1、第2课时 导数与函数的极值、最值,第三章 3.2 导数的应用,NEIRONGSUOYIN,内容索引,题型分类 深度剖析,课时作业,题型分类 深度剖析,1,PART ONE,题型一 用导数求解函数极值问题,命题点1 根据函数图象判断极值 例1 设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是 A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2) D.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2),多维探究,解析 由题图可知，当x0； 当22时
2、，f(x)0. 由此可以得到函数f(x)在x2处取得极大值， 在x2处取得极小值.,命题点2 求已知函数的极值 例2 (2018泉州质检)已知函数f(x)x1 (aR，e为自然对数的底数)， 求函数f(x)的极值.,当a0时，f(x)0，f(x)为(，)上的增函数，所以函数f(x)无极值. 当a0时，令f(x)0，得exa，即xln a， 当x(，ln a)时，f(x)0， 所以f(x)在(，ln a)上单调递减， 在(ln a，)上单调递增，故f(x)在xln a处取得极小值且极小值为f(ln a)ln a，无极大值. 综上，当a0时，函数f(x)无极值； 当a0时，f(x)在xln a处取
3、得极小值ln a，无极大值.,命题点3 根据极值(点)求参数,所以f(x)x2ax1.,函数极值的两类热点问题 (1)求函数f(x)极值的一般解题步骤 确定函数的定义域；求导数f(x)；解方程f(x)0，求出函数定义域内的所有根；列表检验f(x)在f(x)0的根x0左右两侧值的符号. (2)根据函数极值情况求参数的两个要领 列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解. 验证：求解后验证根的合理性.,跟踪训练1 设函数f(x)ax32x2xc. (1)当a1，且函数f(x)的图象过点(0,1)时，求函数f(x)的极小值；,解 f(x)3ax24x1. 函数f(x)的图
4、象过点(0,1)时，有f(0)c1. 当a1时，f(x)x32x2x1，f(x)3x24x1，,所以函数f(x)的极小值是f(1)13212111.,(2)若f(x)在(，)上无极值点，求a的取值范围.,解 若f(x)在(，)上无极值点， 则f(x)在(，)上是单调函数， 即f(x)3ax24x10或f(x)3ax24x10恒成立. 当a0时，f(x)4x1，显然不满足条件； 当a0时，f(x)0或f(x)0恒成立的充要条件是(4)243a10，,题型二 用导数求函数的最值,师生共研,(1)求f(x)的单调区间；,f(x)的定义域为(0，).,由f(x)0，得01，,(1)若函数在区间a，b上
5、单调递增或递减，f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值； (2)若函数在闭区间a，b内有极值，要先求出a，b上的极值，与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成； (3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.,跟踪训练2 (2017北京)已知函数f(x)excos xx. (1)求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；,解 因为f(x)excos xx， 所以f(x)ex(cos xsin x)1，f(0)0. 又因为f(0)1，所以曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程
6、为y1.,解 设h(x)ex(cos xsin x)1， 则h(x)ex(cos xsin xsin xcos x)2exsin x.,即f(x)0，,题型三 函数极值、最值的综合问题,例5 (2018珠海调研)已知函数f(x) (a0)的导函数yf(x)的两个零点为3和0. (1)求f(x)的单调区间；,师生共研,令g(x)ax2(2ab)xbc， 因为ex0，所以yf(x)的零点就是g(x)ax2(2ab)xbc的零点且f(x)与g(x)符号相同. 又因为a0，所以当30，即f(x)0， 当x0时，g(x)0，即f(x)0， 所以f(x)的单调递增区间是(3,0)， 单调递减区间是(，3)
7、，(0，).,(2)若f(x)的极小值为e3，求f(x)在区间5，)上的最大值.,解 由(1)知，x3是f(x)的极小值点，,解得a1，b5，c5，,因为f(x)的单调递增区间是(3,0)， 单调递减区间是(，3)，(0，)， 所以f(0)5为函数f(x)的极大值， 故f(x)在区间5，)上的最大值取f(5)和f(0)中的最大者，,所以函数f(x)在区间5，)上的最大值是5e5.,(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小. (2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函
8、数的最值.,跟踪训练3 已知函数f(x)ax32x24x5，当x 时，函数f(x)有极值，则函数f(x)在3,1上的最大值为_.,13,解析 f(x)3ax24x4，,f(x)x32x24x5， f(x)3x24x4.,当x变化时，f(x)，f(x)的取值及变化情况如表所示：,函数f(x)在3,1上的最大值为13.,例 (12分)已知函数f(x)ln xax(aR). (1)求函数f(x)的单调区间； (2)当a0时，求函数f(x)在1,2上的最小值.,答题模板,DATIMUBAN,利用导数求函数的最值,综上可知，当a0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，)；,所以f(x)的最小值是f(1)
9、a. 7分,又f(2)f(1)ln 2a，,当ln 2a1时，最小值为f(2)ln 22a. 11分 综上可知，当0aln 2时，函数f(x)的最小值是f(1)a； 当aln 2时，函数f(x)的最小值是f(2)ln 22a. 12分,答题模板 用导数法求给定区间上的函数的最值问题的一般步骤 第一步：(求导数)求函数f(x)的导数f(x)； 第二步：(求极值)求f(x)在给定区间上的单调性和极值； 第三步：(求端点值)求f(x)在给定区间上的端点值； 第四步：(求最值)将f(x)的各极值与f(x)的端点值进比较，确定f(x)的最大值与最小值； 第五步：(反思)反思回顾，查看关键点，易错点和解题
10、规范.,课时作业,2,PART TWO,1.函数f(x)的定义域为R，导函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x) A.无极大值点、有四个极小值点 B.有三个极大值点、一个极小值点 C.有两个极大值点、两个极小值点 D.有四个极大值点、无极小值点,解析 设f(x)的图象与x轴的4个交点的横坐标从左至右依次为x1，x2，x3，x4. 当x0，f(x)为增函数，当x1xx2时，f(x)0，f(x)为减函数，则xx1为极大值点， 同理，xx3为极大值点，xx2，xx4为极小值点，故选C.,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 f(x)x24(
11、x2)(x2)， f(x)在(，2)上单调递增，在(2,2)上单调递减， 在(2，)上单调递增，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3.函数yxex的最小值是 A.1 B.e C. D.不存在,解析 因为yxex，所以yexxex(1x)ex. 当x1时，y0；当x1时，y0， 所以当x1时，函数取得最小值，且ymin 故选C.,4.(2018南昌调研)已知e为自然对数的底数，设函数f(x)(ex1)(x1)k(k1,2)，则 A.当k1时，f(x)在x1处取得极小值 B.
12、当k1时，f(x)在x1处取得极大值 C.当k2时，f(x)在x1处取得极小值 D.当k2时，f(x)在x1处取得极大值,解析 当k1时，f(x)exx1，f(1)0，x1不是f(x)的极值点. 当k2时，f(x)(x1)(xexex2)， 显然f(1)0，且在x1附近的左侧f(x)1时，f(x)0， f(x)在x1处取得极小值.故选C.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,5.已知函数f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值10，则f(2)等于 A.11或18 B.11 C
13、.18 D.17或18,解析 函数f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值10， f(1)10，且f(1)0，又f(x)3x22axb，,f(x)x34x211x16，f(2)18.,6.若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式为yx327x123(x0)，则获得最大利润时的年产量为 A.1百万件 B.2百万件 C.3百万件 D.4百万件,解析 y3x2273(x3)(x3)， 当00； 当x3时，y0. 故当x3时，该商品的年利润最大.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,7.(2018海南联考)若x1是函数f(x)x3 的一个极值点
14、，则实数a_.,f(1)3a0，得a3.经检验，符合题意.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3,8.函数f(x)x33a2xa(a0)的极大值是正数，极小值是负数，则a的取值范 围是_.,解析 f(x)3x23a23(xa)(xa)， 由f(x)0得xa， 当aa或x0，函数f(x)单调递增， f(x)的极大值为f(a)，极小值为f(a). f(a)a33a3a0且f(a)a33a3a0，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,9.已知函数f(x)x3ax24在x2处取得极值，若m1,1，则f(m)的最小值为
15、_.,4,解析 f(x)3x22ax，由f(x)在x2处取得极值知f(2)0， 即342a20，故a3. 由此可得f(x)x33x24. f(x)3x26x，由此可得f(x)在(1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增， 当m1,1时，f(m)minf(0)4.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,10.(2018长沙调研)已知yf(x)是奇函数，当x(0,2)时，f(x)ln xax 当x(2,0)时，f(x)的最小值为1，则a_.,1,解析 由题意知，当x(0,2)时，f(x)的最大值为1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,
16、13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,11.已知函数f(x)ax2bln x在点A(1，f(1)处的切线方程为y1. (1)求实数a，b的值；,f(1)a1，f(1)2ab0， 将a1代入2ab0，解得b2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)求函数f(x)的极值.,解 由(1)得f(x)x22ln x(x0)，,令f(x)0，解得x1，令f(x)0，解得0x1， 所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增， 所以f(x)极小值f(1)1，无极大值.,12.(2018
17、武汉质检)已知函数f(x) (1)求f(x)在区间(，1)上的极小值和极大值点；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 当x1时，f(x)3x22xx(3x2)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,故当x0时，函数f(x)取得极小值f(0)0，,(2)求f(x)在1，e(e为自然对数的底数)上的最大值.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,
18、所以f(x)在1,1)上的最大值为2. 当1xe时，f(x)aln x，当a0时，f(x)0； 当a0时，f(x)在1，e上单调递增， 则f(x)在1，e上的最大值为f(e)a. 故当a2时，f(x)在1，e上的最大值为a； 当a2时，f(x)在1，e上的最大值为2.,13.函数f(x)x33x1，若对于区间3,2上的任意x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|t，则实数t的最小值是 A.20 B.18 C.3 D.0,解析 因为f(x)3x233(x1)(x1)， 令f(x)0，得x1，可知1,1为函数的极值点. 又f(3)19，f(1)1，f(1)3，f(2)1， 所以在区间3,2上，f(
19、x)max1，f(x)min19. 由题设知在区间3,2上，f(x)maxf(x)mint， 从而t20，所以t的最小值是20.,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,14.(2018贵州质检)设直线xt与函数h(x)x2，g(x)ln x的图象分别交于点M， N，则当|MN|最小时，t的值为_.,解析 由已知条件可得|MN|t2ln t，,15.已知函数f(x)xln xmex(e为自然对数的底数)有两个极值点，则实数m的 取值范围是_.,拓展冲刺练,1,2,3,
20、4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 f(x)xln xmex(x0)，f(x)ln x1mex(x0)，,h(x)在(0，)上单调递减且h(1)0， 当x(0,1时，h(x)0，即g(x)0，g(x)在(0,1上单调递增，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,即g(x)0，g(x)在(1，)上单调递减，,而当x0时，g(x)，当x时，g(x)0； 若ym和g(x)的图象在(0，)上有两个交点，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,16.已知函数f(x)axln x，x(0，e的最小值是2，求正实数a的值.,综上，正实数a的值为e.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,
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