1、6.2 等差数列及其前n项和,第六章 数列,ZUIXINKAOGANG,最新考纲,1.通过实例,理解等差数列的概念. 2.探索并掌握等差数列的通项公式与前n项和的公式. 3.能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并能用有关知识解决相应的问题. 4.体会等差数列与一次函数的关系.,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART ONE,知识梳理,1.等差数列的定义 一般地,如果一个数列 , 那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的 ,通常用字母_表示. 2.等差数列的通项公式 如果等差数列an的首项为a1,公
2、差为d,那么它的通项公式是 . 3.等差中项 由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时,A叫做a与b的 .,ZHISHISHULI,从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,公差,d,ana1(n1)d,等差中项,4.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广:anam (n,mN*). (2)若an为等差数列,且klmn(k,l,m,nN*),则 . (3)若an是等差数列,公差为d,则a2n也是等差数列,公差为 . (4)若an,bn是等差数列,则panqbn也是等差数列. (5)若an是等差数列,公差为d,则ak,akm,ak2m,(k,mN*)是公差为 的等
3、差数列. (6)数列Sm,S2mSm,S3mS2m,构成等差数列.,(nm)d,akalaman,2d,md,7.等差数列的前n项和的最值 在等差数列an中,a10,d0,则Sn存在最 值.,5.等差数列的前n项和公式,6.等差数列的前n项和公式与函数的关系,大,小,【概念方法微思考】,提示 充要条件.,2.等差数列的前n项和Sn是项数n的二次函数吗?,提示 不一定.当公差d0时,Snna1,不是关于n的二次函数.,3.如何推导等差数列的前n项和公式?,提示 利用倒序相加法.,基础自测,JICHUZICE,题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)若一个数列从
4、第二项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.( ) (2)等差数列an的单调性是由公差d决定的.( ) (3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.( ) (4)已知等差数列an的通项公式an32n,则它的公差为2.( ) (5)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*,都有2an1anan2. ( ),1,2,3,4,5,6,(6)已知数列an的通项公式是anpnq(其中p,q为常数),则数列an一定是等差数列.( ),1,2,3,4,5,6,题组二 教材改编,2.设数列an是等差数列,其前n项和为Sn,若a62且S530,则S8等于 A.31 B.32 C.33
5、 D.34,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,3.在等差数列an中,若a3a4a5a6a7450,则a2a8 .,180,解析 由等差数列的性质,得a3a4a5a6a75a5450, a590,a2a82a5180.,题组三 易错自纠,1,2,3,4,5,6,5.若等差数列an满足a7a8a90,a7a100,则当n 时,an的前n项和最大.,8,解析 因为数列an是等差数列,且a7a8a93a80, 所以a80. 又a7a10a8a90, 所以a90. 故当n8时,其前n项和最大.,1,2,3,4,5,6,6.一物体从1 960 m的高空降落,如果第1秒降落4.90 m,以后每
6、秒比前一秒多降落9.80 m,那么经过 秒落到地面.,解析 设物体经过t秒降落到地面. 物体在降落过程中,每一秒降落的距离构成首项为4.90,公差为9.80的等差数列.,1,2,3,4,5,6,20,即4.90t21 960,解得t20.,2,题型分类 深度剖析,PART TWO,题型一 等差数列基本量的运算,解析 设等差数列an的公差为d,由3S3S2S4,,自主演练,1.(2018全国)记Sn为等差数列an的前n项和,若3S3S2S4,a12,则a5等于 A.12 B.10 C.10 D.12,将a12代入上式,解得d3, 故a5a1(51)d24(3)10. 故选B.,2.(2018烟台
7、模拟)设等差数列an的前n项和为Sn,若a75,S927,则a20等于 A.17 B.18 C.19 D.20,(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,n,d,an,Sn,知道其中三个就能求出另外两个. (2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量,即首项a1和公差d.,题型二 等差数列的判定与证明,师生共研,解 an是1与anan1的等差中项,,例1 在数列an中,a12,an是1与anan1的等差中项.,等差数列的四个判定方法 (1)定义法:证明对任意正整数n都有an1an等于同一个常数. (2)等差中项法:证明对任意正整数n都有2an1anan2. (3)通项公式法:得出
8、anpnq后,再根据定义判定数列an为等差数列. (4)前n项和公式法:得出SnAn2Bn后,再使用定义法证明数列an为等差数列.,题型三 等差数列性质的应用,命题点1 等差数列项的性质,多维探究,例2 (2018上饶模拟)已知an为等差数列,a2a818,则an的前9项和S9等于 A.9 B.17 C.72 D.81,解析 由等差数列的性质可得,a1a9a2a818,,命题点2 等差数列前n项和的性质,解析 在等差数列an中, S5,S10S5,S15S10成等差数列, 即7,14,S1521成等差数列, 所以7(S1521)214, 解得S1542.,例3 (1)(2019漳州质检)已知等
9、差数列an的前n项和为Sn.若S57,S1021,则S15等于 A.35 B.42 C.49 D.63,2 020,等差数列的性质 (1)项的性质:在等差数列an中,mnpq(m,n,p,qN*),则aman apaq. (2)和的性质:在等差数列an中,Sn为其前n项和,则 S2nn(a1a2n)n(anan1); S2n1(2n1)an.,解析 a3a5a7 3a515, a55, a5a233d, 可得d1,故选B.,跟踪训练2 (1)已知等差数列an,a22,a3a5a715,则数列an的公差d等于 A.0 B.1 C.1 D.2,(2)(2019莆田质检)设等差数列an的前n项和为S
10、n,若S130,S140,则Sn取最大值时n的值为 A.6 B.7 C.8 D.13,解析 根据S130,S140,a1a14a7a80,a80, 所以Sn取最大值时n的值为7,故选B.,3,课时作业,PART THREE,基础保分练,1.若an为等差数列,且a72a41,a30,则公差d等于,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由于a72a4a16d2(a13d)a11,则a11. 又由a3a12d12d0,,2.在等差数列an中,已知a12,a2a3a424,则a4a5a6等于 A.38 B.39 C.41 D.42,解析 由a12,a2a3
11、a424, 可得,3a16d24,解得d3, a4a5a63a112d42.故选D.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3.(2018新乡模拟)已知等差数列an中,a1 0123,S2 0172 017,则S2 020等于 A.2 020 B.2 020 C.4 040 D.4 040,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由等差数列前n项和公式结合等差数列的性质可得,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4.程大位算法统宗里有诗云“九百九十六斤棉,赠分八子做盘缠
12、.次第每人多十七,要将第八数来言.务要分明依次弟,孝和休惹外人传.”意为:996斤棉花,分别赠送给8个子女做旅费,从第一个开始,以后每人依次多17斤,直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明,使孝顺子女的美德外传,则第八个孩子分得斤数为 A.65 B.176 C.183 D.184,解析 根据题意可得每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列an,其中d17,n8,S8996.,解得a165. 由等差数列通项公式得a865(81)17184.,5.已知数列an是等差数列,前n项和为Sn,满足a15a3S8,给出下列结论: a100;S10最小;S7S12;S200. 其中一定正确的结论是 A. B
13、. C. D.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 a15(a12d)8a128d, 所以a19d, a10a19d0,正确; 由于d的符号未知,所以S10不一定最大,错误; S77a121d42d,S1212a166d42d, 所以S7S12,正确; S2020a1190d10d,错误. 所以正确的是,故选C.,A.14 B.15 C.16 D.17,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
14、,11,12,13,14,15,16,解析 数列an是等差数列,它的前n项和Sn有最小值, 公差d0,首项a10,an为递增数列.,a8a90, 由等差数列的性质知, 2a8a1a150.,当Sn0时,n的最小值为16.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,7.(2018北京)设an是等差数列,且a13,a2a536,则an的通项公式为 .,an6n3(nN*),解析 方法一 设公差为d. a2a536,(a1d)(a14d)36, 2a15d36.a13,d6, 通项公式ana1(n1)d6n3(nN*). 方法二 设公差为d, a2a5a1a636
15、,a13,,a13,通项公式an6n3(nN*).,解析 根据题意可得a1a132a7,2a12a134a72, 所以有sin 2a1cos a1sin 2a13cos a13 sin 2a1sin(22a1)cos a1cos(a1)0.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,0,解析 在等差数列中,S1919a10,T1919b10,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(n23n3)2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1
16、1,12,13,14,15,16,且a11,a39,,an(n23n3)2,n1时也成立. an(n23n3)2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(1)证明:数列bn是等差数列;,bn是等差数列.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)求数列an的通项公式.,12.(2018全国)记Sn为等差数列an的前n项和,已知a17,S315. (1)求an的通项公式;,解 设an的公差为d,由题意得3a13d15. 由a17得d2. 所以an的通项公式为ana1(n1)d2n9(nN*).,1,2,3,4,5
17、,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以当n4时,Sn取得最小值,最小值为16.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)求Sn,并求Sn的最小值.,技能提升练,13.(2018佛山质检)已知等差数列an的前n项和为Sn,bn 且b1b317,b2b468,则S10等于 A.90 B.100 C.110 D.120,解析 设an公差为d,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,d2,b1b3 17, 1,a10,,14.(2018菏泽模拟)已知等差数列an前n项和为Sn,且S69,S84
18、,若满 足不等式nSn的正整数n有且仅有3个,则实数的取值范围为 .,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 不妨设SnAn2Bn,由S69,S84,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,则f(x)3x215x3x(x5),易得数列nSn在1n5,nN*时单调递减;,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,40,解析 设an2(n1)d,,所以其通项是一个关于n的一次函数, 所以(d2)20, d2. 所以a202(201)240.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以a13a2(2n1)an2n, 所以a13a2(2n3)an12n2(n2,nN*),,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,当n1时,a12,符合上式,,所以b13b23n1bn3n, 所以b13b23n2bn13n3(n2,nN*), 两式相减得bn32n(n2,nN*). 当n1时,b13,符合上式, 所以bn32n(nN*). 所以cn(2k)n2k1. 因为对任意的正整数n都有SnS6,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,