1、7.3 基本不等式及其应用,第七章 不等式,ZUIXINKAOGANG,最新考纲,1.探索并了解基本不等式的证明过程. 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART ONE,知识梳理,ZHISHISHULI,(1)基本不等式成立的条件： . (2)等号成立的条件：当且仅当 时取等号.,2.几个重要的不等式 (1)a2b2 (a，bR).,a0，b0,ab,2ab,2,以上不等式等号成立的条件均为ab.,3.算术平均数与几何平均数 设a0，b0，则a，b的算术平均数为 ，几
2、何平均数为 ，基本不等式可 叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.,4.利用基本不等式求最值问题 已知x0，y0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当 时，xy有最 值 .(简记：积定 和最小) (2)如果和xy是定值p，那么当且仅当 时，xy有最 值 .(简记：和定积 最大),xy,xy,小,大,1.若两个正数的和为定值，则这两个正数的积一定有最大值吗？,提示 不一定.若这两个正数能相等，则这两个数的积一定有最大值；若这两个正数不相等，则这两个正数的积无最大值.,【概念方法微思考】,题组一 思考辨析,1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”),基础自测,JICHUZ
3、ICE,1,2,3,4,5,6,(3)(ab)24ab(a，bR).( ),1,2,3,4,5,6,(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.( ),题组二 教材改编,2. 设x0，y0，且xy18，则xy的最大值为 A.80 B.77 C.81 D.82,1,2,3,4,5,6,3. 若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_ m2.,1,2,3,4,5,6,解析 设矩形的一边为x m，面积为y m2，,当且仅当x10x，即x5时，ymax25.,25,A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,1,2,3,4,5,6,题组三
4、易错自纠,1,2,3,4,5,6,即当f(x)取得最小值时，x3，即a3，故选C.,6.若正数x，y满足3xy5xy，则4x3y的最小值是 A.2 B.3 C.4 D.5,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,故4x3y的最小值为5.故选D.,2,题型分类 深度剖析,PART TWO,题型一 利用基本不等式求最值,命题点1 配凑法,例1 (1)已知0x1，则x(43x)取得最大值时x的值为_.,多维探究,解析 x1，x10，,命题点2 常数代换法,解析 由题意可得，a1q，,a1qm1(a1qn1)2(a1q3)2， 即qmq2nq8， 即m2n8.,当且仅当m2n时，即m4，n2时
5、，等号成立.,命题点3 消元法,解析 a2b40，ba24， aba2a4.,当且仅当a2，b8时取等号.故选B.,(1)前提：“一正”“二定”“三相等”. (2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式. (3)条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是配凑法.,A.8 B.9 C.12 D.16,当且仅当a12(bc)，即a1，bc1时，等号成立.故选B.,A.2 B.3 C.4 D.6,解析 a，b，c都是正数，且abc2， abc13， 且a10，bc0.,题型二 基本不等式的综合应用,多维探究,命题点1
6、 基本不等式与其他知识交汇的最值问题,解析 根据题意，结合向量数量积的定义式，,即a2b29，结合基本不等式，,命题点2 求参数值或取值范围,A.2 B.4 C.6 D.8,即正实数a的最小值为4，故选B.,求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围.,解析 由ABC的面积为2，,当且仅当b2，c4时，等号成立，故选C.,解析 由函数f(x)ax2bx，得f(x)2axb， 由函数f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线斜率为2， 所以f(1)2ab2，,数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学的语言表达问题，用数学的方法构建模型解决问题.过程主要包括
7、：在实际情景中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、建立模型、确定参数、计算求解、检验结果、改进模型，最终解决实际问题.,核心素养之数学建模,HEXINSUYANGZHISHUXUEJIANMO,利用基本不等式求解实际问题,例 某厂家拟在2019年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m0)满足x3 (k为常数)，如果 不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件.已知2019年生产该产品的固定投入为8万元.每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)
8、. (1)将2019年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；,解 由题意知，当m0时，x1， 13kk2，,(2)该厂家2019年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？,y82921，,ymax21(万元). 故该厂家2019年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元.,素养提升 利用基本不等式求解实际问题时根据实际问题抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值.,3,课时作业,PART THREE,A.3 B.4 C.6 D.8,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,当且仅当x2时，等号成立，故选B.,基
9、础保分练,A.xy B.x2y C.x2且y1 D.xy或y1,解析 x0，y0，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由题意知，正数a，b满足ab1，,4.若a0，b0，lg alg blg(ab)，则ab的最小值为 A.8 B.6 C.4 D.2,解析 由lg alg blg(ab)，得lg(ab)lg(ab)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16
10、,当且仅当ab2时等号成立，所以ab的最小值为4，故选C.,5.已知函数f(x)ex在点(0，f(0)处的切线为l，动点(a，b)在直线l上，则2a2b的最小值是 A.4 B.2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由题意得f(x)ex，f(0)e01，kf(0)e01. 所以切线方程为y1x0， 即xy10，ab10，ab1，,6.几何原本卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上
11、，且OFAB，设ACa，BCb，则该图形可以完成的无字证明为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,7.设x，y均为正数，且xyxy100，则xy的最小值是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,6,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4,解析 设正项等比数列an的公比为q(q0)， S7S5a7a63(a4a5)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16
12、,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由题意得b2c2a2bc，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,a2b2c2bc， a22bcbcbc3(当且仅当bc时，等号成立)，,解析 由题意得(ab)2(ab)24ab， 代入已知得(ab)24(ab)34ab，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,当且仅当ab1时取等号.,11.已知x0，y0，且2x5y20. (1)求ulg xlg y的最大值；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,1
13、5,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 x0，y0，,当且仅当2x5y时，等号成立.,此时xy有最大值10. ulg xlg ylg(xy)lg 101. 当x5，y2时，ulg xlg y有最大值1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 x0，y0，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,12.某人准备在一块占地面积为1 800平方米的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路(如图所示)，大棚占地面积为S平方米，其中ab12.,1,2,3
14、,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(1)试用x，y表示S；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 由题意可得xy1 800，b2a， 则yab33a3，,(2)若要使S的值最大，则x，y的值各为多少？,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1 8082401 568，,即x40时等号成立，S取得最大值，,所以当x40，y45时，S取得最大值.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13
15、,14,15,16,令f(x)0，则x40， 当00； 当x40时，f(x)0. 所以当x40时，S取得最大值，此时y45.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2ac)cos Bbcos C， 由正弦定理得(2sin Asin C)cos Bsin Bcos C， 2sin Acos Bsin Ccos Bsin Bcos C sin(BC)sin A.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,a2c2ac2acacac，
16、 ac16，当且仅当ac时等号成立.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,B，D，E，C共线，mn1，1，,则xymn2，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,拓展冲刺练,30,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 当q1时，ap1apa12ap， 数列an是首项为2，公比为2的等比数列，,Sn12n2，Sn1(Sn12)(2n2)2n，,当且仅当2n16，即n4时，等号成立，f(n)min30.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,
浙公网安备33030202001339号