1、阶段强化练(二),第二章 函数概念与基本初等函数,一、选择题 1.下列函数中，既是偶函数又存在零点的是 A.ycos x B.ysin x C.yln x D.yx21,解析 ycos x是偶函数且有无数多个零点，ysin x为奇函数，yln x既不是奇函数也不是偶函数，yx21是偶函数但没有零点. 故选A.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,2.方程log3x2x6的解所在区间是 A.(1,2) B.(3,4) C.(2,3) D.(5,6),解析 令f(x)log3x2x6， 则函数f(x)在(0，)上单调递增， 且函数在(0，)上连
2、续， 因为f(2)0，故有f(2)f(3)0， 所以函数f(x)log3x2x6的零点所在的区间为(2,3)， 即方程log3x2x6的解所在区间是(2,3).故选C.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,3.(2018咸阳模拟)函数 零点的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,4.若函数f(x)x2mx1有两个不同零点，则实数m的取值范围是 A.(1,1) B.(2,2) C.(，2)(2，) D.(，1)(1，),解析 依题意，知m240，m2或
3、m2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,5.若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x)，且当x0,1时，f(x)x，则函数yf(x)log3|x|的零点有 A.多于4个 B.4个 C.3个 D.2个,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析 因为偶函数f(x)满足f(x2)f(x)，故函数的周期为2.当x0,1时，f(x)x，故当x1,0时，f(x)x. 函数yf(x)log3|x|的零点的个数等于函数yf(x)的图象与函数ylog3|x|的图象的交点个数. 在同一个坐标系中
4、画出函数yf(x)的图象与函数ylog3|x|的图象，如图所示.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,显然函数yf(x)的图象与函数ylog3|x|的图象有4个交点，故选B.,6.(2019山西大学附中诊断)函数f(x) 的零点个数为 A.0 B.1 C.2 D.3,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析 对于求函数f(x)ln xx22x的零点个数，可以转化为方程ln xx22x的根的个数问题， 分别画出yln x，yx22x的图象如图. 由图象可得两个函数有两个交点.,1,2,3,
5、4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,故选D.,7.(2019珠海摸底)函数f(x) 若函数g(x)f(x)xa只有一个 零点，则a的取值范围是 A.(， 02 B.0, )2 C.(， 0 D.0, ),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析 因为g(x)f(x)xa只有一个零点， 所以yf(x)与yxa只有一个交点， 作出函数yf(x)与yxa的图象， yxa与yex1(x1)只有一个交点，则a0，即a0，yln(x1)，x1与yxa只有一个交点，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11
6、,12,13,14,15,16,17,18,故切点为(2,0)，所以02a，即a2， 综上所述，a的取值范围为( , 02. 故选A.,8.(2019淄博期中)已知函数f(x) (a0)，若存在实数b使函数g(x) f(x)b有两个零点，则实数a的取值范围是 A.(0,1) B.(1，) C.(1,2 019) D.1，),解析 由题设有f(x)为(，a上的增函数， 也是(a，)上的增函数， 当a3a2时，f(x)不是R上的增函数，故必定存在b，使得直线yb与f(x)的图象有两个交点， 即g(x)f(x)b有两个零点，此时a1.故选B.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1
7、3,14,15,16,17,18,9.已知函数yf(x)的周期为2，当x0,2时，f(x)(x1)2，如果g(x)f(x)log5|x1|， 则方程g(x)0的所有根之和为 A.2 B.4 C.6 D.8,解析 在平面直角坐标系中画出函数yf(x)及ylog5|x1|的图象，结合函数的图象可以看出函数共有8个零点，且关于x1对称，故所有零点的和为248，故选D.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,10.(2019长春质检)已知函数f(x) 与g(x)1sin x，则函数F(x)f(x) g(x)在区间2,6上所有零点的和为 A.4 B.8
8、 C.12 D.16,解析 F(x)f(x)g(x)在区间2,6上所有零点的和，等价于函数g(x)，f(x)的图象交点横坐标的和， 画出函数g(x)，f(x)在区间2,6上的图象， 函数g(x)，f(x)的图象关于点(2,1)对称， 则F(x)0在区间2,6上共有8个零点，其和为16.故选D.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,11.(2019河北衡水中学模拟)对于函数yf(x)，若存在x0，使f(x0)f(x0)0， 则称点(x0，f(x0)是曲线f(x)的“优美点”.已知f(x) 则曲线 f(x)的“优美点”的个数为 A.1 B.2
9、C.4 D.6,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析 曲线f(x)的“优美点”个数， 就是x0， 联立yx2和yx22x，解得x1或x2， 则存在点(1,1)和(2,0)为“优美点”， 曲线f(x)的“优美点”个数为2，故选B.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,12.(2019惠州调研)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x) 若函数F(x)f(x)m有 6 个零点，则实数m的取值范围是,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,
10、18,解析 函数f(x)是定义在R上的偶函数， 函数F(x)f(x)m有六个零点， 则当x0时，函数F(x)f(x)m有三个零点， 令F(x)f(x)m0， 即mf(x)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,且f(x)242，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,且当x时，f(x)0，,当2x3时，f(x)0，f(x)单调递减， 当x3时，f(x)0，f(x)单调递增，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,故选C.,二、填空题 13
11、.(2019西安一中月考)已知函数f(x) 则f(x)零点的个数是_.,3,解析 令2x10，解得x0，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,所以函数零点的个数为3.,14.已知函数f(x) 若函数g(x)f(x)a有三个不同的零点， 则实数a的取值范围是_.,(1,2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析 函数g(x)f(x)a有三个不同的零点等价于yf(x)的图象与直线ya有三个不同交点， 作出函数yf(x)的图象： 由图易得a(1,2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
12、,11,12,13,14,15,16,11,17,18,15.(2019山东胶州一中模拟)已知函数f(x)满足f(1x)f(x1)f(x1)(xR)，且当0x1时f(x)2x1，则方程|cos x|f(x)0在1,3上的所有根之和为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析 由题意知，函数满足f(1x)f(x1)， 可得函数f(x)的图象关于x1对称，又f(x1)f(x1)，所以函数f(x)是以2为周期的周期函数， 方程|cos x|f(x)0在1,3上的零点个数， 即函数y|cos x|和yf(x)在1,3上图象的交点的个数，当0x1
13、时，f(x)2x1， 在同一坐标系内， 作出两个函数在1,3的图象的草图，如图所示， 结合图象可知，两个函数共有11个交点， 即方程|cos x|f(x)0在1,3上有11个根，所有根的和为25111.,16.已知函数f(x) 若f(x)在区间0，)上有且只有 2个零点，则实数m的取值范围是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析 当0x1时，2x22mx10， 易知x0不是方程2x22mx10的解，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,故2m0，,即当2m0时，方程f(x)0在(
14、1，)上有且只有一个解， 综上所述，若f(x)在区间0，)上有且只有2个零点，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,三、解答题 17.(2019湖南岳阳一中质检)已知f(x)|2x3|ax6(a是常数，aR). (1)当a1时，求不等式f(x)0的解集；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解得x3或x3，则原不等式的解集为x|x3或x3.,(2)如果函数yf(x)恰有两个不同的零点，求a的取值范围.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,1
15、8,解 由f(x)0，得|2x3|ax6， 令y|2x3|，yax6，作出它们的图象(图略)， 可以知道，当2a2时，这两个函数的图象有两个不同的交点， 所以函数yf(x)恰有两个不同的零点时， a的取值范围是(2,2).,18.已知函数f(x) 若存在实数x1，x2，x3，且x1x2x3，使f(x1) f(x2)f(x3). (1)画出函数f(x)的图象；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,可得函数f(x)的图象如图所示.,(2)求x1f(x2)的取值范围.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解 由存在实数x1，x2，x3，且x1x2x3， 设f(x1)f(x2)f(x3)m，m(0,2， 且x1(2,0，x2(0,1)， 则f(x1)m，即x12m，解得x1m2， 所以x1f(x2)(m2)mm22m(m1)21， m(0,2， 当m1时，x1f(x2)取得最小值1， 当m2时，x1f(x2)取得最大值0， 所以x1f(x2)的取值范围是1,0.,
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