1、9.1 直线的方程,第九章 平面解析几何,ZUIXINKAOGANG,最新考纲,1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素. 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式. 3.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，体会斜截式与一次函数的关系.,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART ONE,1.直线的倾斜角 (1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l_之间所成的角叫做
2、直线l的倾斜角.当直线l与x轴_时，规定它的倾斜角为0. (2)范围：直线l倾斜角的范围是_.,向上方向,平行或重合,0，180),知识梳理,ZHISHISHULI,2.斜率公式 (1)若直线l的倾斜角90，则斜率k_. (2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上且x1x2，则l的斜率k_.,tan ,3.直线方程的五种形式,AxByC0 (A2B20),ykxb,yy0k(xx0),1.直线都有倾斜角，是不是都有斜率？倾斜角越大，斜率k就越大吗？,【概念方法微思考】,2.“截距”与“距离”有何区别？当截距相等时应注意什么？,提示 “截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，
3、也可以是零，而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意.,题组一 思考辨析,1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.( ) (2)若直线的斜率为tan ，则其倾斜角为.( ) (3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.( ) (4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程 (yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示.( ),基础自测,JICHUZICE,1,2,3,4,5,6,题组二 教材改编,2.若过点M(2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为 A.1 B.4
4、C.1或3 D.1或4,1,2,3,4,5,6,3.过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为_.,3x2y0或xy50,解析 当截距为0时，直线方程为3x2y0；,1,2,3,4,5,6,题组三 易错自纠,4.(2018石家庄模拟)直线x(a21)y10的倾斜角的取值范围是,1,2,3,4,5,6,5.如果AC0且BC0，那么直线AxByC0不通过 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限,1,2,3,4,5,6,6.过直线l：yx上的点P(2,2)作直线m，若直线l，m与x轴围成的三角形的面积为2，则直线m的方程为 .,解析 若直线m的斜率不存在，则直线m的方程为x2
5、，直线m，直线l和x轴围成的三角形的面积为2，符合题意；,x2y20或x2,若直线m的斜率k0，则直线m与x轴没有交点，不符合题意；,综上可知，直线m的方程为x2y20或x2.,6,1,2,3,4,5,2,题型分类 深度剖析,PART TWO,题型一 直线的倾斜角与斜率,师生共研,解析 直线2xcos y30的斜率k2cos ，,(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0， )为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为 .,1.若将本例(2)中P(1,0)改为P(1,0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围.,2.若将本例(2)中的B点坐标改为(2，1)，其他条件不变，求直
6、线l倾斜角的取值范围.,解 如图，直线PA的倾斜角为45，,直线PB的倾斜角为135， 由图象知l的倾斜角的范围为0，45135，180).,(1)倾斜角与斜率k的关系,(2)斜率的两种求法 定义法：若已知直线的倾斜角或的某种三角函数值，一般根据ktan 求斜率.,(3)倾斜角范围与直线斜率范围互求时，要充分利用ytan 的单调性.,跟踪训练1 (1)若平面内三点A(1，a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a等于,解析 平面内三点A(1，a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，kABkAC，,(2)直线l经过A(3,1)，B(2，m2)(mR)两点，则直线l的倾斜角的取值范围 是 .
7、,所以ktan 1.,题型二 求直线的方程,例2 求适合下列条件的直线方程： (1)经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；,师生共研,解 方法一 设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a0，即l过点(0,0)和(3,2)，,a5，l的方程为xy50， 综上可知，直线l的方程为2x3y0或xy50.,方法二 由题意，所求直线的斜率k存在且k0， 设直线方程为y2k(x3)，,即xy50或2x3y0.,解 设所求直线的斜率为k，依题意,又直线经过点A(1，3)，,即3x4y150.,(3)过点A(1，1)与已知直线l1：2xy60相交于B点且|AB|5.,解 过点A(1，1)与y轴平行的直线
8、为x1.,求得B点坐标为(1,4)，此时|AB|5，即x1为所求. 设过A(1，1)且与y轴不平行的直线为y1k(x1)，,(k2，否则与已知直线平行).,即3x4y10. 综上可知，所求直线的方程为x1或3x4y10.,在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件.若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况.,跟踪训练2 求适合下列条件的直线方程： (1)过点P(2,3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数；,将P(2,3)代入方程，得a1， 所以直线l的方程为xy10. 综上，所求直线l的方程为3x2y0或xy10.,(2
9、)过点A(1，3)，倾斜角等于直线y3x的倾斜角的2倍；,解 设直线y3x的倾斜角为， 则所求直线的倾斜角为2.,又直线经过点A(1，3)，,即3x4y150.,(3)直线过点(3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12.,故所求直线方程为4xy160或x3y90.,题型三 直线方程的综合应用,命题点1 与基本不等式相结合求最值问题,例3 (2018济南模拟)已知直线l过点M(2,1)，且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点，求当 取得最小值时直线l的方程.,多维探究,解 设A(a,0)，B(0，b)，则a0，b0，,2(a2)b12ab5,当且仅当ab3时取等号，此时直线l的
10、方程为xy30.,命题点2 由直线方程解决参数问题,例4 已知直线l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，当0a2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a的值.,与直线方程有关问题的常见类型及解题策略 (1)求解与直线方程有关的最值问题.先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值. (2)求直线方程.弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程. (3)求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解.,跟踪训练3 过点P(4,1)作直线l分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐
11、标原点. (1)当AOB面积最小时，求直线l的方程；,因为直线l经过点P(4,1)，,所以ab16，当且仅当a8，b2时等号成立，,(2)当|OA|OB|取最小值时，求直线l的方程.,3,课时作业,PART THREE,1.直线 xya0(a为常数)的倾斜角为 A.30 B.60 C.150 D.120,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 设直线的倾斜角为，斜率为k，,0180，60.,基础保分练,2.(2018海淀模拟)过点(2,1)且倾斜角比直线yx1的倾斜角小 的直线方程是 A.x2 B.y1 C.x1 D.y2,解析 直线yx1的斜率为1
12、，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,斜率不存在，过点(2,1)的直线方程为x2.,3.已知过定点P(2,0)的直线l与曲线y 相交于A，B两点，O为坐标原点，当AOB的面积取到最大值时，直线l的倾斜角为 A.150 B.135 C.120 D.不存在,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,显然直线l的斜率存在， 设过点P(2,0)的直线l为yk(x2)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,故直线l的倾斜角为150.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,1
13、2,13,14,15,16,4.如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则 A.k1k2k3 B.k3k1k2 C.k3k2k1 D.k1k3k2,解析 直线l1的倾斜角1是钝角，故k13，所以0k3k2， 因此k1k3k2，故选D.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,5.直线MN的斜率为2，其中点N(1，1)，点M在直线yx1上，则 A.M(5,7) B.M(4,5) C.M(2,1) D.M(2,3),解析 设M的坐标为(a，b)，若点M在直线yx1上， 则有ba1. ,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13
14、,14,15,16,联立可得a4，b5， 即M的坐标为(4,5).故选B.,6.已知两点M(2，3)，N(3，2)，直线l过点P(1,1)且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 如图所示，,要使直线l与线段MN相交， 当l的倾斜角小于90时，kkPN；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,7.一条直线经过点A(2， )，并且它的倾斜角等于直线y 的倾斜角的2倍，则这条直线的一般式方程是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,
15、16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,8.直线kxy2k，当k变化时，所有的直线都过定点_.,(1，2),解析 kxy2k可化为y2k(x1)，根据直线方程的点斜式可知，此类直线恒过定点(1，2).,9.已知三角形的三个顶点A(5,0)，B(3，3)，C(0,2)，则BC边上中线所在的直线方程为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,x13y50,即x13y50.,10.经过点A(4,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的3倍的直线l的方程的一般式为_.,解析 当截距为0时，设直线方程为ykx，则4k
16、2，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,x3y100或x2y0,综上，直线l的一般式方程为x3y100或x2y0.,11.过点P(3,0)作一条直线，使它夹在两直线l1：2xy20与l2：xy30之间的线段AB恰好被点P平分，求此直线的方程.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 设点A(x，y)在l1上，点B(xB，yB)在l2上.,故所求的直线方程为y8(x3)，即8xy240.,12.已知直线l：kxy12k0(kR). (
17、1)证明：直线l过定点；,证明 直线l的方程可化为yk(x2)1， 故无论k取何值，直线l总过定点(2,1).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；,解 直线l的方程可化为ykx2k1， 则直线l在y轴上的截距为2k1，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,故k的取值范围是k0.,(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,
18、15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,在y轴上的截距为12k，且k0，,故S的最小值为4，此时直线l的方程为x2y40.,13.(2018焦作期中)过点A(3，1)且在两坐标轴上截距相等的直线有 A.1条 B.2条 C.3条 D.4条,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,技能提升练,解析 当所求的直线与两坐标轴的截距都不为0时， 设该直线的方程为xya， 把(3，1)代入所设的方程得a2， 则所求直线的方程为xy2，即xy20； 当所求的直线与两坐标轴的截距为0时， 设该直线的方程为ykx，,1,2,
19、3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,综上，所求直线的方程为xy20或x3y0，故选B.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 直线axy20恒过点M(0，2)，且斜率为a，,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,16.已知动直线l0：axbyc30(a0，c0)恒过点P(1，m)，且Q(4,0)到动直线l0的最大距离为3，求 的最小值.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 动直线l0：axbyc30(a0，c0)恒过点P(1，m)， abmc30. 又Q(4,0)到动直线l0的最大距离为3，,ac3.,当且仅当c2a2时取等号.,
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