2BC，则点D的坐标(xD，yD)满足,三、寻觅双面圆 寻觅双面圆，即寻觅隐含在问题背后的具有几何与代数特征的圆，然后，借助于圆的综合性质，达到破解问题的目的.,本题按照常规思路求解，不太容易.如若能够伸出圆的视角，则能峰回路转.请看以下求解过程.,解 如图5，,|OA|OB|AB|OA|OB|TA|TB|OA|OB|AM|BN|OM|ON|2r.,由于点P(2,3)在圆外，故有(2r)2(3r)2r2，,