1、9.2 两条直线的位置关系,第九章 平面解析几何,ZUIXINKAOGANG,最新考纲,1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直. 2.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标. 3.探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART ONE,1.两条直线的位置关系 (1)两条直线平行与垂直 两条直线平行： ()对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1l2_. ()当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1l2. 两条直线垂直：
2、()如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2， 则有l1l2_. ()当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1l2.,知识梳理,ZHISHISHULI,k1k2,k1k21,(2)两条直线的交点 直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则l1与l2的交点坐标就是方 程组_ 的解.,2.几种距离 (1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|_.,1.若两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率有什么关系？,【概念方法微思考】,提示 当两条直线l1与l2的斜率都存在时， 1；当两条直线中一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，l1与l
3、2也垂直.,2.应用点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式时应注意什么？,提示 (1)将方程化为最简的一般形式. (2)利用两平行线之间的距离公式时，应使两平行线方程中x，y的系数分别对应相等.,题组一 思考辨析,1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1k2l1l2.( ) (2)已知直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1l2，则A1A2B1B20.( ) (3)点P(x0，y0)到直线ykxb的距离为 .( ),基础自测,JICHUZICE,1,2,3,4,5,
4、6,7,(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.( ) (5)若点A，B关于直线l：ykxb(k0)对称，则直线AB的斜率等于 ，且线段AB的中点在直线l上.( ),1,2,3,4,5,6,7,题组二 教材改编,2.已知点(a,2)(a0)到直线l：xy30的距离为1，则a等于,1,2,3,4,5,6,7,3.已知P(2，m)，Q(m,4)，且直线PQ垂直于直线xy10，则m_.,所以m1.,1,1,2,3,4,5,6,7,4.若三条直线y2x，xy3，mx2y50相交于同一点，则m的值为_.,所以点(1,2)满足方程mx2y50， 即m12250，所以m9.,9,1,2
5、,3,4,5,6,7,题组三 易错自纠,5.直线2x(m1)y40与直线mx3y20平行，则m等于 A.2 B.3 C.2或3 D.2或3,1,2,3,4,5,6,7,解析 直线2x(m1)y40与直线mx3y20平行，,6.直线2x2y10，xy20之间的距离是_.,1,2,3,4,5,6,7,7.若直线(3a2)x(14a)y80与(5a2)x(a4)y70垂直，则a_.,解析 由两直线垂直的充要条件，得(3a2)(5a2)(14a)(a4)0，,0或1,1,2,3,4,5,6,7,解得a0或a1.,2,题型分类 深度剖析,PART TWO,题型一 两条直线的平行与垂直,例1 已知直线l1
6、：ax2y60和直线l2：x(a1)ya210. (1)试判断l1与l2是否平行；,师生共研,解 方法一 当a1时，l1：x2y60， l2：x0，l1不平行于l2； 当a0时，l1：y3， l2：xy10，l1不平行于l2；,综上可知，当a1时，l1l2，a1时，l1与l2不平行.,方法二 由A1B2A2B10，得a(a1)120， 由A1C2A2C10， 得a(a21)160，,故当a1时，l1l2.a1时，l1与l2不平行.,(2)当l1l2时，求a的值.,解 方法一 当a1时，l1：x2y60，l2：x0， l1与l2不垂直，故a1不成立； 当a0时，l1：y3，l2：xy10，l1不
7、垂直于l2， 故a0不成立； 当a1且a0时，,(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件. (2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.,跟踪训练1 (1)(2018潍坊模拟)直线l1：(3m)x4y53m，l2：2x(5m)y8，则“m1或m7”是“l1l2”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,所以“m1或m7”是“l1l2”的必要不充分条件，故选B.,(2)(2018青岛模拟)已知两条直线l1：axby40
8、和l2：(a1)xyb0，求满足下列条件的a，b的值. l1l2，且直线l1过点(3，1)；,解 l1l2，a(a1)b0， 又直线l1过点(3，1)，3ab40. 故a2，b2.,l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等.,解 直线l2的斜率存在，l1l2， 直线l1的斜率存在.,又坐标原点到这两条直线的距离相等， l1，l2在y轴上的截距互为相反数，,题型二 两直线的交点与距离问题,1.(2018西宁调研)若直线l与两直线y1，xy70分别交于M，N两点，且MN的中点是P(1，1)，则直线l的斜率是,自主演练,2.若P，Q分别为直线3x4y120与6x8y50上任意一点，则|PQ|的最小
9、值为,3.已知直线ykx2k1与直线y x2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是_.,方法二 如图，已知直线,而直线方程ykx2k1可变形为y1k(x2)，表示这是一条过定点P(2,1)，斜率为k的动直线. 两直线的交点在第一象限， 两直线的交点必在线段AB上(不包括端点)， 动直线的斜率k需满足kPAkkPB.,4.已知A(4，3)，B(2，1)和直线l：4x3y20，若在坐标平面内存在一点 P，使|PA|PB|，且点P到直线l的距离为2，则P点坐标为_.,解析 设点P的坐标为(a，b). A(4，3)，B(2，1)， 线段AB的中点M的坐标为(3，2).,线段AB的垂直平分线方程为y
10、2x3， 即xy50. 点P(a，b)在直线xy50上，ab50. 又点P(a，b)到直线l：4x3y20的距离为2，,(1)求过两直线交点的直线方程的方法 先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程. (2)利用距离公式应注意：点P(x0，y0)到直线xa的距离d|x0a|，到直线yb的距离d|y0b|；两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等.,题型三 对称问题,命题点1 点关于点中心对称,例2 过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2xy80和l2：x3y100截得的线段被点P平分，则直线l的方程为_.,多维探究,x4y40,解析 设l1与l的交点为A(a,8
11、2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(a,2a6)在l2上，代入l2的方程得a3(2a6)100，解得a4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x4y40.,命题点2 点关于直线对称,例3 如图，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是,命题点3 直线关于直线的对称问题,例4 直线2xy30关于直线xy20对称的直线方程是_.,x2y30,解析 设所求直线上任意一点P(x，y)， 则P关于xy20的对称点为P(x0，y0)，,由点P(x0，y0)在直线2xy30上， 2(y2
12、)(x2)30， 即x2y30.,解决对称问题的方法 (1)中心对称 点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点P(x，y)满足 直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决.,(2)轴对称 点A(a，b)关于直线AxByC0(B0)的对称点A(m，n)，则有 直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.,跟踪训练2 已知直线l：3xy30，求： (1)点P(4,5)关于l的对称点；,解 设P(x，y)关于直线l：3xy30的对称点为P(x，y)，,又PP的中点在直线3xy30上，,把x4，y5代入得x2，y7， 点P(4,5)关于直线l的对称点P的坐标为(2,7).,(2)直线xy
13、20关于直线l对称的直线方程；,解 用分别代换xy20中的x，y，,化简得7xy220.,(3)直线l关于(1,2)的对称直线.,解 在直线l：3xy30上取点M(0,3)， 关于(1,2)的对称点M(x，y)，,l关于(1,2)的对称直线平行于l，k3， 对称直线方程为y13(x2)， 即3xy50.,在求解直线方程的题目中，可采用设直线系方程的方式简化运算，常见的直线系有平行直线系，垂直直线系和过直线交点的直线系.,思想方法,SIXIANGFANGFA,妙用直线系求直线方程,一、平行直线系 例1 求与直线3x4y10平行且过点(1,2)的直线l的方程.,解 由题意，设所求直线方程为3x4y
14、c0(c1)， 又因为直线过点(1,2)， 所以3142c0，解得c11. 因此，所求直线方程为3x4y110.,二、垂直直线系 例2 求经过A(2,1)，且与直线2xy100垂直的直线l的方程.,解 因为所求直线与直线2xy100垂直， 所以设该直线方程为x2yC0， 又直线过点A(2,1)， 所以有221C0，解得C0， 即所求直线方程为x2y0.,三、过直线交点的直线系 例3 求经过两直线l1：x2y40和l2：xy20的交点P，且与直线l3：3x4y50垂直的直线l的方程.,即4x3y60. 方法二 设直线l的方程为x2y4(xy2)0， 即(1)x(2)y420. 又ll3，3(1)
15、(4)(2)0， 解得11. 直线l的方程为4x3y60.,3,课时作业,PART THREE,1.直线2xym0和x2yn0的位置关系是 A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.不能确定,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,故选C.,基础保分练,2.已知直线l1：xmy70和l2：(m2)x3y2m0互相平行，则实数m等于 A.1或3 B.1 C.3 D.1或3,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 当m0时，显然不符合题意；,解得m1或m3，故选A.,3.已知过点A(2，m)和B(m,4)的直线为l1
16、，直线2xy10为l2，直线xny10为l3.若l1l2，l2l3，则实数mn的值为 A.10 B.2 C.0 D.8,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 因为l1l2，,解得n2，所以mn10.,4.过点M(3,2)，且与直线x2y90平行的直线方程是 A.2xy80 B.x2y70 C.x2y40 D.x2y10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,又所求直线过M(3,2)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,化为一般式得x2y10.故选D.,方法二 由题意
17、，设所求直线方程为x2yc0， 将M(3，2)代入，解得c1， 所以所求直线为x2y10.故选D.,5.若直线l1：xay60与l2：(a2)x3y2a0平行，则l1与l2之间的距离为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 l1l2，a2且a0，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 直线y2x3与yx的交点为A(1,1)， 而直线y2x3上的点(0,3)关于yx的对称点为B(3，0)， 而A，B两点都在l2上，,7.已知直线l1：axy60与l2：x(a2)ya10相交于点P，若l1l2，则a_，此时
18、点P的坐标为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,(3,3),解析 直线l1：axy60与l2：x(a2)ya10相交于点P，且l1l2， a11(a2)0，,易得x3，y3，P(3,3).,8.将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重 合，则mn_.,解析 由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线， 即直线y2x3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,9.直线l1：y2x3关于直线l：y
19、x1对称的直线l2的方程为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,x2y0,所以可设直线l2的方程为y1k(x2)， 即kxy2k10.,所以直线l2的方程为x2y0.,10.已知入射光线经过点M(3,4)，被直线l：xy30反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为_.,解析 设点M(3,4)关于直线l：xy30的对称点为M(a，b)，则反射光线所在直线过点M，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,6xy60,解得a1，b0.又反射光线经过点N(2,6)，,11.已知方程(2)x(1)y2
20、(32)0与点P(2,2). (1)证明：对任意的实数，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 显然2与(1)不可能同时为零，故对任意的实数，该方程都表示直线. 方程可变形为2xy6(xy4)0，,故直线经过的定点为M(2，2).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,证明 过P作直线的垂线段PQ，由垂线段小于斜线段知|PQ|PM|，当且仅当Q与M重合时，|PQ|PM|， 此时对应的直线方程是y2x2，即xy40. 但直线系方程唯独不能表示直线x
21、y40，,12.已知三条直线：l1：2xya0(a0)；l2：4x2y10；l3：xy10，且l1与l2间的距离是 . (1)求a的值；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,又a0，解得a3.,(2)能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件： 点P在第一象限； 点P到l1的距离是点P到l2的距离的 ； 点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是 .若能，求点P的坐标；若不能，说明理由.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 假设存在点P，设点P(x0，y0). 若P点满足条件，则P点在与l1，l2平行的直线l：
22、2xyc0上，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,若P点满足条件，由点到直线的距离公式，,即|2x0y03|x0y01|， 所以x02y040或3x020； 由于点P在第一象限，所以3x020不可能.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,13.已知直线y2x是ABC中C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(4，2)，(3,1)，则点C的坐标为 A.(2,4) B.(2，4) C.(2,4) D.(2，4),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,技能提升练,1,2,
23、3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,即3xy100.同理可得点B(3,1)关于直线y2x的对称点为(1,3)，,即x3y100.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,则C(2,4).故选C.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,14.若三条直线y2x，xy3，mxny50相交于同一点，则点(m，n)到原点的距离的最小值为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,把(1,2)代入mxny50可得，m2n50. m52n. 点(m，n)到原点的
24、距离,当n2，m1时取等号.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,15.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知ABC的顶点A(1,0)，B(0,2)，且ACBC，则ABC的欧拉线的方程为 A.4x2y30 B.2x4y30 C.x2y30 D.2xy30,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 因为ACBC，所以欧拉线为AB的中垂线， 又A(1，0)，B(0,2)，,即2x4y30
25、.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,16.在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，又与直线l重合.若直线l与直线l1关于点(2,4)对称，求直线l的方程.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykxb， 将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度， 得到直线l1：yk(x3)5b， 将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度， 则平移后的直线方程为yk(x31)b52， 即ykx34kb，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,
浙公网安备33030202001339号