1、2.8 函数与方程,ZUIXINKAOGANG,最新考纲,1.结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系. 2.根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法.,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART ONE,1.函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数yf(x)(xD)，把使 的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点. (2)三个等价关系 方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与 有交点函数yf(x)有 .
2、 (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_ ，那么，函数yf(x)在区间 内有零点，即存在c(a，b)，使得 ，这个 也就是方程f(x)0的根.,f(x)0,x轴,零点,f(a),知识梳理,ZHISHISHULI,f(b)0,(a，b),f(c)0,c,2.二次函数yax2bxc (a0)的图象与零点的关系,(x1，0)，(x2，0),(x1，0),2,1,0,函数f(x)的图象连续不断，是否可得到函数f(x)只有一个零点？,提示 不能.,【概念方法微思考】,题组一 思考辨析,1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)
3、 (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.( ) (2)函数yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)0.( ) (3)二次函数yax2bxc(a0)在b24ac0时没有零点.( ) (4)f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，当x(4，)时，恒有h(x)f(x)g(x).( ),基础自测,JICHUZICE,1,2,3,4,5,6,题组二 教材改编,且函数f(x)的图象在(0，)上连续不断，f(x)为增函数， f(x)的零点在区间(2,3)内.,1,2,3,4,5,6,3.函数f(x)ex3x的零点个数是 A.0 B.1 C.2 D.3,解析 由
4、f(x)ex30，得f(x)在R上单调递增，,1,2,3,4,5,6,因此函数f(x)有且只有一个零点.,题组三 易错自纠,4.函数f(x)ln2x3ln x2的零点是 A.(e,0)或(e2，0) B.(1,0)或(e2，0) C.(e2，0) D.e或e2,解析 f(x)ln2x3ln x2(ln x1)(ln x2)， 由f(x)0得xe或xe2.,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,5.若二次函数f(x)x22xm在区间(0,4)上存在零点，则实数m的取值范围是 .,(8,1,解析 mx22x在(0,4)上有解， 又x22x(x1)21， yx22x在(0,4)上的值域为(
5、8,1， 8m1.,1,2,3,4,5,6,6.已知函数f(x)x (x0)，g(x)xex，h(x)xln x(x0)的零点分别为x1，x2，x3，则 A.x1x2x3 B.x2x1x3 C.x2x3x1 D.x3x1x2,如图所示，可知选C.,2,题型分类 深度剖析,PART TWO,题型一 函数零点所在区间的判定,1.设f(x)ln xx2，则函数f(x)的零点所在的区间为 A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4),自主演练,解析 f(1)ln 11210， f(1)f(2)0， 函数f(x)ln xx2的图象在(0，)上是连续的，且为增函数， f(x)的零点所在的
6、区间是(1,2).,2.若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间 A.(a，b)和(b，c)内 B.(，a)和(a，b)内 C.(b，c)和(c，)内 D.(，a)和(c，)内,解析 a0， f(b)(bc)(ba)0， 由函数零点存在性定理可知，在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点.因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内，故选A.,3.已知函数f(x)logaxxb(a0且a1).当2a3b4时，函数f(x)的零点x0(n，n1)，nN*，则n .,解析 对于函数yl
7、ogax， 当x2时，可得y1， 在同一坐标系中画出函数ylogax，yxb的图象， 判断两个函数图象的交点的横坐标在(2,3)内， 函数f(x)的零点x0(n，n1)时，n2.,2,判断函数零点所在区间的基本依据是零点存在性定理.对于含有参数的函数的零点区间问题，往往要结合图象进行分析，一般是转化为两函数图象的交点，分析其横坐标的情况进行求解.,所以在(，0上，f(x)有一个零点；,所以f(x)在(0，)上是增函数. 又因为f(2)2ln 20，所以f(x)在(0，)上有一个零点， 综上，函数f(x)的零点个数为2.,题型二 函数零点个数的判断,师生共研,2,(2)(2018天津河东区模拟)
8、函数f(x)|x2|ln x在定义域内的零点的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3,解析 由题意可知f(x)的定义域为(0，)，在同一直角坐标系中画出函数y|x2|(x0)，yln x(x0)的图象，如图所示. 由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.,(3)函数f(x) cos x在0，)内 A.没有零点 B.有且仅有一个零点 C.有且仅有两个零点 D.有无穷多个零点,所以f(x)0，故f(x)在0,1上单调递增，且f(0)10， 所以f(x)在0,1内有唯一零点.,故函数f(x)在0，)上有且仅有一个零点，故选B.,函数零点个数的判断方法 (1)直接求零点. (2)利用零点存在性定
9、理再结合函数的单调性确定零点个数. (3)利用函数图象的交点个数判断.,跟踪训练1 (1)已知函数f(x) 则函数g(x)f(1x)1的零点 个数为 A.1 B.2 C.3 D.4,易知当x1时，函数g(x)有1个零点； 当x1时，函数g(x)有2个零点，所以函数g(x)的零点共有3个，故选C.,2,解析 f(x)2(1cos x)sin x2sin x|ln(x1)|sin 2x|ln(x1)|，x1， 函数f(x)的零点个数即为函数y1sin 2x(x1)与y2|ln(x1)|(x1)的图象的交点个数. 分别作出两个函数的图象，如图，可知有两个交点，则f(x)有两个零点.,题型三 函数零点
10、的应用,命题点1 根据函数零点个数求参数,多维探究,(0,1),(2)已知函数f(x)|x23x|，xR，若方程f(x)a|x1|0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围是_.,(0,1)(9，),解析 由题意知a0. 在同一直角坐标系中作出y|x23x|，ya|x1|的图象如图所示. 由图可知f(x)a|x1|0有4个互异的实数根等价于y|x23x|与ya|x1|的图象有4个不同的交点且4个交点的横坐标都小于1，,消去y得x2(3a)xa0有两个不等实根， 所以(3a)24a0，即a210a90， 解得a9. 又a0，09.,本例(2)中，若f(x)a恰有四个互异的实数根，则a的取值范围是
11、_.,解析 作出y|x23x|，ya的图象如图所示.,命题点2 根据函数零点的范围求参数 例3 若函数f(x)(m2)x2mx2m1的两个零点分别在区间(1,0)和区 间(1,2)内，则m的取值范围是 .,根据函数零点的情况求参数有三种常用方法 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围. (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决. (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解.,跟踪训练2 (1)方程 (a2x)2x有解，则a的最小值为 .,1,解析 若方程 (a2x)2x有解，,故a的最小值
12、为1.,(2)已知函数f(x) 若函数g(x)f(x)m有三个零点，则实数 m的取值范围是 .,解析 作出函数f(x)的图象如图所示.,若函数f(x)与ym的图象有三个不同的交点，,在求和函数零点有关的参数范围问题中，一般有两种思路： (1)函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，利用数形结合求解参数范围. (2)“af(x)有解”型问题，可以通过求函数yf(x)的值域解决.,思想方法,SIXIANGFANGFA,利用转化思想求解函数零点问题,例 (1)若函数f(x)|logax|2x(a0且a1)的两个零点是m，n，则 A.mn1 B.mn1 C.0mn1 D.以上都不对,(2)(201
13、8全国)已知函数f(x) g(x)f(x)xa.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是 A.1,0) B.0，) C.1，) D.1，),解析 令h(x)xa， 则g(x)f(x)h(x). 在同一坐标系中画出yf(x)，yh(x)图象的示意图， 如图所示. 若g(x)存在2个零点，则yf(x)的图象与yh(x)的图象有2个交点，平移yh(x)的图象可知，当直线yxa过点(0,1)时，有2个交点，此时1a，a1. 当yxa在yx1上方，即a1时，有2个交点，符合题意. 综上，a的取值范围为1，).故选C.,(3)若关于x的方程22x2xaa10有实根，则实数a的取值范围为 .,3,课时作业,
14、PART THREE,1.已知函数f(x) log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是 A.(0,1) B.(1,2) C.(2,4) D.(4，),基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以函数f(x)的零点所在区间为(2,4).,17,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,在同一坐标系中作出两个函数的图象如图所示，可得交点个数为1.,17,3.函数f(x)2x a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是 A.(1,3) B.(1,2) C.(0,3) D.(0,2),解析 因为f(
15、x)在(0，)上是增函数， 则由题意得f(1)f(2)(0a)(3a)0，解得0a3，故选C.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,4.已知函数f(x) 则使方程xf(x)m有解的实数m的取值范围是 A.(1,2) B.(，2 C.(，1)(2，) D.(，12，),解析 当x0时，xf(x)m，即x1m，解得m1；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,即实数m的取值范围是(，12，).故选D.,17,5.已知函数f(x) (aR)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的 取值范围是 A.(，1) B.(
16、，0) C.(1,0) D.1,0),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以只需要当x0时，exa0有一个根即可， 即exa.当x0时，ex(0,1， 所以a(0,1，即a1，0)，故选D.,17,6.已知函数f(x) 若f(0)2，f(1)1，则函数g(x) f(x)x的零点个数为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3,17,令g(x)0，得f(x)x0，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解得x2，解得x1或x2， 因此，函数g(x)f(x)x的零点个数为
17、3.,17,7.若函数f(x)x2axb的两个零点是2和3，则不等式af(2x)0的解集 是 .,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 f(x)x2axb的两个零点是2,3. 2,3是方程x2axb0的两根，,f(x)x2x6.不等式af(2x)0， 即(4x22x6)02x2x30，,17,8.已知函数f(x) 若存在实数b，使函数g(x)f(x)b有两个零点， 则a的取值范围是 .,解析 令(x)x3(xa)，h(x)x2(xa)，函数g(x)f(x)b有两个零点， 即函数yf(x)的图象与直线yb有两个交点， 结合图象(图略)可得ah(a)，
18、 即aa2，解得a1， 故a(，0)(1，).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(，0)(1，),17,9.定义在R上的奇函数f(x)满足：当x0时，f(x)2 019xlog2 019x，则在R上，函数f(x)零点的个数为 .,3,解析 因为函数f(x)为R上的奇函数， 所以f(0)0，当x0时，f(x)2 019xlog2 019x在区间 内存在一个零点，又f(x)为增函数， 因此在(0，)内有且仅有一个零点. 根据对称性可知函数在(，0)内有且仅有一个零点， 从而函数f(x)在R上的零点个数为3.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1
19、1,12,13,14,15,16,17,5,解析 由题意知函数h(x)的图象如图所示， 易知函数h(x)的图象关于直线yx对称， 函数F(x)所有零点的和就是函数yh(x)与函数y5x图象交点横坐标的和，设图象交点的横坐标分别为x1，x2，因为两函数图象的交点关于直线yx对称，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,解析 当x0时，必存在x0ea0，使得f(x0)0， 因此对任意实数a，f(x)在(，0)内必有一个零点； 当x0时，f(x)是周期为1的周期函数，且0x
20、1时，f(x)1x. 因此可画出函数的大致图象，如图所示，可知函数f(x)的零点个数为1.,17,12.关于x的二次方程x2(m1)x10在区间0,2上有解，求实数m的取值范围.,解 显然x0不是方程x2(m1)x10的解，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1m2，m1， 故m的取值范围是(，1.,17,13.已知f(x)是奇函数并且是R上的单调函数，若函数yf(2x21)f(x)只有一个零点，则实数的值是,解析 依题意，方程f(2x21)f(x)0只有1个解， 故f(2x21)f(x)f(x)有1个实数解， 2x21x，即2x2x10有两相等实数
21、解，,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,解析 由题意知，当x0时，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,由图象的对称性可知，x1x26，x4x56，x1x2x4x50，,17,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,15.(2018济南模拟)设x1，x2分别是函数f(x)xax和g(x)xlogax1的零点(其中a1)，求x14x2的取值范围.,17,1,2,
22、3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 f(x)xax的零点x1是方程xax，,17,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,16.已知函数f(x)是偶函数，f(0)0，且x0时，f(x)是增函数，f(3)0，则函数g(x)f(x)lg|x1|的零点个数为 .,3,解析 画出函数yf(x)和ylg|x1|的大致图象，如图所示. 由图象知，函数g(x)f(x)lg|x1|的零点的个数为3.,拓展冲刺练,17,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 作出函数f(x)的图象，不妨设abcd， 则log2alog2b，ab1. 又根据二次函数的对称性，可知cd7， cdc(7c)7cc2(2c3)，10cd12， abcd的取值范围是(10,12).,17,
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